Johannis Baptistae Caraccioli ... De lineis curvis liber

141쪽

uti ad DH, ita AF ad Ao Jam vero propter parallelas D E in D N, est ad D H, ut E N

ad UM; quare erit, ex aequa ratione, ut AF ad AO, ita EN ad ME: atque componendo, ut AF, ad O, ita EN ad Μ ponitur autem A ipsi Em aequalis igitur erit etiam FG aequalis ipsi MN eritque D quadratum aequalem quadrato, Sed minuadratum ostensilii est aequale rectan .gulo CN una cum D M quadrato FO quadratuni est aequale rectantulo COA una cum As quadrato cuni AG iit secta bifariam in puncto F eique in directum adiecta reis Ergo erit

reciangulum C m una cum D quadrato aequale rectangulo COA una cum A quadrato. Est autem D quadratum aequale AF quadrato igitur erit etiam reis angulum mi aequale rectangulo

CO propterea erit ut C a CN, ita D N ad OA Jam vero C est a CN, ut DB ad DN, Qui AO, quare fit ut Dra , ad DN, ita DN, ad AO, Wita AO ad AB , Uextu proindeque quatuor magnitudines DB, N. O,

CD continue proportionales erunt . Q . . . . Porro si puncta ipsius Conchoidis reserri de . heant ad rectam Ara per demissas perpendiculares NM aut dis Tcile erit ex ipsa Curvae natura aequa rionem invenire, quae relationem hanc nobis ostendat . Nam si nonatur intervallum ΑΒ ma distan

142쪽

- ordimia iurita eiulas artis reducetur ad hane alia

eaque erit aequatio ad Conchoidem quaesita Gdm autem aequatio eiusmodi sit aliquantum im- plicata nec ars cc am, ac distinctam nobis ingerat

143쪽

IωAtque huic aequationi institando facile nobis erit Conchoides alias in infinitum es inueres; si faciamus, ut non modo disserentia ipsa ruin linearum CN, CL, sed differentia quarumlibet potestatu . earumdem linearum homogeneam potestatem alterius datae rectae lineae adaeque . Et eadem omnino retenta denominationes si porro dicatur, exponens p testatis, ad quam ascendunt eae omnes rectae lineae;

poterunt onines illae in infinitum Conchoides hae unica aequatione designari ad

quas definiendas sitis erit in ipsi aequatione valorem

exponentis m substituere; quippe si ponatur mi; erit aequatio illa, quae priniam Conclio

dem designat. Si vero ponatur erit eadem illae aequatio ac I quae secundam Comehoidem denotat atque ita deinceps. Sed alterius Conchoidis mentionem factam inumni, nempe ut omnia rectangula, quae fiunt ex o tionibus rectarum a Polo ad Curvam ductarum , per regulam abscissis inter se sint aequale. Ita si C fuerit 'Polus D regula, QANN Curva ducaturque ex Polo ad Curvam recta quaevis CL regulae o currens in puncto L erit ipsius Curvae N pro- prietas, ut rectangulum, quod fit ex CL, in m sit aequale seni per re 'angulo ex CS, undet sitis CL κ, Ni I, CB, BA erit aequatio punAa huius Curvae ad Polum referensum me. Quod si autem Curvae aliae ad huius similitudinem in infinitum quaerantur eae Omnes continebuntur

faciendo, ut productum, quod fit ex duabus quiusvis potestatibus ipsarum CL LN aequale stir ducto, quod fit ex aliis duabus homogeneis potest tibus rectarum C BA De

144쪽

D Ccnchoide Nicomedis, Cis id Dioclis

peractum est. Invenerunt has Curvas secundi generis hi aud ores ad duas aedia proportionales inter datas duas redhas lineas praebenda p, ut diximus. Sed nianifestum et per inter sed ionem citiarum Curvarum

primi generis id bene confici quod Veteres etiana effecerunt, veluti indicavimus id pag. 3. Et etiam.

adem praestitimus pag. 38. ω 39. Quare nihil hic adiicere amplius iuvat de blatione hujus . problemati per interse ctionem dictam inventi sive a veisibus, sive a Recentioribus qui illud' per inter finionem ipsani dictam duarum Curvarum prim g neris coniic unt, per trisectionem aliguli dati, omnibus aliis, is, quibus aequationes trium dimensionum construuntur. Igitur nil necesse erat, uti ova excogitaretur Curva ad duas medias proporti nates inter duas datas redias lineas adinveniendas. Profecto valde facile Curvas invenire, inque medium proferre, nulla determinatione antea praeeunte, quod per Curva datu aliquod confici debeat problema dete minatum id enim ad solam solutionem problematis indeterminati reducitur. Sed longe dissicilius Curvam ad aliquod datum officium ab Iolvendum propositi antea problematis, seu determinatae quaestionis meditari per c iussiam, vel, ut aiunt, a priori.

Et quidem quam aspera, ct salebrosa via, quam

longa argumentationis ambage Nicomedes problema ipsum duarum mediarum proportionalium inter duas datas rectas lineas per inventam iam ad id Conchoiden consecit Uerum equidem existimo per analysim in eam blutionem Geometram incidisse quod demonstration. finis indicare posset. Et noscimus quidemeani fuisse Ueteium Geometrarum artem QApollonii ,- Archimedis, certe id a nonnullis putatur,

ut, quod per analysim ipsi invenissent, componendo a dein ;

145쪽

dein clamonstration sitithesiim ostendis at si

obserata prosecto humanae nientis vires non ita facile videntur is qua*ain blutiones problemitum Sisenion strationes illarum, ad aliquas maxime solution , . depapi 'tasiones Archiniineas, per sy'thesin adtingere. Dum analysim dico, non Algebricam ana lusim nostrorun temporun dico; sed methodum illam invenienda primo per resolutionem, non per compositionem, Ma priori. Illam dico ana lusim, qua, ut

Diophantum Alexamtrinuni praeteream an alvoce semper sua conficientem, usus etiam fuit Apollonius in nonnussis problematibus. ; praecipue in postremis qη stionibus Libri priua . Invento problemate per analysim determinatoque ac cognito, quod quaerebatur; facile deinde est is proclive compositionent, seu constructionen per svnthesina condere, aut nova excogitata demonstratione sunthetica, aut etiam eadent analytica inventiooς inversὶ,- in Ompositionem

mitti angulum datum ducenda intra ipsum angulum, ureri porti intercepta inter latera anguli sit aequalis, in re , lineae, quod unum erat, quare Giouisitata invenienda Nicomedes cogitavit, ua. - .

o ducere: - 1 limeam DF, ut portio ejus E F

146쪽

sint omnia posita, uti supra. Et sit angulus datus BSC. Accipiatur m DPQ α riso GH α PΟ c. v ἰ-

nam e minor quantitas est , quam ac potesta iem esse quantitas maior, vel minor H I. Exa deis' mittatur a Parallela D P occurrens C asteritateri anguli dat in . Itemque, preducta vi I ex parte su sit iis illa Q um; quae ninio sta 'per eris I. Nam OS m. I. - a maior

147쪽

Retur ex determitiatione iam esea marum qua

pertranseat per punctum R. Sed centro uix in vallo' .e datae lineae , , describatur circulus. Hic, si secet iii, hyperborem, ducti , Μ paral- is lassi necantente G sua , atque S A.Ilnis 'im in M, praebebit quaesitam M). Nam iuncta erit EF dat inea Inter dati anguli latera interpou .

148쪽

ω s C tatus amuli diti, duHam LMR Misiar pra, iunctaque DF; haec producta donec oce rat C ex asa parte in F, dabit in illa parte etiam . EF quaesitam in angulo ES aequat illi, qui

149쪽

Dilii NE IS CURVIS ,

et tria indicantur.

Usi Veteres quamplures alias Curvas meas prae

ter tinctemis recensitas excogitaverint i atra me . quia ea sunt e earum numer , quae Me-

ehanicae , sive nascendentes sci possistit ne quo ulla superest alia quae ad Curvas Geomet casaeis ferri queat ceris ex iis, qu rum cognitionem aliis quam habemus hinc est, ut d eas Curvas Geonte tricas nune gradum inseramus, quae ab ipsis recentioribus Geometris propria minerva sunt inventae. Nam in his Curvarum Elemimii pertractadis, eum qu :dem ordinem nobis ab initio acuit observare ut primo de Curvis Geometricis, tum ordine de Curvis eis

inanicis , sive Trascendentilius agendum esset Ee quoium post verero inter primos omni inane provinciam aggresis est bonis avibus Renatus in insius; neque etiam deinceps alii praeclari viri exturissent, qui partem hane Geometriae ad umbilicum perduxissent, nisi illis praecipv. Careelius praeivisset:

rationi conveniens est, ut de Lineis ruis primo ioco agamus, quia Cartesio in sua Geometria indicantur. Et primo quidem Cartesius initio Libri secundisne Geometriae Instrumentum ex variis Regul scon potitum affert, cuius ope non una, aut plures , sed niaviae Curva lineae se aibus Conicis maςs, m

150쪽

gisque coinpositae describi, atque intelligi possunt. Elti autem huiusmodi Instrumentu in quale subies tam schema nobis exibet nempe primo concipiendae sunt, duae Regulae ZO, O , quae aper iri is claudi pomunes iis arbitrium circa punctum O tum iis inserendae plures aliae Regulae adeo quidem in terra D: - - .

connexae in punctis B, C, D, E, F ut Vfg S

existente omluno clauso angulo sub primis duabus Regulis comprehenso OZ, omnia illa puncta incidant in uiruis, idemque piinctum rused ita, ut pxo ut ille

angulus aperitur, Reguli C, quae ipsi a m iuiliter mili is est senapes assio, propellii verius

Regusam CD, quae super D incedens effetae

eunt illa dei per angulos rectos. Et rursis ut RG la CD propellat. Regulam aliam DE quae ver insae super X ita , movetitis, ut paralyri semper. maneat priori BC atque ita etiam ut Regula DE propellat Regina ipsi DC aequidistanter super D incedententies ut L propellat Regyhun G, haeculi disuo alteram GH, sicque continuo in i

Hoc instrumento parato pa Iam est, quod, dum. asperitur angulus XOZ, 6 describit interim puniarii,

B lineam Curvam AE , quae est Circuli Circunis trvertia, cum maneant semper aequales Critones, Α Ο, Ο reliqua pune a D, F, H , ubi cetera rvrrhRegularum ' intersectiones fiunt, describant eodem ii tempore Curvas alias AD, AF, ΑΗ, quae Circulo, - , Wipsis sectionibus Conicis magis, magisque com PO- sitae fiunt. Et quod attinet ad primam D; si ,onatur Boe, sive Ao et a CO DG liuia similia sunt triangula BO, CO, utpote . ectangula, communem angulorum in O habentia,

lirit ut BO ad O, ita C ad Doe adeoque, cum propter triangulum rei tangulum DC O, invenia