장음표시 사용
61쪽
demque expectationes omnes his locis respondentes silmmatim coLIigo, ad constituendas expectationes totales utriusque. Sic quia juxta conditionem exempli ipsi A debetur jactus primus, deinde , 'μβ3 6 - , porr6 H, Ir, 13, I , Is M, & sic deinceps, hinc expectationes collusorum his numeris designatorum, primi, Π , V , &c. in peculiarem seriem compingo; atque expectationes adi, 3xii, mi, & reliquorum, in quorum locum B succedit,
in aliam seriem ; quo pacto fiet sors ipsius Ax - ου - τ
rb, eliminando b ubique, & ejus loco starogando a-c, sera A I a 'ra P . A si B M a ibi Aprioris complementum ad unitatem. Idem adhuc aliter ita elicio: Pono denub loco duorum A &B, infinitos luseres A, B, C, D, E, F, G, &c. sed unicuique e rum tot jactus continue instituendos tribuo, quot pro tenore qua stionis conceduntur alterutri A vel B, quoties ludendi ordo de n vo ipsum tangit. Verbi gratia, in exemplo ante allato quarto, pro eo quod A ludere debet semel , B bis, hinc iterum A ter, B quater &c. concipio A ludere debere semel, B bis, alium C ter, alium D quater &c. tum separatim uniuscujusque seriem investiam, attendendo ad numerum jactuum cum ab ipso instituendorum, tum etiam ab iis simul omnibus, qui eum ludendo praecedere debent ; quod nullo negotio fit, postquam jam sepra in annotatis Propos XL spositis illorum numero n & horum s ) sortem hanc generaliter ostendimus esse--M -; semiis
62쪽
quo stilio nil superest aliud, quam ut omnium lusorum in Iocis imparibus A, C, E, G &c. nec non omnium in paribus B, D, F&c. expectationes in unam summam colligantur ad producendas, quas antea, expediationes unius A & uniuS B alternatim ludentium, utpote quas senimis illis aequari debere quivis per se videt. Nec differret operatio, si tres, quatuor pluresvς colluseres, in quaestione sapponerentur. Utrovis autem horum modorum etiam caeterarum quaestio-ntim exempla silvuntur. Solutiones omnium sic habent sumto
IV . . AxIB M in m-&c. Singulae hae series exprimuntur, ut videre est, per seriem aliquam infinitam, in qua signa ε & - perpetuo alternant, & cujus temmini ex serie hia continue proportionalium&ς. per saltus inaequales sint excerpti, quod impedit illius summationem absilutam ; Sed facilis est approximatio in numeris
quantumlibet exactis. Sic positis a γ', numero omnium casuum in tesseris duabus, & cx 3o numero eorum quibus non obtinetur
praescriptus septenarius, adeoque seu mili x , reperitur se ipsius A in primo exempla , in αβφ m, in 3VR , in to-; ubique non una eenties millesima parte major mi norve, ac proinde ratio sortis Α, ad sortem B in IIno ut lyai ad
63쪽
quae terminos harum serierum constituunt, deprehendet illorum differentias ubique coincidere cum ipsis numeris jactuum, qui collusoribus A & B juxta quaestionis tenorem alternatim instituendi sunt: Ita in prima serie r - Φησ&α indices potestatum ordine sunt O ,2,2,4 , , 8, 9 &c. & indicum differentiae x, I, et , I, 3, x &c. praecise respondentes numeris jactuum, quos hypothesis primae quaestionis requirit, quippe quae ipsi A i, Bi, A r, B i, A 3 , Br &c. jactus ordine tribuit. Operae pretium autem est observare, hoc adeb generale est. , ut etiam valeat in iis exemplis, in quibus duobus alternatim Iudentibus numeri iactuum assignantur, quales fortuito e calamo scribentis fluere possunt, nulla certa & constante ratione progredientes ; cum ista consideratio regulam nobis stippeditet amborum sortes momento exhibendi, quae talis et
Regula pro cognosenda serte duorum certatim ludentium , donec alteruter eorum vincat , quando utrique alternis vicibus ali
quot alea jactus continue in lituendi conceduntur secundum quo vis numeros datos S in infinitum continuatos.
Pono autem eosdem regnare numeros caseum seu eundem
manere valorem quantitatis vel m in omnibus auis. θCCribantur ordine primδ dati numeri jactuum utrique concessia O rum , dein summae eorum ab initio collectae ; tum silmmae haesant indices totidem potestatum quantitatis m, quibus per signa altematim connexis habetur expectatio primi ludentis ;omissa verb unitate quae semper primus seriei torminus est, signi que caeterorum inversis habetur expectatio colluseris. Ex. gr. Si alternatim instituere jubeantur, ipse A jactus tres, B unum, A , Bla
64쪽
Bl, As,B',& sc deinceps in infinitum, puta secundiim num ros Cyclometricos Ludolf, caui nulla determinata lege progrediui tur , erunt ordine numeri jacturem 3 ' 26s &c.-umque summae ab initio collectM, O, 3, , 8, 9, Φ, 23, 2s,M 36,&αης proinde sors ipsius
Nota, si numerus omnium jactuum sit limitatus , ultra quem etsi neuter adhuc vicerit ludere prohibeantur, eadem regula valebit, nis quhd ultimus terminus , cuius exponens ex omnium jactuum Smma conflatur, in illa serie in qua signum habet redundat, deoque abjiciendus , quo fit, ut expectationes amborum simulsi impiae eodem illo termino deficiant ab unitate. Sic in praecessi emplo si post ultimo adscriptum quinarium , h. e. post 1actum subsistendum, fieret
PROBLEMA ILTRes Collusores A , B & C assumentes Ia calculos , quorum 4 albi & 8 nigri existunt, ludunt
hac conditione: ut, qui primus ipsbrum velatis oculis album calculum elegerit, vincat; & ut prima electo sit penes A, secunda penes B, & tertia penes C, & tum sequenS rursus penes A, atque sic deinceps alternatim. Quaeritur, quaenam futura sit ratio illorum sortium t
Sensus hujus Problematis ambiguus est, unde variis quoque sol itionibus locus. Vel enim sepponitur, electos c lculos nostsngulas electiones in urnam recondendos esse, priusquam sequens eligit, sic ut numerus eorum perpetu, maneat idem ; vel non esse recondendos, sic ut eorum numerus continub decrescat: deinde is suppo-
65쪽
supponi potest, vel a singulis assumptos esse ix calculos, vel ab
I. Si caIculi post singulas electiones sint recondendi quo quidem sensu nil interest, silve in commune seu a singulis i a calculi assumpti fuerint quaesitae collusorum series hac ratione in-
L Methodo auctoris. Vocetur sim primi, secundi I, tertii Jam primus A cum Iudere incipit, habet casus ad vincendurn seu obtinendum depositum , ob calculos albos , & 8 casus ob S nigros , quibus perdit suam praecedentiam & transfertur an statum tertii, adeoque acquirit. sortem α; quod valet ax ; ac proinde sors primi x x . Ob eandem rationem habet secundus B, chm. primus Iudum inchoat, casias ad obtinendum nihil, & 8 casus ad acquirendam praecedemiam, qua transsertur in statum primi acquiritque sortem x ς quod valet quare secundi sors I x lx. Pariter quoque tertius Ca principio habet casus ad nihil um,. de 8 ad obtinendum secundum eligendi Iocum sive secundi sortem I; quod tantundem estac'; quocirca tertii sors ty, hoc est, zo& quia Ietiam reperta fuit lx, habetur ῖx, hoc est , R. lx, qui valor ipsius et in prima aequationς substitutus exhibet
ut '. 6. . ar. Methodo nastra. Posito generaliter calculorum omnium numero a , alborum nigroruM c, concipiantur,. ut jam sepius factum, infiniti colluseres, qui praesti ipta conditione ludant, unia que post alterum calculum educat & reponat ; erunt rursiis per
66쪽
. I. II. III. IV. V. VI. VII. Um. IX. X. XI. XII. XIII. XIV. XV.&ta
unde cum per hypoth. prima, Ax , ', ro &c. electiones sint pςnes A ; sxR, 83ta, &c. penὲS B ; 3Π', 90., c. penes C ; additis coIlusorum his locis respondentium expectationibus in unam siurimam , habetur expectatio unius
adeoque ratio sertium , ut a c. cc, id est, hic ob a. c :: 12.8 r: 3. 2) ut 9. 6. q. ut antea. Nota, si quaestio proponeretur in colluseribus quatuor, series eorum eodem pacto repertum iri se habere, ut a aac. acc. Sc si generaliter in colluseribus n, ut an - a j c. Persendo semper in ratione continua a ad ι.
II. Si porrh sensus Roblematis sit, ut assumpti in commune calculi Ia non reponantur, postquam ex urna exempti fuerint , Dbservandum est, qubd per continuam eductionem calculorum ni 'grorum, primus quidem colluser transeat in locum tertii, tertius in locum adi, secundus in locum primi, non idcirct tamen pariter sexies, quas ab initio Iudi habuEre, invicem permutent, ut factum fuit in praeci hyp. sed quod sebinde alias novas & a prioribus di' versest ob mutatum calculorum numerum acquirant, easque t mensimpliciores quo plures calculi nigri educti fuerint, atque ita comparatas , ut tandem desinant in series omnino cognitas. Quapropter
incipiendo consueta Auctoris methodo ab omnium simplicissimis,& pergendo retro per omne. intermedias, perveniemus ultimb sola synthesi utendo ad casum in quaestione propositum. Hune in finem supponamus, eductos jam esse calculos nugros , adeoque proximum eligendi locum ipsi B deberi. Sie pri-H t mus
67쪽
. ςxpe tibit; quandoquidem reliquorum este; uter H vel C ob residuum nigrum unicum necessario album educet & vincet. Secundus verδ B ob albos 4 habebit casus ad vincendum, unumque ob residuum nigrum ad perdendum ; quandoquidem si eduxait , tertius C infallibiliter vincet. Sed ob eandem rationem tertius C habebit casus ad perdendum & unum ad vincendum. Unde colligimus, sortes trium A, B. C eo casu reo, , δ. Supponamus deinde, eductos esse nigros sex. Sic habebunt, primus quidem A, quem proximus tunc ludendi ordo tangit, casus ad vincendum , totidemque ad perdendum duo reliqui: omnes vero tres ' residuos duos nigros duos casus ad obtinendum praecedentes ruas expectationes , quandoquidem altero horum educto
unicus restat niger, ordoque lud iam ipsum B poscit, qui casus es praeced. hypothesis. Unde sortes ipserum nunc sent λ.
ringamus porro, edu s esse nigros quinque. Sic habebit tertius C, quem tangerent eligendi vices, ad vincendum ; reliquique duo ad perdendum casus: ob residuos autem tres nigros, quivis illorum etiam 3 hab. t casus ad expectationem suam modo inventam. Unde jam sortes ipserum fiunt , P , I. Rursas si educti concipiantur nigri quatuor, sic ut aequalis aIborum & nigrorum numerus supersit, erit una medietas casuum
contra A & C; altera verb medietas omnes tres ad praecedentes expectationes promovebit. Unde nasicuntur sortes ir, I
i i N QRς si ςdini sint nigri tres, inveniuntur series ii , Si nigri duo, M, , Si ν γ ν
Si denique nullus adhuc calculus eductus fuerit, quem se um tum prim6 intendimus, & pri pter quem praecedentes Omnes exin 'xς prius oportuit, sortes colluserum A, B, C, simili modo reis fiuntur γ' , , Ξ- , nomen reductae ET in 1 optata ratio sortium se, ut r7, 3 , 3 . f
inti potab nobis familiaris Miam in praesente hypothesi
68쪽
locum habet; neque enim hanc magis respuunt eae quaestiones, communiter sola synthesi solauntur, quam quae analysii opus M/bent. moniam octo sint calculi nigri non reponendi , postiquam educti fuerint, fingo novem esse colluseres, qui singuli ordi-nς singulas electiones instituant ; quo fri ut unus eorum necessa rio tandem album educat ac vincat. Nullus autem *em vince habere potest, nisi omnes ipsum praecedentes continub nigros inuxerint ; quocirca stippono horum numerum cui casuum numstrus proportionatur gradatim minui, atque post primam esectionem superesse calculos nigros septem, post sex, post 3 quinque , & sis deinceps ; indeque singulorum collustrum series por Regulam Prop. XII. annexam elicio, juxta sequentem latetaculum et
aum, quia prima, &-eIectiones debentur ipsi A ; & sv ipsit B; 3μ', & 'φ ipsi C ; expectationes collusorum his numeris designatorum collective accipio, & habebo pro expe
- Α s 7 η . quae fractiones omnes ad nomm comm
69쪽
me s- 6. 7. 8--1 . II. I 2, reductae numeratores nanciscuntur se
causorum bc calculorum quocunque, si tanti referret his i
II. Tertio sensu acceptum Problema celim singuli trium colluserum assimum ia calculos, aliusque post alium e viis unum depromit Ec non recondit patim differt a praecedente hypothesi, nisi qubd ob auellam calculorum iuunerum multb Prolixiorem mperam deposcita
Supponamus primδ, ipsis A & B nullum amplius superesse
calculum nigrum, ipsi C Vero adhuc unum, quem propterea eligendi vides tangenti is propter calculos albos es a nigrum, habet cassis ad vin idum dc unum ad perdendum s quandoquidem si hunc eduxerit, ipse A cui non nisi albi supersunt infallibialiter vincet: sed & ob eandem rationem primus, A vicissiim habet cassis ad perdendum & unicum ad vincendum ; -ndo verbn nihil omninb relinquitur , Q quM alterutri reliquorum necessariis cedet victoria. Unde colligitur, senes ipserum A, B, C, fore t , O, Supponamus deinde , ipsi A restare nussum, & sngulis relum mna unum nigrum. Sic ipse B, quem Higendi ordo tangit, ad vincendum cassis habet, totidemque ad perdendum reliqui ;
70쪽
unus veri, castis est , qui unicuique illorum praecedentis casus e pectationem affert ; id quod ipsis A , BC sortem parit 13 , Supponamus tertit, , singuIis A, B & C , restare unum calculum nigrum. Sic A quem penes proxima stlectio est, φ habebit d vincendum, reliquique ad perd dum casu ue unum vero, quo perducuntur omnes tres ad praecedentes suaS eXpectationesia Unde nastuntur ipsis sortes i S γ
ς sum propositum, qui singulis colluseribus 8 nigros calculos attribuit. Sed quia haec sigillatim persequi supra modum taediosiim
foret, idcircb ostcndam, quo pacto quaesitum per saltum obtineri queat, inveniendo selummodo sortes illorum statuum, in quibuς unicuique colluserum aequalis nigrorum calculorum numerus summest quem numerum semper vocemus c,: sicuti alborum b , & mnium Oportet primb considerare omnes variationes, quae accidere possunt cum unusquisque collusorum unum calculum e suis depromit ; perspicuum autem est seri posse, ut vel omnes tres educant ibum calculum vel duo tantum, vel unus, vel nullus. Deinde Ritendendum, qnot casus singulis harum variationum respondeant quorum quidem numerus hoc modo initur : Si quis certaret fore, ut omnes tres educant album, ejus sors foret : si futurum contenderet, ud duo A M B, vel duo A & C, vel B M C, album eligant M tertius nigrum , sortem haberet r si propugnaret fore ,
ut silus A vel B vel C album eximat, reliqui nigrum, sortem poς sderet si denique nulli album concedere vellet, sortem obii neret squae omnia eX Cor. r. Rogulae Prop. X II. subjunctae pa- testunt , cum tantundem haec valoant, aes ipse in aequali numero casuum tribus jactibus quippiam praeciso ter , aut bis, aut semel,