장음표시 사용
271쪽
Liquet hinc, quod summae duarum serierunt cetiamsi incognitae) possint ad se invicem habere rationem cognitam. vid. Prop. XVII. sub sin. Extendit se autem demonstratio ad potesa tum radices sive ad potestates fractas non minus ac integras : sic ex.
denominatores sunt cuborum radices quadratae) omnes terminos i corum imparium ad omnes parium esse, ut V 8 -x ad i. Mirabile
verb est, quod in serie -- cujus simina inlinita est, ceu major serie in &c. ob denominatores minores termini locorum imparium ad terminos parium juxta regulam inveniuntur habere rationem V 2 - et ad I. minoris . ad majus cum tamen illi cum his sigillatim collati iisdem manifesto sint majores : cujus ἐναν-αν- rationem, etsi ex infiniti in
tura finito intellectui comprehendi non posse videatur, nos tamen satis perspectam habemus. Idem vero de similibus seriebus aliis, quae infinitam summam habent, intelligendum. XXV. vri s Tl su X, -- alia Im- fnionica terminorum roti o denominatorum eoruntem, ἱ- , signis o - alternatim se excipientibus , sumtoque fae a- - , e et es Anma 1 habent. Etenim
272쪽
Etenim subtrahendo terminos locorum parium a terminis imis parium, provenit eadem utrobique series,
i. Summa seriei invenitur, reselvendo illam methodo Prop.XIV. in series fractionum pure proportionalium L*M - - Nino ε Ρ Φ dcc.
cta essicit summam omnium serierum L, M,N, δρα
hoc est, ipsius seriei propositae ta
273쪽
a. Observandum, si summam esse finitam, adeoque ultimum seriei terminum evanescere, vid. Cor. XIV. Sin viae: b, dc summa infinita est, & ultimus quoque terminus est infinitus; tum enim singulae progressiones Geometrica: L, M,N, &c. sunt crescentes: confer Prop. V. At existente summa quidem infinita est, sed postremus terminus finitus: tum enim surrogato in in locum b, secundus ter
finitum: unde patet, terminum incoitesmum restivi in - Θ serie infinitorum Geometrice progressionalium in ratione in ad I, quorum summa per Cor. VIII. est . . ruar ipsi - addita vel subtracta essicit terminum infinitesimum , cujus numerator differen tiam numeratorum primi & secundi termini, uti & denominator denominatorum eorundem differentiam exprimit: quare clim ex Prop. X. manifestum sit, terminum ultimum hujus progressionis
itidem esse E sive ΘΗ ; sequitur in utraque progres
sione Κ & in primis duobus terminis existentibus iisdem ultimos quoque esse pares, quamvis incrementa vel decrementa prioris magis stabitanea sint, quandoquidem ejus termini non nisi per saltum expostoriore sunt excerpti: Invenio enim, quod memorabile est, tertium terminum seriei convenire cum termino in in et, quartum cum ni in in vi in et , quintum cum m 3 -- et , sextum cum m --ni3--mm--m in et seriei in & sc deinceps; uti patere poterit ex subjunctis salebus, ubi a valet et , c 3, vel m S Ecd I.
274쪽
Iritellige vero, quae dicta sunt de summa ultiimoque termino seriei K, si numeratores praecedentium sunt aeque - multiplices aucti coma muni numero d; vel diminuti quidem eodem numero, at insuperab a- d. Nam si diu ab Oa-sed, aequivalebunt singuli numeratores ipsi a , summaque seriei fiet finita, nempQ i. ., & ulumus terminus evanescet, sive in existat M vel x ipsi XXVII. Si dati cuju)libet numeri radix quadrata ducatur En ipsum numerum, O producti radix quadrata demo ducatur in eundem, O producti h j radiae inrum iterumque; idque sat continuo in infinitum : erit radix pr ducti tillimi aequalis ipfi dato numero: puta, si datuS numerus vocetur a, erit
xxa. in XX v III. Si dati num ri cujuslibet radix quadrara addatur ipsi dato numero, o aggregati radix quadrata denuo addatur eidem, se a regati hujus radix iterum iterumque i idque fat continuo in infinitum: radix aggregati ultimi radicem dati numeri quarta parte unitatis aucti dimidia unitare siuper
proinde XX X a, &x xl V. a. E. D. X XIX. duobus nAmeris quibusvis, si rarix quadrata unius ducuiatur in a terun ct prodacti r rix quadrata in privum hujus producti r citae in alterum, atque ita semper productorum radices ducantur alternatim in dati rum alterum; idque continuetur in infinitum: erit radix producti ultivii aqua lis alterutri duorum mediorum proportionalium inter duos datos numerοι pu
275쪽
XXX. Datis duobus numeris quibusvis, si radix cubica producti ex utroque ducatur in eorum pretinsem, o producti radix quadrata ducatur in productum ex citroque, o hujus producti radix cubica dentio in eorum pr imum ct sic alternatim radices cubica e, quadrata ducantur in eorum primmn ta' pro uectum ex utroque, erit raix producti ultimi aequalis primo vel sicundo quatuor mediorum proportionalium inter duos duros puta xl: a VC: a b : a , C: a b, &c. S. a b, & C: abd: a C: ab): a Scc. S. a 3bb.)XXXI. Datis duobus numeris Vtilbinaris ,s radix quadrata secundi ducatur in primum, o producti radix quadrata iteram in primum, producti vero hujus radix in secundum, ct hujus producti radix denhὸ in primam, o sic alternatim productorum radices multiplicentum, bis in primum, semel in secundum, era radix producti ultimi x prima , secundo vel quarto sex proportionatu in inter duos datos put : ad: ad: bd: ad: ad: b &c. BS. a 6
XXXII. Daris duobus numeris quibusvis p q, si tertius quisunque ductu in q, addatur ipsa p p, o ex radii e Ammae siubtrahatur p, O remni radix in qducta addatur ipsi' p, ex radice siummae denuosubtrahatur 9, sic deinceps in in nitum, erit radix ultimi residui, puta d: -pεψ:pp Φ q, :
XXXIII. Iisdem positis, qua in praecedente ,si ubiramo ipsim p vertatur in additionem, erit radix a gregati ultimi, puta xl: p Φ d: p p Φ q. :- pq-d: p pq-q ': &c. radix aequationis X3ω - 2pX-Hq. . XXXIV. Datis duobus ημmeris p ct q, si tertius in q ductus subtrahatura p p, ct radiet reliqui a p addatur de natura ei ct siummae reliqtiique radix in q secta subducatur a p p, ct radix reliqui, &c. erunt rari es Ammae re
276쪽
solas rectas lineas & circulos, quam praestantissimi omnium secul rum Geometrae a bis mille retro annis anxie sed frustra quaesivere. Hanc ego, quoad fieri potuit, Per si riem constructionis in infinis tum continuandae, primuS omnium exhibui in Actis Lipf. ment. Septemb. 168'. cum nemo simile quicquam sicripto publicailet, tomzz nec animo concepisset uspiam.
De Usiti Serierum Infinitarum in inadraturis
Postqhavi prima parte laboris nostri defuncti sumus, variarumque quoad fieri potuit taei larum siummas cabi inius, stuperest, ut ad alteram in i tuti partem transieamits, osteniendo modum eas applicandi ad dimensionesqcantitatum Geometricarum , prae enim istarum, quas transcendentes nuncupant, ii et feriebiu , qua hic ifui venient, raro contingat esse ex numero earum, quas proxime contemplati siumlis , quarumque Jmms in poteytate habemus. Observarunt enim Geometrae , plurimas dari quantitates , cujusvista sunt pleraeque Lineae Curvae, es pleraque ab iis comprehensa spatia, qua nullis numeris vel rationalibu3 xel surdis quantumvis compositis exprimi , h. e.
duarum relationes ad altas data sub vestra aquatione algebraica definiti graditi costi possent, sed qVa omnii a Vationum gradus quasi transcenderent ; aeiriirco attentandum duxerunt , num quaε uno aliquo numero essari non poterantia per sieriem saltem infinitorum, maxime rationalium, exprimere liceret, qui ira continιδ ad qtiae mi Mccederetur, at error tandem data quavis quantitate nunor fieret , totaque series exactam qua siti valorem exhiberet. Inrentura, quod, quantum c stati Π cute demtim hoc situlo a Mercatore,
277쪽
Gregorio, Ne tonori Leibnitio, in lucem productum fuit. Quid primi tres ce memoria prodido int, etiam tum ignoramus. Summus Geometra Leibuit , qui rem haud dubie long sime provexit, D ter alias series, qua nobis in Actis Lips imp rtivit, unam initio Acto ι 6 r. pro circuli magniturine dedit sed methodum , qua istuc pervenit , nusquam expo iut. Quantum conjicio, nηn dissert illa a nostra ; nam ct in eas /m cum imo sieries incidiamin O ipsius subinde calculo disserentiatii usi siumus , uti postliac patebit. Principia Rujus calculi exhonere nimis longum ct alienum D et. Ea Cir per id stri, D. Marchio Hospitalius in Libro de Analysi infinite parvorum nuper- rrme edito persis e tradit, ad quem proin Lectorem remittimus.
MIxtam Seriem voco, cujus termini muItiplicatione sunt cor flati ex terminis ejusdem ordinis aliarum serierum. Ita si
sint series a, b, c, d, e, &e. 5cf, g, h, , G dcta mixta ex utraquaerit af, h, ιο, di, e , &ς. XXXVI.
Tractionem convertere in seriem infinitam quantitatum geometriιe proportionalium. Fit hoc per divisionem continuam numeratoris per denominat rem, hoc pacto: m in I habeo quod multiplicatum per divis,
rem m--n, Sc subtractum ex dividendo i relinquit 2 ; hoc rursuqdivisum per m facit , quod ductum in m-η & subtractum ex dividendi resiquo essicit residuum N, hoc denub divisum perficit , quo ducto in m-η dc btracto remanet , atque ita deinceps sine fine in infinitum: semper enim aliquid dividendum superest, cum unius membri dividendus a divisore bimembri nunquam sine residuo exhauriri possit. At hoc residuum, continuata operatione positoque m ', perpetuo decrescit, & tandem data quavis quantitate minus si, ut patet. Est ergo fractio proposita
278쪽
' ' Ia T uti summa Progressionis Geometricae
proportionaliunt. Facta divisione continua numeratoris per denominatorem , e
dem ltat sieries, quae antea, nisi quod termini eluS aIternam tim fiant potivi & negativi. Est igitur quantitas Me tv &c. saltem si ponatur m η: tum
riss snstulas divisiones reliquum manet, continuo min
'don e conrita in infinitum operatione prorsuS Galaestat. Idem quoque sic elucescit: Quoniam in serie quantitatum di ex hyp. pυirius terminus est ad secun-
t ter ius ad uartum, & quintus ad sextum &ς Πρύ
mum &c. Crit etiam ex aequo, PrimuS ad tertium, ut tertiuS
estim M quintus ad septimum &c. quod docet, primum, te L strum' septimum &c. terminos exemptis reliquIS eti mine ce pi oportionales esse, quorum adeo si 'mma per Corollar. VIII. invenitur . Eodem pacto ostenditur, secundum, quartum, sextum &ς. Wrminos seriem geometrice proportiona ' - ἡ- . Igitur differentia harum lium efiicere cuius summa g
279쪽
duarum serierum , seu - - dcc. Mae ac propterea quantitas in istam seriem vicissim converti potest. Corost. I. In omni Progressione Geometrica descendente priamo termino existente determinato, signisque & - alternatim se excipientibus summa seriei limites habet, quos nequit attingere, nedum egredi, qualiscunque statuatur ratio progressionis. Cum enim per hyp. η o, & m, erit α iris perpetuo minor est ipso primo termino, A major ejus semisse. Coro I. a. Si tamen m M n, fiet M - & series - -
fuit non inelegans, quod M E. . Exenim
s ultimus seriei terminus signo - affectus concipiatur, termini omnes se mutub destruere apparebunt, & si signo in , aequari ubdebnntur ipsi non - . Ratio autem paradoxi est, quod comtinuata divisione ipsus i per m in m , residuum divisionis non mirunuitur, sed perpetuo ipsi l aequale manet ; unde quotiens divisonis
- - - &c. - vel , faciendo stil. fractionem ex residuo A
divisere, illamque signo H- vel - assiciendo, prout ultimus seriei terminus vicissim - vel ε habere fingitur. XXXVIII. Fractionem transmutare in seriem infinitam.
XXXVI. facta utrinque multiplicatione perata habebitura eta seriei
280쪽
INFINITIS. 27 Iseriei A , cujus termini singuli de novo in totidem alias series B, C, D, E, F, &c. per eandem XXXVI. Prop. convertantur. Quo facto serierum istarum termini homologi in unam summam
conssati novam seriem T constituent, aequalem propterea quantitati propositae mi tamque ex serie numerorum natur lium x. r. . &c. & quantita uin geometrice piogressionalium
Eadem series Σ elici quoque potest divisione continua numeratoris I per denominatorem min-21; n - - nit, dicendo: nim in i, habeo - , quod ductum in divisorem & subtractum ex dividendo relin-
quit - - - ; tum porro in m In se, reperio - - ,
quod multiplicatum & subtractum, ut decet, residuum esscit - Η ' atque ita ulterius pergendo in infinitum: quo p cto
observabitur , post Ungulas operationes Quo membra reliqua manere, sed illa usque & uique minora, tandemque data quavis quantitate propius ad nihilum vel gentia. Idem etiam ostenditur eX lege reciprocorum, resolvendo seriem Σ methodo Prop. XIV. in infinitas series geometricas B. C, D E, F dcc. harum enim summae cum novam progreisionem A colastituant,