Johannis Baptistae Caraccioli ... De lineis curvis liber

161쪽

26,ptas, i alterum P e tra easdem , sed ser ademia linea AG poluum maneat. Nam ceteroquin qua tum ad teptiam, descriptio eadem plane rarion perficienda est, ac in secunda , si descripto ex cer tro F Circulo quovis N enaus intervallum a M. maius sit quam , A, describatur ex puncto G Circu- his alter ON, cujus intervallunt, O majus quoque fit, quis HGA; sed ita tamen ut exossus o muno ut inniram in data quav: ratione .. inii Aut ni licta interse num . horum Circuloruiuerunt in aliquaesita. Et quantum ad quarta , ci scriptio perfici debet eadem ratione, ac in prima : nempe, D descripto itidem ex centro F circulo quovis . . o 3 , MN, cuius intervali nummatus sit, quam WA ;des ibatur ex puncto G tamquam centro Circulus alter N, cuius intervallum G minus sit quam G sed ita, tamen ut desectus x minor si quiun

AF ire data semper ratione quia horum Circulo. et mi 4ntersectiones erunt in hae alia ovali atro cita porro utriusque Ovalis macta alia invenientur .. Unde primo tertiae Ovalis is erit natura, uesumpti sciri eius perimetro duobus punctis N MAE; atque ediam ductis tam reis is N, N, quantia regis FAE, G R, incrementa rectarum FN F superrecta P si ii invicem, ut incrementa rediarun GN G super rectam M. Nam per eius descriptionem incrementa rectarum FN Gm super minis Α, G A sunt invicem in data ratione, in qua ration sunt etiam incrementa rectarum FR, G supet iisdem Tectis FΑ, Α 'quare, ex aequa ratione, incrementa rectarunt N, N super rectis in , in proportionalia erunt incrementis rectarum FR, G super iisdem rectis A, GA atque adeo permutando, incremel in rectarum N, F super recta in sunt invicem:, ut incrementa Iectarum N, R, super a ecta. Α

162쪽

secundo quarta Omilis eana habebit naturana; ut, iuniptis itidem in ea duobus punis j N, in tau G octisque etiam lai rectis N GN, quam cciis R, VI. Gk incrementis rectarum FN, a super recta FA propoytionalia sint decrementis rectarum G N, Riu per recta A. Nam incrementum rectae N super recta A est , per ipsus descripti' nona, ad decremem. tum reetae N a recta Ga in data ratione, in qua

ratione est etian increment lini recta AE R siperrecta is decrementum rectae G Ris reci a ; quar. erit, exaequa ratione ut increm, uni recce Flu supe r recta F, ad decrementum rectae G M a rectam A ; at incrementium rectae P super eaden recta Mas decrem tinxi rectae si ab racem rectae atque adeo, mu*ando, incrementa rectarum FN, FR sum

recta A pri ortionalia erunt decrenientis rectarum

deantur; tamen iunt eae quidem quatuor diyersorum g nerum quorum unumquodque, ut iden, Audior advertit, infiitita alia genera sub se continet. unumquodque rursus tot diversas species, quo efficit Ellipsium, aut Hyperbolarum genus Etenim pro iit ratio inter lineas AM, O aliasque consistens diversa est, genus quoque subalternunt harum Ovalium, fit diversum Deinde pro ut ratio inter lineas AG mutatur, vales quoque cujusque generis sub- alterni specie nautantur: quae etiam differre possent magnitudine, si scilicet, manente eadem proportione linearum F, G assumantur eae maiores, velinainores. Nana ex harum linearum magnitudine

ceteris datis existentibus, ipsa q*ove vallum in ingestudo dependet .

Ceterumt

163쪽

J26 ceterum ipse Cartesius monet, si ratior ἰ x linearlina A M, A fuerit aequalitatis ita ut aequa-INA OO te fuerit ipsae reme M AO loco Ovali una pru.riir, c tertii generis , describam tu tantum lineae oa rectaea sed loco secundi onines Huperbolae it locoultinat onmes Ellipses Nan in figuris primae, Qtert: Ovalis istetuitus M, O aequalibuη,

ipsa duo punctam, i in urnim, idemque purimi incidant necesse est ipsius te, minis; a tandeque circuli, qui destiqesinio vicistim P d si tamquam emitris in illo unico st, invicem occurrenim 'ne idcirco in in itiniis is rum contactum ipsam am lineant AG destribent . At vero in figuris semidae, Sinuariae vii lis eminen- DI te Onpsi M aequali; orto Circuire punctis F., Q tanquam centris deis pii interberant tu, punctis hanc aequalitaten nil allud in vi abducitur nil quod in secunda ovali disserentia rectariim FN GN fiat aequalis disserentiae tectarum . A , A G, quae est proprietas umbilicorum Hrpetia solae Sr in quarta Ovali unam earumdem rei larum GN FN sit aequalis sumune rem uni A G

164쪽

Curvarum Geometricarum

I Narratis omnia bus Cur is fineis, qui te

in sua Geminoria insem nari ii nes Curvamn Geometri mirum exempla alica inus. Omnes v rct, quae angi, ur excogitRr possunt , expono operis esse infiniti . Et primo quidem occurrit C sexta, quam affert Iacobus Oetanamus in sua Geometria Praeliea. quam Quadratricem vocat Geometri an , quod ad Circuli quadraturam non Parum . ducit, licet ad Ueterum Cimoidem quam proximatri. accedat. Atque eius ita quidem ortus enormatur. Is Ma Si super recta A B tamquam diantetro destri pici se micia culo mi ductaque per centrit C perpendi laxi DC agatur ex punicto B ad iiι clx uas xentiaui rei la quaevis Bra ac ex pune ora demitistatu perpendicularis altera quae extendaturusque in ut sit portio M N aequalis portioni CP, quam ducta recta linea BR adscindit ex priori perpendiculari i sique inae operatio saeptu

iterer ut habeantur plures harum relarus ij MN eodem semper modo determina rarum , prout ips

occurrente triti tenucirculo, quiui, Curvae in pun-- et

165쪽

rago; E CN; rectangulum sub ordinati, circuli, ' ipsus Curvae comprehensum aequale sit semper rectangulo in M, quod fit ex radio AG in abscissam utrique ordinatae communem M. siqvidem ducta e puncto A ad punctum E ecta B E, quae ipsi DC occurrat in puncto F per genesimis aus Curvae erit ipsius ord dat MN aequalis abscissis

portioni CF. Modo propter lini latudinem truangulorum BCF, ME. CF est ad BC, v CA, Aut M ad B M quare erit etiam ut MN ad A, ita in B M. Sed propter Circuliis tu am, ME est ad M, ut Amad ME; igitur erit ex aequa ratione, ut M ad a, ita MN ad A iIroptereaque rectangulum sub taediis Μ a

erit rectangulo sub extremis C A Atque hinc etiam si alia ducatur recta linea GH Ipsi A perpendaeularis, Qtam semicirculo, quam D . Curvae occurren in punctis A in rectangulum MN

raim rectangulum F MN aequale sit rectangulo CAM, . rectangulum G H aequale rectangulo AI erit ut rectangulum MN ad rectangulum I Η, ita a. rectantuliam CAM, a rectangulum C AI. Sed Propter eommunem altitudine AC rectangulum CAMest ad rectangulum C AI, ut M ad AI quar erit, ex aequa ratione, ut rectangulum MN ad re-, ctangulum GH H, ita ad AI Unde facile quoque erit aequationem invenire ,

qui naturam huius Curvae nobis manisestet neniperelationem, quam habeant inissae cum suis correspondentidus ordinatis N. Nam posita Ac ii, A Μαα, α MN I; erit per Circuli na, i turam LM--κκ. Unde, quia natura ipso Curvae

166쪽

Curvae N eri ut rectangulun EM N aequale sit semper rectangulo in M, erit Isaa x xx zaax sive a adyI-xota πώ ax, aequatio ussita . .

Exinde vero uberrima nobis subnascitur ratio,

Curva lineas describendi simul, de concipiendi , si Ποῦδε cccirca diametrum B descripta Curva quavis A EG, Γ g. O

protrahantur eius ordinatae EM versus N, ut recta gulunt E MN ut aeqv le sempe rectangulo C AM; quod fit ex recta linea mnstanti AC, quam Param truin , sive latus rectum nominare licet, in abscinam correspondenteni A m Nam hoc pacto procreabitur Curva alia ANN, quae alia subinde, atquς alia. erit , ut alia, atque ali insumitur Curva linea gesneratrix EG . Sed poterunt omnes Curvae lineae t. lii pacto descripte hac unica generali aequatione comprehendi. αα x. Milucet si posita recta lineaco

stanti AC ma; ponatur insuper ordinata Curvae generatricis Miris, ordinata Curvae genitae MN,I, abscismi utrique ordinata communis M ale. Quippe , cum per naturam Curvae genitae rectanguluuta EM N adaeque perpetuo rectangulum C AM; erit semper i α κ proindeque, ut Curvae genitae propria aequatio inveniatur, satis erit valorem ordinatae Curvae generatricis per abscissam, expressum in generali illa aequatione dumtaxat substituere. Ut si ponatur primΔ, Curvam generatricem AE esse huperbolam equi lateram, cujus dianaetet transversa sit aequalis duplo ipsius AC quia per naturam huius hyperbolae habetur, Σ am xx

atque adeo a V α --κκ pmito in aequation

167쪽

generali Irmix vice, hoc ipsius valoresau ac orietur Isaax-κα α κ μ II-- ω IIaa κ. Et facile cognosciis ea potest , Curvam hanc genitam, quantuni ad ipsius naturana, non in alio differre ab ea, quam affert Jacobus Unamus, nisi

quod terminus II, qui hic assicitur signo --, inaequatione alterius eius Curvae reperiatur a tus signo --. Et scistin velim, quod quemadmodum Curva Oetanam ad quadraturam Circuli deducit , ita etiam haec alia Curva genita quadraturam hyperi olae dom inet proindeque illam Quadratricem Circuliuenia hanc autem Quadratricem Hyperbolietam licet nun

cupare

Quod si ponatur secund6 Curvam generantem ASG hac aequatione definiri ead Fig. zzzzzzia κα- κωκ H, erit hyperbola Cubim alterius species, etiam aemulatera in qua scilicet latinrectum adaequat latus transversem . Et quoniam iuxti eam habetur Vi. -- ακα, posita an aequatione generali

168쪽

aga substituto in minitione generali am iam vacem hoc

illius, haec si aequatio, a ς --μακκ--- κτα ax, sive GaIII a ra m --ς κ; quae nariiram Curvae genitae AN designabit . Sed animadversione hoc loco dignum existimo, quod si Curva generatrix Pead Fig. E G fuerit aliquiianfinitarum Parabolarum superius a nobis deseripta-runa, Curva genita ANN sit etiam semper Parabolas quidem eiusdem generis cuna Parabola generatrice, sed tantum specie ab ea differens. Nam si ex gr. Ponatur Curvam generatricem A FG esse Parabolam cubicani prioris speciei ita ut existente etiam recta C ipsius parametro, sive latra recto , sit locali

in hanc aliana' a κ. Sive II inae , quae naturam Parabolae Cubicae alterius speciei destia gnat. Et ipsa Curva eneratrix fuerit altera ista Parabola, sitque localis ipsius aequatio a in am

neralis aematis in hane aliam a Vaκκα κ , sive 33 α mare, quae naturam Parabolae Cubi ae mota prioris speciei

169쪽

Advertatur quoque velim , quod si Curva AEG, coniungatur iterum cum sua diametro A B in aliquo ejus puncto B, ade ut Liudat uni ea spatium AE

BA, prout sequens indicat figura de per punctum ducatur recta di ipsim N par llela; quod iiNU is qu3m, res a linea BD sit asymptotus Curvae G ID L nitae AN; nimiruin ipse Curva genita semper ad iulam accedet neque unquam cum illa conveniet. Nam cum natura Curvae genitae A sit ut sesangulum LMm adaeque semper rectangulum C A in utique ordinata Curvae generatricis erit ad

abscissam A , ut parameter C ad ordinatam Curvae genitae M N sed in puncto B ordinata Curvae generatricis Emomnino evanescit atque ita infinities continetur in recta linea AB , ad quanta pervenit abscissa quare etiam recta linea Gcontin bitur infinities m ordinata correspondenti Curvae genitae proindeque ordimata ipsius Curvae A, puncto B correspondens infinitae erit magnitudinis, atque adeo in infinita distantia linea Oi

vae fiet occurrens.

Sed huic eidem methodo insistendo, infinitos alios modus fingi posse Curvas theas describendi Gmul, i concipiendi, perspicuum quidem est. Nam vζὶ ex. gr. Si quemadmodun rectangulum MN aequa iam constituitur res angulo CAM, fiat idem regangulum aequale Am quadrato murva genita N in quacumque Curvae generatricis hypothesi

diversa semper erit ab ea, quae procreatur secundumnaodum antecedentem quippe si ponatur, causa exempli. Curvam generatricem Assic hac aequatione d finiri Σα aue -- ω eri quae designat Hyperbolam sis a suilaxeram primi generis . qui hibetur et a Vraκ- xx, posito in iis pullata generali

170쪽

χ α xx, quae exprimit naturalii Cum gehitae in quacunique Curvae generatricis hypothesi vice ipsius valore raω, habebitur Isaaα--κκκω, seu 2 VII et in quae est aequatio Ciuvae ipsius genitae propria long diversa ab

ea, quam paulo ante secundum modum antecedentem deteximus. Occurrunt secundo loco Hyperbolae Recentiorum consideratae ad similitudinem ipsius Hyperbolae p-pollonianae, sed tamen pro ut inter asymptotos illa iacet. Nani ex Elementis Conicis notum est , quod, si intra angulum BAC describatur Curva aliquam talis naturae, ut ductis ex punctis lateris Ara rectis totidem M N ad ipsam Curvam MN , lateri alteri A Cparallelis, sint aequalia inter se rectangula omnia quae fiunt ex portionibus Am in rectas lineas correspondente M quod, inquam, sit eaden Hyberbola polloniana, quae habet pro suis asymptotis ipsa anguli lateri A B, C. Et posita AM , . erit localis eius aequatio, quando hoc pacto consideretur si omnia ea Gmngula A MN aequalia ponantur quadrato , quod fit ex recta ne constanti a.

Jam vero, quemadmodum huius Hyperti lar ea est proprietas , ut unumquodque mangulum , quod si ex abscissiae LM in ordinatam cormpon sentenia MN aequale sit quadrato, quod fit ex data recta ita Recenti es imperbolas uilias in infinitum excogitarunt, dii quibus non modo rectangulunt sub ipsis ΑΜ, ΜΝ conque istim adaeque quadratum datae rectae sileae; sed quodlibet productum, quod fit ex duabus quibuslibet potestatibus ipsarum ΝΜ, Μas a uat totiiogeneam potestatem alterius con