장음표시 사용
301쪽
sequitur, quod existente latere recto Parabolae 4, &abscissa BGn, aut applicata GDi, longitudo Curvae Parabolicae BD aequetur Φ λ - λε λ - λ Φ a &c. Coroll. Ex serie collata cum XLII. Curvam Parabolicam cum Spatio Hyperbolico inter A*mptotas comparandi modus innotescit. Suffcit monuisse. LII. Rectificare Curvam Logarithmuam per feriem ct aliter. Fig. s. Insistat axi S A Curva Logarithmica C B , cujus ordinata A BOO i, subtangens A K so b , alia quaevis applicata RE e ς, ejusque elementum EF ip x quaeritur rectificatio portionis Curvae BE B ). Quoniam per XLVII. elementum abscissae
indeque elementum curvae E Gfractionis per inaeque - multipIicatis )-x - - de quorum flammatione hic quaeritur. Prioris membri integrala purum est det et vij bb, quod ob primam e x A B M i inde a V i bb decrescere crescere intelligitur ad usque dee- bb;
adeo ut omnia ejus decrementa incrementa) huc quadxantia, seu
hoc est, aequalia disserentiae duarum in B & E tangentium rectarum B Κ & E N , . Posterioris membri integrale.
quoniam ita planum non est, praevia reductione investigare coisnor, eaque simili huic, qua supra Prop. L. pro Curva LoXodromica fili usias, cum in elementis analogiam quandam observem. Po-no itaque primδ e rufo , eoque mediante tranSformo
302쪽
enim curvae aequali utririm inta ipiζtur J M S , id est, omnibus seu omnibus pro portione curvae BE B recti
summa etiam per seriem reperta. Additis itaque ambo-δm animis fient omnia EG seu Iongitudo curvae BE B
rentiae tangentium BK & EN una cum resegmento axis
303쪽
tiones Wallisianae, vel Exaltatio binomii ad potestatem indefinia tam , vel Assumtio seriei fictae instar quaesitae, aut consimilia sub rasilia, quorum pro re nata nuno unum nunί plura in usum verti queunti pauca eorum stetimina post generalia nonnulla in uno alterove exemplo subjungemis. LIII. Quantiatassem quamcunque surdam vel irrationalem in serieni in iram rationalium convertere per interpolationes simul7sanu.
Reducatur quantitas rationalis, cujus potestas fracta sive radix aut latus quaeritur, ad fractionem hujus forma se ponendoni V n ) . Hujus fractionis potestates integrae, prima, secunda, ter
In his seriebus observabis, coefiicientes primorum terminorum constituere unitates, coeficientes sicundorum numeros laterales, tertiorum trigonales, quartorum pyramidales, & sic porris; terminos vero puros ordine oriri ex ductu fractionis - ad potestatem elevatae similem ei ad quam elevanda fractio in I, - , ' - ., &c. Hinc ad inveniendas potestates intermedias sive radiaces s ceu media quaedam geometrica, quorum exponentes sunt arithmetice medii inter exponentes integrorum numeri termin
roum fgurati tantum sunt interpolandi juxta doctrinam Wallisii Prop.
304쪽
INFINITIS. 20SProp. I r. seqq. Arithm. Infin. Est vero, posito exponente veI i dice potestatis p , generalis character lateralium quoque ρ , trigonain Iium t pyramidalium , &c. ut ibid. docetur Prop. I 82. Quare sip interpreteris perst, invenies potestatem dimidiam
Ees 1 si ρ explices per , habebis trientem potestatis
si per l, obtinebis sequialteram potestatem seu A V
Grossi Quoniam positis I, in & η aequalibus inter se, fit quantitas x - , praedictae abeunt in series purorum
i D. in colligimus, series ejusmodi natas ex
ductu ontinuo fractionum , quarum numeratores & denominatores in progress. arithm. per differentias primo denominatori aequales m- surgunt, summas fundere infinitas; quod apertius ita constabit: Minue numeratores, eosque aequales constitue denominatoribus singulos singulis, nempe secundum numeratorem primo denominatori tertium secundo, Φ 3UO, M ita deinceps ; sic enim CX. gr.
m ω , per Cor. z. XVI, unde sortius aItera et in &e. ob numeratores majores infinita erit. Caeterum postremus terminus cujusque seriei nunc nullus est nunc infinitus, prout exponens potestatis p, vel prima stilςi stactio, unitate minor est majorve: Sic ultimus
305쪽
296 D E SERIE aias ultimus terminus primae serici: nullus est ; nam si quantus
esset, etiam hic foret quantus &c. utpote cujus singuli factores sangulis factoribus praecedentis termini ordine sumtis sunt majores ;quare & utriusque productum quantum foret, i p. in m c permistis alternatim utriusque factoribus) . OO ob numeratores omnes primum sequentes, & denominatores ultimum praecedentes se mutuo perimentes I x o, quod a
surdum. Ultimus contra terminus tertiae seriei &c. infinitus est ; nam si finitus esset, etiam hic foret finituS , , .l, utpote cujus singuli factores singulis illius sunt minores 3 quocirca utriusisque productum finitum foret, nempe dcc. in &c. x ά : -x destruentibus se mutuo numeratoribus qui ultimum praecedunt, & denominatoribus qui primum sequuntur P zo oo, quod pariter absiardum. LIV. Idem praestare per exaltationem binomii ad potestarem indefin
Quantitas rationalis, cujus potestas per seriem desideratur, si e pressa per binomium x n ponendo i n). Hujus binomii pol stas indefinita p, ut jam pasTim inter Geometras notum , per seriem
- &c. ubi perspicuum est, quod quotieScunque exponens potestatis ρ est numerus integer & positivus, series neces arib aliquando abrumpetur; quandoquidem in continuatione ulteriori coemciem tium p. p - I. ρ - 2.&c. necessarid tandem devenietur ad p o; quod proin illum terminum & ab illo deinceps omnes evanescere facit. Sed quoties ρ numerus fractus est aut negativus, coefficientes nunquam in nihilum abibunt, ac ideo series in infinitum e
306쪽
& pariter in caeteris. Nota, quod exaltatio binomii ad potestatem indefinitam & in terpolationis negotium Terpse in idem recidunt, unoque & eodem nituntur fundamento , quod consistit in proprietate quadam nu melorum figuratorum supra jam praelibata Propos. XIX. sed cu jus demonstrationem, ne hic nimii simus, in aliam occassionem re . servamUS. L V. Duaruin quantitatum indeterminatarum relationem unius ad alteram per seriem exprimere , ope assumta seriei fictae instar quaesitae. Ponatur alterutra indeterminatarum x se quarum relatio ad
se invicem quaeritur, puta I, aquari seriei H-fx', &c. aut aut a b x' cae ineae ζ, &c. aut simili, prout opus Videbitur, atque tum in quantitate vel aequatione proposita loco I substituatur haec series , nee oon loco d) Sc do, Sc. seriei differentiale aut differentio-disse sentiale, &c. quo facto eX comparatione homologorum termin rum determinari poterunt assumti coeficientes a. &ci SNquuntur Exempla: LVI. Inνenire relationem coordinatarum Curra Elastica per ferienti
Fig. Flectatur Elater in curvaturam A QR a potentia applicata in f, di trahente juxta directionem A Z; sitque a B vel R Z x a , ΑΕ vel
P. et r. & 16's. p. 38. naturam hujus curVae eXprimi aequationex , e qua qui methodo Diophanti, qua in praeced. parti usi fuimus, irrationalitatem tollere Vellet, aetatem consumeretri cum deprehensum sit a Geometris, summam vel differentiam duorum bi- quadratorum, qualis est a'sex', nunquam posse constituere qua-Pp dratum:
307쪽
confugiendum est vel ad Interpolationes, vesaci indefinitam Potentiam binomii, hoc pacto :I. Med. Interpretemur tam per i , quam pern, Sc a' per m ἡ
,. x , pG LIu habetur , id est,
L VII. Recificare eodem Curram se riem. Fig. r. Quia aequatio curvae, ut dictum, est o
adeoque de M Exponamus a' nunc per
308쪽
ί, - &c. Idem etiam per LIV. simili modo ostendetur. Creost. Facta X Marur, habetur tota a QR M 1 ε - f. - &c. vid. Act. Lips Io . p. 27 .
L V IN. Definire limites pracedentium serierum. Fig. 7. Quoniam series his methodis repertae nimis lente convergunt, non abs re erit, si modum ostendam , quo levi labore summis earum quantum ad usum stissicit, approximare & limites consti tuere' possimus. In exemplum propositae sint proximae duae series, quibus exprimitur applicata Elasticae BR ves AZ, & longitudo ip-
jus integrale haberi possit, datis series propositae fluxerunt, aisnem, puta cujus integra-
Ie est ρ , eamque pari methodo in sortem reselvo, &seriei terminis summatis pro x & unitatem pono; quo pacto series emerget: iis in aequalis proinde seu o. soozOCO. Colligo jam singula rum serierum terminos aliquot ab initio in unam summam squod expedite fit per LogarithmQS) ζX. gr. decem primos terminos, qui collecti efficiunt in prima serio O. DOasso: in secunda seriea. aeto I 87: in tertia O. II9OI . Hujus igitur reliqui post
309쪽
3oci DE SERIEBUS decimum termini ad complendum I seu o. soooooo) constituent o. c88o986 , qui numerus additus summae Io primorum terminorum in pr. & sic serie exhibet O. s 6 & i. 3o88I7ῖ , summis totarum serierum justo minores, ob singulos tertiae seriei terminos minores homologis terminiS reliquarum. Deinde , quia undecimi termini in tribus istis seriebus sunt
liquet terminum hunc in serie tertia ad eundem in serie prima reciproce esse ut ῖ ad ψ , & ad eundem in secunda ut I ad
terminorum vero sequenti m sngulos in tertia ferie ad ejusdem ordinis terminos in reliquis seriebus habere rationem majorem qu- 3 ad - ,& quam I ad 4 : unde & summa omnium sequentium decimum in tertia serie ad summam omnium post decimum in reliquis seriebus majorem rationem habebit. Idcirco si .at , ut ῖ ad - , nec non ut I ad ψ , ita summa terminorum. post decimum in tertia serie, nimirum O. o 88O986, ad O. O9OI 7 & ad O. O9 1' 8 ; erunt hi numeri Aajores summis terminorum decimum 1equentium in prima & secunda serie : quapropter si a dantur summis Io priorum, quae sunt O. IoasCO& I. 22O7I87, erunt quoque numeri provenientes Q. Coo οῖ & I. 3Isa 6ῖς majores summis totarum serierum Reperti ergo sunt limites, quibus summae primae & secundae s Dei definiuntur: limites illius sunt o. s 983s 6 M O. 6OO οῖ ς
proxime se habeant ut Io, 6, II. Cons. Ast Lips 16' . p. 27 . S. . Quoniam ex natura descensus gravium demonstratur, qudd tempus descensus penduli alicujus per quadrantem circuli ad tempus des ensus perpendicularis per ejus radium eam rationem habet, quam habet Curva Elastica AR ad ejus axem R Z, h. e. majorem, ut ostendimus, quam 13o8 ad Iooo, & minorem quam I 316 adtOOO : tempus autem descensus perpendicularis per circuli radium ad tempus per semiradium se habet, ut ad I: & tempus per si radium
310쪽
INFINITIS. 3OI miradium ad tempus per arcum minimum consentiente Hugenio in Horol Oscillat. p. 1 F.) ut diameter circuli ad ejus semiperiphe riam, h. e. ut ad 3s s descensius penduli per quadrantam in ζgrum ad tempus descensius eius per arcum minimum se babet in ratione majore quam 3 oo ad 2888,& in minore quam S PQ δd λ862, uude rationem 3 oo ada oo sive δέ ad 29, quam PG sexu. Auct r ibid. pag. y temporibus horum descensuum assignat, extra hoS limites cadere liquet. LIX. Dati Lognitist Numerum in vire Pcr ferum. Fig. r. Intelligatur Curva Logarithmica PCis cujus axis subtangens constans OOt, applicata BC i, Logarithmus datus SI B. x x, ejusque Numaus ) M ' , erit EX generali curvarum na
se &c. & comparatione homologorum terminorum
aliter idem absque disserentialium adminiculo : Concipiatur Lovus
divisus in partes quotlibet aequales BE, EF, FG, &c. 8re. quarum numerus sit n, & singulae dicantur d, sic ut se m B I B0 x Tum applicatis curvae rectis totidem EΚ, FL, G M.&c ι , φ λγ μ ,- jungantur extremitates C & Κ - dua