Johannis Baptistae Caraccioli ... De lineis curvis liber

111쪽

' productam In H. Nunc sint Q Sin ang. PMinnotus, Sinus alliguli recti M Erit simus anguli ΜΟ α ad κ. Quare sinus an-

In triangulo I ri ang. ΙΜΗ est ang. dare. hypoth. cujus nus dicatur 4 Anguli vero IH aequalis Nio simum est *udem ad is Q Ea autem

112쪽

do axi, seu latere trans erso DF, ordinatis in ang. recto, verticem, positione ver D in distantia M N a dato pune angulum effcient ,

MN D redium, describatur in Cono Ellipsis, uti antea ostensum P transiuit ea per Μ ob mparante imi DN, duriae sive ob tangentum IN

Pertivi sibi quoque per o ob o mi O Meo centrum. Atque inbebit in diametriim, asi angulo dato, Wilatani V F parametrum 'huius dianaetri de in plano dato subjecto ex C num ira it elcripta Q. P. O. sit postrenio loco describe citi G-.Mγ: τῖ' boles EF, cuius latus transversum datum E p J D Jπ

rameter v data; angulus ordinatarum rectus.Sup- natur iam factum esse quod ueteritur: snt omniata

113쪽

in speis at Modo supra E constituatur eodeni avodo, ac in Ellipsi triangulum D magnitudine, specie datum. Et secet H in F latus BC trianguli ARCper axem Coni . Sit ex A vertice hujus r. aia-guli parallelara ipsi DE si cans BC in , α

dicantur ΑΕ, G AD ib. Di, Et sinus angulorum respondentium ungulis, qui in Ellipsi sunt etiam dati, uti in si ipsi is dicantur eodem modo, quo in Ellipsi QE latus transversu in datum dicatur latus rectum datum dica uiro; conania uti in Ellipsi: erit C ra C ΚΒαd fκ--gfκα. Et cetera patent uti in Ellipsi;

eadem arquatio fiet eademque compositio . Et aequatio uoque generalis eodem modo constituetur pro omnibus hyperboli Q . . o.

si vero angulus non sit rectus iant omni pla ne uti in Ellipsi: consectum erit problem Q hie asin es selius hyperbolae quadriiticae. Advertendum est, quod iii supra pertractato problemate de describendis Parabolis quibusvis datae parametri in cono dato pag. i'. nil immutatur natura problematis in Parabola data tum generis , quum speciei, si quo libet magis odoram Idum quod est in secundo termino proportionis ' componatur. Ita idem est, si ovide quae ibi pro P arabola Cithicae lima si quadratum λ quare 'proportionalis ad B , ad B A in AC ,- adHF vel si sit quarta proportionalis ad FCG ad BA AC, ad F . Itemque Pro Parabola Cubica secunda idem erit, si vel stra quarta pr

Portionalis eodem modo ad BC , ad Mis ΑC

114쪽

de ad H vel sit quartat oportionalis adic', ad BA in C, ad F. Sed, idem etiam erit pro Parabola quadrato inuadratica prima, si Cubiis em A sat vel quarta proportionalis ad BC , ad BA in Ct , ad F vel quarta proportiona

si quarta sit proportionalis ad BCAE ad BA in Ai:

ad ΗΚ. Idemque de reliquis ParaboIis, modo tamen semper sit non solum idem genus, sed etiam eadem species Curvae est dicendum. Idciiciaque nos ibidem modo unum Solidum , modo alterum in secundo. illo termino collocavimus

Sed diversa ratione res se habet in Ellipsibus, de consequenter in hyperbolis, dum de eodem agitur problemate. Nam ii con stitutio illa: solidi in semido, termino positi minutetur, is in immutabitur profecto P me mittimae; sed poterit aliquandonatura immutari problamatis, uti calculo invenivimus. Et quidem pro

Ellipsi Cubio prioris species deseribend in dato C meum data parametro, problema supra sui I in simiplicis finiens otiis; α solidum iudi vide quin ibi , in amindo termino locatum. xt K in X Sed sint omnia uti ibidem. immutetur. solidum , ac fiat m in BIr problema erit duarum dimensionum Nam, praestitis omnibus, quae ibi ostensa sint ' verum in secundo termino proportionis locato

115쪽

problema pro Parabola Cubica secunda positum ibi, habuit Solidum dictum hocce C in ΒΚ. Et probi hi sui duarum climennotium . iiiiiiutetur solidum, fiat DC in problema quoque erit duarum dimensonum. Nam fiet 3 434 α eba κα-- fe C. gω. Et subitituantur loco e apsa r- c, ioco Dipsa ad ,--b. Et cetera patent. Immo primus casus problenintis, nisi rum pro Ri- . at . rabola Cubica prima, cum possiem modo confici, id ipsum etiam nianifesto demonstretit inandinpiadem loco acceptae ignotae iniis anguli DAC ad quod ibi eddein loco Lei uin sui; accipiatur pro ignota re linea ΑΚ. Et sine friano recti A . AC an AC me iam ang. incrib. Ε EF mg. Sitimo data parameter ρ. Atque instimatur anulusis inimes: ca per nus, o littera in triangulo Κ AC, ubi notus simis ang. in C; notum latus AC est verindenominatives latus tr. Et invenis ur vador obtenta aequatione. Unde, quia tum hoscetur dinus ang. D in in eo angulo ducenda est secans in lineam BC basis atque parallelera sectio per Eest incienda. Et erit' dicta a. --brae rao aBtΚBisa a 'δαι -'. Et P. γω,

116쪽

simplicis omnino diluensionis eodem prorsus oco, veluti sbi fuit inventa, iuxta aliam solutioneni, in qua tamen Solutum eodem modo constituebatur. Si vero dimini solidum ilhinnietur, fiatque XC in ΒΚ sinu sena prodibit duarum diti sionum et -- a m ae eodem prorsus pacto,

luti hic supra movi iuxta aliarii ilutζCnem, aequatio fuit duarum diu ension una in qua Solidum illud eadem ratione erat coni positum Fae varii sunt casus problematis pro Ellipsibus, & idcirco pro hyperbolis , singillatim pertentandi. Manifestum est etiam , descriptiones nostrarum Curvarum infinite productarum nuper supra in Cono praebitas cum sua parametro, de quibus agere Cepinnis a pag. in immutari, easdem manere

sive hoc idem blidum, de quo modo dixitDiis, ii sectando termino positis uno modo sit c linitum, sive sit alio, in um, eademque specie, non .do gene

re, Quν- soli cauis civ ditionis ibi adpositae adhi-Mi da est decollocatione, mi situ inisec xi

v in generaturi . . . .

- onmia spectant ad destriptiones Conicarum sectionum infinit produetarunt per Conos varii generis efformatas quae quidem organica lascriptio est

iuxta ea , quae dicta iuncinitio capitis quarti Nunc modus est iubnectendus, quo eae Geometrica descri-μ ohe in plano possint delineaticiis a Parabolis quidem exordiemur. Sit A linea accepta pro diametro omnium Parabolarum Ccommunem enim de stiptionem praebemus omnibus parabolis, eadem p

randi ratione , uno eodemque ordine hac sit A Clariis

117쪽

8olatus rectum ad quemlibet angulum cum AB, sive ad

angulum, qui magis optatur ab ordinatis fieri supra diametrum in Sumatur in Babscissa in atque inter parametraim, ive latus rectum ' abscissam A inveniaitur tot medis proportionales, quot indicat genu, parabolarum, quae describi debent nimirum, una, D Parabola sit primi generis . duae si sint Parabolae secundae generis tres si sint Parabolae tertii generis atque ita deinceps tum adplicentur omnes

3 . hae mediae proportionales ordine ipsi abscissae AM;

quaeque sim parallelae harum proportionalium extremitates praestabunt puncta, quae in singulis erunt speciebus illius generis Parabolae modo etiam ea comprehendantur species, quae radicum extractim ne ad alias inserioris generis deprimuntur. Ita en inTun una quodque genus tot species plane continebit quot media sunt proportionales

Si Parabola primi generis sit describenda in v niatur inter C WAM una media proportion lis quae sit MN erit mi Parabola quaesita. Continueturque inventio punctim eadem ratione. Quoniam sit AC a. Ammis. MN αα I. Erit iam II die ax Quae illa est Parabola si Parabola iscundi generis: Inveniantur intim A M M. N. μ' inediae proportionales quod si MN it prima earum erit N in Cubica Parabola prioris speciei si verosis secunda ex duabus mediis proportionalibus eiit minctum N in Cubio secundae peciei . Quoniam,r tenta eadem dei tominatione, erunt primo casu continue proportionales a. a. φ . . Inde a a m Quae prima est Cubica Secundo cassi fient continue proportionales a , . . . . Unde erit a mox.

est secunda Parabola Cubici. E

118쪽

Eadem ratione a Parabola describendae sint tertii generis, inveniendae sunt tres mediae proportionales inter C QAM. Et si sit prima harum, trium, erit punctu ni N in quadrad, quadratica prima, nam tum erunt in continua proportione quan

titates, . r.es Unde γ' m Quae

est prima quadrati quadrati a . is vero ipsam N

iit secunda trium jediarunt proportippasium erit punctiam. N in ea Parabes tertigoneiis, qus per extractionem radicis deprimitur ad Apollonianam Etenim, ob prpprietaten progressionis Gςometricae bene Geonsetiis notam , quia extremae AC, AM ' casu aequaliter distant ab ipsa MN erit tum utia ad I ita I ad x idcircoque I α κ . Denique si eadem MN fuerit tertia trium media unx proportionalium; quia tum hasetur continua proporti I. x prodibit riax , Pa-

rabolae quadrato quadraticae alterius specie aequa-

Sint nunc describendae infinitae Ellipses Sit AB. Γ relatus ipsarum transversum A latus rectum su-VAT, Ipra i ad angulum exoptatum abscissam m. Modo iungatur BC accepta in I abscissa quavis Ain, ducatur ex M rectam parallela C, atque

ocCurrens in O rectae BC . Dei inter MO, 4bscistam M inveniantur tor mediae proportionales, quot indicat Filipsis describenda. Ac tum , haud secus ac in Parabolis, adplicentur omnes hae mediae

proportionalis ordine ipsi absci AM. rcfecto

119쪽

82 extremitates rarit m dabunt pini 'a quae erunt in singulis specjebus eius generis Oam hic etiana species eae comprehodantur, quae emati one radicum ad alias inserioris generis depriminetur. Nam, pos o latere recto C, latere tram-sverso AR zb φ abscissa Μ dicta, , ordinata vero MN dicta . , erit reliqua portio dira m x. Unde , cum invenienda sit una a viedia proporti onalis r Dua hanc methodum huer sok esi: M sit Usa MN cum propter similia triang. BMO, BAC simo αα a iiii; erit profeων-- x. I:: I. Qua re arx --κ Quae est primae Ellipsis

aequat o. Si vero describendae sint Ellipses secundi teneris, iuveniantur inter o, duae naediar proportionales Si m fuerit earum prima erit punctum N in Ellipsi Cubica prioris speciei; namtuna proportionales . erunt quantitate quatuor, ια--aD I. I I x. Et idcirco erat ' - αιτα -

etla xx -- Quae est aequatio illius Ellipsi

si 'ero MN ' ieeundi ex duabiis medus proportis fialibus , deni punmini, in eris in Ellipsi Cubsca

alteritis speciei ; nam ei casui erimi continue proportionales a-at, 'Unde aequatio pro-

120쪽

culos infinitos, si angulo B AC recto, ponatur latus rectum A C aequale transverso B. Nam una erit m M , - reflae proportionales tediar inter MO, AM eaedem erunt, quae mediae prolmrtionales inter portiones M, M. Et punctum merit in Circulo prini generis, si uti in Ellipii, perpendicularis N sit media inter portione B V, AM: etenim, dictis II me . ae M ME, erit

Qii primus est Circulus. Qtio si norinalysi pri-ina sit ex duabus mediis inter erit N in Circulo Cubico prioris speciei . Quod fifuerit secunda , erit in Cubico Circuli iecundae si scier . Et ita de reliquis Circulis. . Proponantur denique describendae infinitae

perbolae sit AB latus transinsum AC rectun, paranterer supra ait anguis optato ordin tarum supra abscisuas. Jungatur C. Et in s pro N: riducta versus A accipiatur quaevis AΜ. Ex Μ agatur V,

M O parallela A C conveniens cum B an o, Modo i inveniantur inter o &AM tot. mediae proportionales, quot indicat genus hyperbolarum, scribendarum . Nilnim uita media, si describenda sit hyperboles communis. Nam tum didiis AC M

Quae vulgaris est hyperboles . Dein duae mediae inter Mo QAM inveniendae sunt; quarum, si prima M N erit N in hyperbola Cubica prioris speciei; si vero secunda erit N in hyperbola Cubica secundae L a speciei.