Johannis Baptistae Caraccioli ... De lineis curvis liber

131쪽

rnus, debebamus

au 'oribus egni in finem 'cogitata fuit, ut aagno

apud veteres proflematera deabus inediis proportionalibus anueniensio fieri posset tortis. Nam licet idipsum problema a veteribus solutum bene uerit, uti inserius ostendemus, ex Conicas Curvas mutuo intersectas tamen, qui tum mimos. vatili: opem sum iudicabatur, quod initopro amininus, pones stactiones in plano describere eam blutionem non talis secerunt veteres ipsi, ut ad alias Mitione excogitari las,' inque vulgus edendas animum non adpli ci sint. Plerique tuor a problaminis constitinionem

instrumentis tantum perfece runt ut ad praxmi es :tio facilius duceretur cuiusnino firere constris', singEratosthenis, Heronis, Philonis. Qiridan vero, ut res Geometrico modo magis peragere qua caussa equidem ignoro quid enim meis Geometri . cum, idest quod quantita ein, sive ententionem cor tineat, quam Mechanica Om:ratio modo Gemuetruae legibus adstri Ela I Curvas alias excogitarma vi te operis plane accomodatas. Quae certe facile des itabuntur, Widcirco videntur iaci ius conficere pro blema. Hanc viam pre aliis Diocies ili Nico odes

tenuere quando illa Cisso deni, Cone noulam sto commenti sunt Cimolitis generatio pii hunc modun es talenti

genda. Exponatur Circulus quilibet ABCD, cujus centrum in illo se mutuo nonualiter socem AC, BD. Turi si vino Curvae describimdae stare tur punctum in abstin titur ex quain istum BAB Circuli duae qu eisis portioως retis re aF, G.

132쪽

- haec secabit in puncto, rectam m. Et erit punis

ctum .in Curva quaesita . Si modo abscindantur aliae duae portiones is eadem fiant exister etiam altu punctum N in Curva eadem rataque conti. . Duatione procedatur. Et describetur Curva Amm quae vero pertransiens vi descriptionis per punctum B p terit infra Is continuari, si identidem erigantur parallelae

ipsi vi ex punissis G rectae N ex alia parte GI; lineae Am ducantur, non ad G punista sed ad F seu iungantur AF. Nam haecipis Aa producti prae-hehunt punctam curvae continuatae haecque Curva est, quae Cloid re uitro a Graeco vocabulo,

hederae nimii amici eclam erras, uti suo caneti ad ret, Diocli tribuitur inventori . Cissisides talis est natum ut sumpto is Ur curn sntentia Circuli grauioris os in ovis F, duct x FB viametro C perpmdiculari, & Marte cinoidem in puncto N, im semper c tuu proportiori us rectae in CH, F Η, Η, Η. Desionstra tmt Ducta per punctum N recta G, quae in Goccurrat peripheriae inculi Genitoris, aequales fiunt

mus BF, G idcircoqui ducta recta I ipsi BD

paralIela, aequales iunt quoque portiones ΕΗ, E P. At vero propter similia triangula AGI, AN Η, est 1 ad GI sisve muti Η, ad NH. Igitur erit quoque C R. R : AMA vi , propter Cisculum Η. Η : FH AH. Igitur ex aequa ratione , Η ΑΗ : AH. H. Quare quatuor continuae proportionales erunt CH, H AH, NH. Minc facile suit Diocli inter datas duas rectas Iineas histas medias proportionales invenire. Quippe s. sim duae ob lineae datae, inter ' soporteat duas alias medias proportionales invenire I

133쪽

dium N ad diani et rum Circuli Genitoris C perpendicularem FNH; atque adeo per ipsus Curvae AN B naturam, habebat inter CH, ω Η, duas ni edias proportionale H AH; una interim I prima est et ad NM ultimam, ut CF ad F sive et ianini P prinia ad G ultimam ex datis. Unde nil aliud ipsi sit pererat quam ut taceret primo ut I P, ad IH ita P, ad quartam, quae sit id a Et secum do ut FH ad AH, ita ad M. Nam quemad modum erant continuae proportio les, quatuor res

vitae lineae C Η Ι Η ΑΗ, Η ita etiam continuae erunt proportionales quatuor niagnitudines, P,m R,G. Hinc etiani ; si e puncto A erigatur recta A LA C perpendicularis, es puncta Curvae AN Breferri debeant ad puncta re lineae AL per deiiii μias perpendiculares, in haud dissicile erit aequotionem invenire, quae ejusmodi relationem nobis siboculos ponat. Nam si ponatur diameteris at abscissa AM ordinata Ni a piopter parallelogrammum AN, erit etiam N Η Σ ΑΗα 3. Unde cum sit reliqua portio Hra a --y; per Cireuli natura inveniatur resai H e vii cis ob continuo proportionales Η, Η ΑΗ , m. erit ut ad Vas -υ , ita ad Sive

ad se. Sed G aas ' est ad a-II, ut is, ad os quare erit ut ad a, ita D, ad x proptereaque, facta mediorum, es extremorum mutua multiplicatione, habebitur , et: -- - Pro aequatione quaesita ad Cimoiden Ex hac aequatione liquet naturam Cimoidis hanc

esse, ut Cubus cujusvis ordinatae MN deficiat a So lidos

134쪽

lido, quod si ex remi constanti AC hi quadratun abscissa ΑΜ, Solido alio, quod fit ex ema scissae Am quadratis, in ipsam jordui initimas; unde facile noba erit alio Curvas clineas a d ipsius similia

tudinem in infinitum essistere isti lcet, fisci nius, ut non modo ibus, sed quaevis alia superior cuiusvis ordinatae potestas deficiat a producto homogeneo , quod fit ex aliqua recta linea constante, parametro deinceps nominando, in potestatem reliquam abscisis correspondentis, producto alio honiogeneo, quod sit ex eadem abscisae potestate incipiam . ordinatam .

Atque eadem retenta denominatione , si porro dicatur m index potestatis, ad quam ascendit abscissa Urunt hae innes Cissoides hac unica qu tion

do non suppCnatur m et I quo casu aequatio evadet a, I, lociis ad huperbolem inter asymptotos Aliis nuuieris indicante potestate, seniper erit Citioides, seu species Cimoidis verum tanaen, ut lethccus constans, gen

ratis habeatur Onines la asce Cisso ides describendi oriagdiaice simili modo , quo superiori capite Conicas Omnes sed ines in infinitum descripsimus assumatur recta AB pro dian etro, sive linea abscissarum, recta magnitud ne data ae pro Parametro ipsarum quae contineant anpulum C A aequalent ei, quem obdiἡatae cum abstulis debent constituere. Nam , t

metsi in Cisbide Dioclis ordinatae ad angulos rectos sitis abscissis sine appli arae, nihil tamem vetat, cum . minus eas in quovis alla angulo adplicatas conita J S AD opius. Tum per punctum ducatur recta CD parim paralleli, in qua sumpta portione quavis C E; abscindatur e , A portio altera Ai; iunganturque Reelae, seu Reguli AE, o, quae mutuo se secent in pu

135쪽

sve in pri a Giloide; siquidon. portio is F. si frit quarta piri portior sis in ordine parari,uti in Ac de porcionis CE is erit kem in secunda Cimoide; si ea

dem portiora Diver ς quinta proportionalis uris dine eis dem linearum AC, AE; Mque ita deinceps'. Continuata vendi inteisectio N per detonii tun motuiti Retulanini AE, praebebit Curvam gen

Ducatur enim ad punctum Niectam N ipsi A Cparallela. pungo, duc itur rectam aequi distans diametro Aa, poliaturque parameter C diari abscissa AM, sive Nακ;- ordinata MN, sive AO, eritque portio altera Coama propterstini litudinem triangul AON, ACE; invenietur

denique E . Unde si portio A fuerit Dii tui qua rei, ortionalis in ordine parametri AC, S portionis CD erit aκ propterea, quia propter similitudinem triangul. CON, AF;Co ea ad N, ut C A ad Ari, erit ut a stin em it ad x in Q proindeque erit a I 'initi, mi CimGehi a laesis; inve rimani cimitudem. Ruli misi 'midini portio AF stativitur, ni proportionis ais ordine earundem lineiu um AC

ut Diuitiam by Omli

136쪽

diis in infinitum procedet. Ceteruin hae Cilloides non ab re dici poterunt aliquo motio per analogiana a liquant illisi oes mitia plicae quandoquide iri in ii pii eltas ordinatae deficit a procines o Oniogeneo, t C d tu ex paranaetro ire reli tuam potes fatena abicilla: Producto alio, quod si ex admi potes, ite absci Ili tu ipsani OMlinata Racie que a agis, quod aliae Citioides ad ipsam smilia tudinea eκcogitari possunt, in quibus cupi potestas Ordinata ex cod a productuna parametri an potestatem

reliquam absciqsae modum alio, sine si is desa abscissae potestate in ipsam ordinatant, non immeritoqου eunt Deligit hi tu autem hae aliae C, id sonis es haeum i aequatione renς ly , ---γ vin

cando in parametrum, ' ordinatam, Q a flania. mancii rectas AB M .mrim dianime, Meraim abscisurrum, b A parameter earumdem ducatur per punctum C recta CD ipsi a parallela; sumpta in ei, mrtione quavis CZ, abscindatur ex Apore altera nainor producta in usque in

G, ut sit. AG ipsi C aequalis ivngantur imae, Pig. 47 seu I AE, F, quae sibi mutuoonueniantis

aliquo

137쪽

aliquo puncto cum portio a minor ponatur CE erit hoc punctu ni mi prima Cilibute hyperbolica, si portio nainor A fuerit quarta proportio- italis in ordine Paranterii A C, oitioliis E erit vero in secunda Cisseside hvperbolica, si eadem portio A fuerit quinta proportionalis in ordine earundem linearum C, CE , atque ita deinceps. Duffa siquidem ad punctu nim recta , ipsi AC parallela Lere 'aque ex eodem punishom rei'. NO, diametro AB aequi dii tanti ponantur AC, sive G A , MN, sive Oio QAM, sive ONM', eritque tota propter similitudinen triangulorum AON, CE invenieturAE Unde si fuerit primo portiora qua ta prop*rtionalis in ordine paranaetri A C, α ρομ

sive γ' ri: -- di x quae est arquatio ad pri-naam Ct idem v perbolic m. Et si fuerit secundo eadem portio A quinta proportionalis in ordine

138쪽

quae es aequatio ad secundam indidem hyperbo-itiam . Et ita de reliquis Atque haec demissioidibus an Ellipricis, quanthvperbolicis ad similitudinem Cisso idis lociis a nobis excogitatis dixisse lassiciant. Nunc ad Conchoidem Nicomedis gradum facimus, quae ejusmodi ortum habet . Exponatur recta quaepiam cui ad angulos rectos inclinetur recta altera A B; quae protrahatur usque ad aliquod uno ui C: e ex eo

ducantur versus eandem partem in pili res rectae

lineae CN, quae ipsi in occurrant in punctis L .ex iis abscindantur portiones LN lingulae AB aequale erit Curva linea ANN, quae transit per extrema earum linearum, illa eadem Curva linea, quae Nicomede excogitata Conchoides timuiratur . dic

proindeque talis Curvae ea erit natura, sive proprietas praecipua, ut si a Polo ad pilus parametrum plures rectae linEae ducantur, non quidem ut in circulo, sed apsarum portiones requiri, Curva comprehensae sibi invicem aequentur . patetiaque ex ipsa genesi , .m lami esse asymptoton Curvae ANN sis, quod idem est, Curvam ipsa in nunquam possie concurrere cum Regula DE in aliquo puncto licet a L ipsam continue appropi quetur cum semper inter eas oblique interliciatu distantia mintervallo principali ΑΒ aequalis. Hujus aliae Curvae beneficio manifestum est, fieri

Ium recta linea , ita ut portio, quae inter anguli latera interlicitur aliani datam rectam lineam adaeque dummodo ipsum datum punctum in dato angulo non existat. Nam UD N fuerit angulus datus Q punctura extra ipsum existens, ex quo

ducenda sit recta linea quaesita, demittatur ex pun-

ducatur ad datum angucto

139쪽

cto C recta C ipsi DF perpendicularis, eaque extendatri usque ut sit A B alteri datae re ciet lineae aequalis. Jam porro Polo quidem , R gula DE., intervallo AB describatur linea Comclaoides AN quae Occurret ipsi DN in puneto Ne& palam est, per naturam huius Curvae, qutal, si du-eatur ex puncto C ad punctum N recta CLN portio ipsi iis N, utroque anguli latere comprehensa ,

ipsi i sit aequalis. mazonstratur autem Conchoides deseripta oc currere rectari in puncto M. Nani haec est Conmchoidis proprietas altera, quod scilicet, si recta quae dam linea inter Regulam, ho dem cadat, ea producta ab ipsa Conchoide re itur Sumatur enim in tecta Iinea N punctiim quodvis R; per quod agatur orta RQ regula. D parullula:. α si ij,

ut 3 R , ad Bin , ita CR , ad quartam proportiona leni, quae maior erit quam CR sicuti A malo est, quam BR . Proindeque, si centro C, Winter

vallo inventae proportionalis est Hiratur mr lus; hic ' rectam P necessirino secabit ii puncta ali jum , cum C sit onmium iiii vina, me a puncto C

ipii induci poliunt. Jam ricti tecta C I

tione, ut BR ad BA; ita BR ad O atque adeo, cum aequales sint rectae A erit punctum in ipsa Coiκhoide N. Unde ii parallata PQ ipsi Regulae DE secet Conchoiden in lincto in mul' magis eam in puncto at no secabit. recta linea Dd obliqua ipsi D L.

Ex eo autem quod ope Concho dis fieri possin iis ad datum anguinii ducatur ex puncto extrae illum dato recta linea cita ut porti anguli laterihius coniai tenta aliam datam: mctam lineam adaequet facit

fuit Diuilia πιν Corale

140쪽

angulo existente EDN . duealtu Dp e Conchos deis aiuncto dato N recta linea Mae , ita ut Imrtio Em utroque Iatere an uti inter repta ipsam Iam sve Aa adaequeta ac deinceps rei'ai pro ducatur usti ae adeo, ut ocimrrat rectae A C , in uir, icto a atque his omnibus peractis, inter C D, DB inventae erunt duae messiae proportionais AD, Quon: am enim, II bifariam ecatii iii puncto G Qipsi in directum adiicitur recta DN, aerit reAangulum N D, una cum tiadrato ex Gaequale Gm quadrato. Quare, adposito conam uni G quadrato, erit rectangulis CN una cul . quadratis ex DG G M aequale duobus GN.GMquadratis a proinde, quia G, G quadrata sunt aequalia quadrato , quod fit ex D GN quadram sunt aequalia quadrato, quod fit ex MN erit rectangu Ium CN una cum M qua- . . drato aequale MN quadrato . Et quoniam Ai, silveCD, est ad DN, ut O ad BD , sive in erit, invertendo, uti ad CD, ita AC ad A sed CD est ad duplam ipsius Η, ut A ad ipsius diu piam AC. Igitur, ex aequa ratione perturbando, erit