De viribus corporum opusculum 1. De genuino principio aequilibrii corporum solidorum, ... Auctore P. Georgio Kraz, S.J. ..

271쪽

lelogrammum mΕAη ut EF ad Em EucI. I. 6. p. I. sive permutando FΕΛO: EFIImΕΛn : Ε m Eucl. l. s. proP. I 6.xerit quoque summa progressionis arithmeticae quae est ut triangulum ABC vel ut parallelogrammum FΕΛO ac terminum ultimum ut factum ex dimodio terminorum numero in integrum c quod factum exprimitur per parallelo grammum mEAn P ad eundem ipsum Ierminorum numerum , qui exponitur per lineam Emta AB.

Si linea AB horizontaliter protense , 9 in A immobiliter fixae singula puncta ipsa snt Iravia , vis in nexum in

termino a dependenter a gravitate to

tius linea aequalis est facto ex vi gravi-ιatis totius lineae in dimidiam ejus longitudinem Ac

DEMONsTR. vis in nexum in termino A dependenter a quolibet lineae puncto aequalis est facto ex ejusdem puncti distantia ab A in ipsam ejus gravita tem I 8sr: ergo vis in nexum de pendenter ab omnibus punctis erit aequalis su inmae factorum ex cujuslihet

272쪽

Eadem equilibrii eausa a stata Ue. et x puncti pondusculo in ejusdem ab A di- ἐliantiam : sed haec ipsa facta sunt se.

Cundum progressionem arithmeticam numerorum ordinatim crescentium t. ' 'a. 3 Sc., dum nempe singula puncta, quorum distantiae ab A versus B cre- sunt in dicta progressione arithmetica, ponuntur esse ejusdem gravitatis, adeo que & ipse facta ex cuiuslibet puncti pondusiculo in ejusdem distantiam ab

A in eadem ratione cressint: ergo, cum summa omnium terminorum Pringressionis arithmeticae, quorum pri- 'mus est quantitas minima, fecundum 1eriem numerorum ordinatim crescentium I. a. 3 Sc. sit aequalis facto ex dimidio terminorum numero in rerminum ultimum , adeoque , dum hic ' Tdimidius terminorum numerus est ut .

ipsa dimidia lineae longitudo AC, ultimus vero terminus seu maximus ut integra linea AB, etiam aequalis facto ex dimidio terminorum numero in integrum SITO. , erit quoque depeEdenter ab omnibus punctis gravibus lineam AB conia stituentibus, seu dependenter a gravitate totius lineae vis in neXum ad ter minum A aequalis facto ex dimidio eorundem punctorum numero in int grum, sive, quod idem est, ex gravi- O . cate

273쪽

tate totius lineae in dimidiam eius langitudinem AC. Fig. 39. f. I72. COROLL. I. Unde , si vicissim Tab. IV. linea ΑΒ poneretur inflexilis quidem ,

sed tamen gravitatis expers, & in ejus medio C appensum pondus gravitate totius lineae sequans, vis in nexum in loco A dependenter ab hoc pondere eadem foret, quae, si eadem linea gravitate praedita esset, nempe aequalis facto ex gravitate totius lineae AB in . dimidiam ejusdem longitudinem ΛC, seu ex dat' pondere in ejusdem di

stantiam A s 8s.

f. 373. COROLL. II. Similiter, cum , H- - sive ducatur tota lineae longitudo in Tab. Iν dimidiam ejus gravitatem, sive tota ejus gravitas in dimidiam longitudinem, facta sint aequalia, etiam vis inneXum in termino A eadem foret, si denuo linea ponatur gravitatis eXPers,& in ejus extremitate B applicatum pondus Aravitatis dimidiae ejus , quae foret ipsius lineae 5 8s. g. I74. COROLL. IIl. Eadem de causa factum ex parallelogrammo , Prout graVe ponitur, in dimidiam ejus longi- . tudinem aequale erit facto ex eadem

274쪽

Eadem equilibrii causa astatu Sc. 243 . dimidia longitudine in pondus ejusdem gravitatis, quae est parallelogrammi, α similiter factum ex gravitate paralle

lepipedi aut cylindri in dimidiam ejus

longitudinem sequale erit facto eX pondere gravitatem parallelepipedi aut cylindri aequante itidem in dimidiam cujusque longitudinem , ac Per Coninsequens, si quodvis horum horizontaliter sustentetur, vires in nexum in loco, ubi sustentatur,dependenter a parte ultra sit stentaculum prominente eaedemerunt, quae forent a pondereejusdem cum ea parte prominente gravitatis, si nempe vicissim ea pars poneretur gravitatiS eX-per', & pondus in ejusdem medio , vel etiam pondus gravitatis dimidiae ejus

extremo applicatum.17s. LEMMA.

Si parallelogrammi ABCD, quod fit Fig. s.

secvngum lineam AB horizonti paraia rari κιelam , secundum A D ad eundem nominale , ει graditate praeditum, pars Amri D ait ri parti Β mn C duntaxat sit connexa in m , haecque altera pars immobiliter sustineatur, vis in nexum in loco m dependentera parte A mn D, dum per suam gravitatemi ad descenssum nitit eire a h. erit ae- qu

275쪽

- Sectio κ' qualis facto ex ejusdem gravitate in dimi iam ejus langitudinem e n, diviso autem per altitudinem

DEMONsTR. Vis in nexum in loco eadem est dependenter a parte Parab- iri fallelogrammi A m n D , quae foret pondere ejusdem gravitatis, si viciΩsim ea pars gravitatis eXpers Ponem retur, & pondus in ejusdem medioe c applicatum f. 374: sed, cum pondus urgeat secundum directionem ad

horiZontem normalem , eandem vim semper exercebit circa n in nexum ad. m, sive applicatum sit in e , sive inerergo eanden quoque vim exercebit in ne um ad m circa n, quam, si esset vecti rectangulari eam applicatum ine, eXerceret adversus aliud pondus , quod brachio verticali n m directe applicatum in m circa n ab eo sustinere- Iur , nempe eam vim , quae par foret vi gravitatis absolutae hujus ponderis, qua nimirum eadem tota vicissim hoe pondus in m obniteretur: at vero Ponduis . istud est acl alterum appliCatum in e , dum ι sese circa n mutuo sustinent, ut euad n ni, nimirum in ratione recipror

ca distantiarum ab n. , 94., sive

276쪽

Eadem equilibrii erasa astata in. 24s quod idem est , ut quartus terminus Proportionalis ad rem, ad e a , ct id pondus applicatum in er ergo, cum, . si gravitas ponderis applicari in e dicatur Μ, quartus hic terminus Pro

portionalis sit ' --- sive sequa-

iis facto ex gravitate ponderis applicati in e in dimidiam partis parallelo grammi A m a D longitudinem e n, diviso autem per altitudinem n m, ipsa quoquia Vis, quae in nexum in locom foret a dicto pondere applicato in Ghuie facto per altitudinem ivisis pararit, ac per consequens , cum vis in hunc ipsum nexum a parte parallelo rammi A mn D, prout grave est, eadem sit, quae euet a pondere Pro ipse in e substituto, vis ab . hac parallelogrami parte in nexum in locom circa a itidem aequalis erit facto ex gravitate ejusdem in dimidiam ejus longitudinem en, ac per altitudinem

s. I 76. COROLL. Quoniam, si pars p Risi. 4o.rallelogrammi Amn D cum altera parte Tab. In tantam esset connexa in m , vis dependeater ab illius gravitate in hane nexum par

est vi gravitatis absoluta ponderis, quod

277쪽

τῶἱs rectangularis enm brachio vertieavn m directe in m applieatam iή equilibria foret cum pondere in e ejusdem cum distia parallelogrammi parte gravitatii ν IT . , Similiter, si ejusdem vectis hraehio a in per singula puncta directe etant a

plicata pondera ejus rationis, ut fu gula ab n crescerent uniformiter, seoui ratione altitudinum, vel distanti. rum ab n, sive secundum progressi

nem arithmeticam numerorum I.

3 &c., eaque simul omnia in aequituhrio circa n sustinerent idem, si prius, pondus in e , etiam dependenter a Parte parallelogrammi A mn D prout

ea per totam altitudinem urn cum aIlloea est connexa , vis in nexum in locota esset aequalis vi gravitatis Ponderis, quod ex illis brachio vectis n m per singula puncta applicatis supremum &maximum est , eoquod scilicet ea parallelogrammi pars per suam graViIarem jam circa n agereI in totum . nev Num n m, ita, ut, si particulae Peream altitudinem disipositae ratione ne ps possent cedere , magis deberent cedere superior es , quam inferiores, ct quidem pro ratione altitudinis, seu distantiae ab η, vel, quod idem est, secundum progressionem arithmeticam inumerorum I. a. 3. &C., arque hoc

278쪽

dem aquilibrii eausa a statu Uc. ας 'iosis dependenter a parre parallelogrammi A m n D viciuam vires in nexum singularum particularum ab n versus m continuo & uniformiter crescant, ac proin vis in nexum in loco supremo m aequalis sit vi gravitatis ab solutae ponderis , quod ex illis, quae vectis rectangularis Brachio n m per singula puncta in memorata ratione applicata simul omnia sustinerent alterum pondus in e , supremum, & maximum

f. 177. LEMMA. Si vectis rectangularis brachio n mper singula puncta ab n inque ad maerecte applicata snt pondera ea ratione, ut, quemadmodum crescunt diasantiae punctorum ab n versius m , ua etiam eresant pondera, nempe secundum progrrisionem arithmeticam . numerorum. I. 2. 3 , fueritqueno ad n m ut 2 ad 3., omnium pon derum centrum gravitatis erit in o.

DEMousTR. Si pondera in dicta ra' Fig. tione crescant , eadem erunt, ut eXgr. Tab. Irin triangulo rectangulo pa n , ubI

279쪽

fuerit n o ad n 8 ut a ad 3, parS trianguli 2 uJo erit circa rectam or in aequilibrio cum parte trianguli syng. 2 ., adeoque etiam circa o, si totum triangulum ibi sustineatur : ergo & circa idemo omneS lineae, quae in parte trianguli

pa 30 per po ad hypothenusiam an basi pu parallelae duci possunt utpote quae

simul eandem ipsam pauem trianguli constituunt in aequilibrio erunt cum omnihus lineis, quae similiter duci possunt in parte trianguli ora , seu , quod idem est, cum per hypoth. hae omnes' sint, ut ipsa pondera vectis rectangu- Iaris emn brachio nm per singula puncta applicata, haec eadem circa o in arquilibrio forent,adeoque in o erit eorum centrum gravitatis. l. 24.

43. g. I . COROLL. I. Quare, si vectis Tob. IV. directi e np, dum sustentatur in v , brachio up applicata sint pondera in dicta primum ratione, vel simul omnia in o, eademque circan in aequilibrio forent cumdato pondere M applicato in e, ea ipsa. quoque, si simul omnia brachion in applicata essent in o tanquam eorum gravitatis centro, rursus eum pondere m circa n a quiis

280쪽

Eadem equilibrii erasa astatu in. α squilibrium conservarent , non secuS , ac si ibidem, nimirum in O, sim 'lex Pondus simul omnibus aequivalens directe esset applicatum S. I 6s., unde etiam vicissim , si pondus applicatum in o et ca n sustineret datum pondus Μ in e , illud omnibus ponderibus in exposita ratione per brachium n m dispositis aesimul sumptis aequale foret.

g. I79. COROLL. II. Quia porro , si . eadem pondera vectis rectangularis bracilio erecto um & ipsi n s aequali 0ρ' sub iisdem ab hypomochlio aistantiis, prout vectis directi eap brachio ηρ di-irecte sint applicata, peraeque circa illud cum pondere M in aequilibrio sese con- Iinent ν. 94 , similiter, ut prius , Pondus in, quod brachio verticali am itidem in o directe applicarum Cum Pondere M in ρ circa n in res librio foret, aequale esset simul omnibus ponderibus, quae brachio n m per singula puncta dixecte applicata secundum progressionem

arithmeticam numerorum I. a. 3. &c. ab n versus m crescerent, ac itidem Pondus M in e circa a sustinerent.' g. Im. COROLL. III. Denique, cum, Fig. 4 . si pondera vectis rectangularis ex ra- Lab. IV.chio verticali am ad singula eius pun-