장음표시 사용
291쪽
Corost. I. Identitas hujus seriei cum illa, quam supra Prop. XLII. pro spatio Hyperbolico quadrando reperiimus, de mutua depen dentia & affinitate inter Hyperbolam & Logarithmos nos admonet, perspicuumque facit, quod sumtis in utraque Fig. r. & 6. ipsis Bl s B ) aequalibus spatium hyperbolicum CBIO CBio) aequetur italo sub unitate AB & Logarithmo AR Aeb. Unde pomrb insertur, quod sumtis utrobique AB, A G A D, hoc est, A B, e ν, continue proportionalibus, quo casia ex natura Logarithmicae Aedupla fet ipsus A , spatium hyperbolicum CBD induplum quoque sit ipsus C B . ., indeque C B i , ο ι D Q spatia futura sint aequalia. rost. 2. Quoniam evidens est, existente BI x AB, h. e. e neIcente AI seu RE, Logarithmures A R reddi infinitum , sequitur& Ieriem harmonicam Logarithmum hunc exprimentem , b - μ
; - , - ' - , &c. talem esse 9 unde denub veritas Prop. XVI.
Corost. Dato quovis Logarithmo puta binarii, determinari potest ex illo curvae subtangens b; cum enim posita BD xxx AB, adeoque A D x σα x r, ostensum sit A W Loseum binarii esse x b-
X L VIII. Dato Sinu complementi reperire Logarithmum Sinus recti
per seriem. Fig. 6. In eadem fig. centro A per B descriptus esto circuli quadrans BHC, quem producta EI secet in H, erit AI seu RE sinus arcus H. , & AR ejus Logarithmus, existente vid. radii AB ceu unitatis Logarithmo o. Ponatur sinus complementi IH x x, ut fiat λYs rectus A I seu RE M Vi - xx, ejusque elementum EF M, erit ex nat. gen. curv. EF 1 ad FG, elementum Log-i AR; ut RE, - xx ad stibiangentem Logarithmicae
292쪽
-x3d x x x - &C. Quare summando fient omnia
coroll. Posito sinu complementi ΗΙ hujus D. M BI vel B in. t. orabitur calum sub Logarithmo sinus recti AR & radio AB d
mldio excessui, quo spatium hyperbolicum CBIO superat alterum CBιο. Patet ex Cor. XLII, ubi CBIO 'CH
pla eXpressi im legitur. Caeterum moneri potuisset ibi, quod sumta si tertia proportionali ad 1 M x, sicu posita αα xx, series illa conver-
t incenim patet, qubd CBIO CB CBGM seu MGIO CB q; adeoque cum his potas AI, si id AG.1-xx, sicut AB, 1 ad A , I x qubd se ii, AI 'AG. AB, A utcunque proportionalibus spatia segmentis I G, insistentia semper futura sunt aequalia. Nn a XLIX.
293쪽
X LIX. Applicatam CArva Catenara exhibere per seriem. Fig. 6.μ B λ, quam Catena ab extremitatibus suis libere lalpenta proprio pondere format, dicta Catenaria ; cujus centrum A , vertex B, axis A B D, parameter A B M i, abscissa A x e& applicata . λ vel M'. Constat ex iis, quae Act. Lips I 69 r. p. 27 .&c. hae de Curva memoriae prodita leguntur, elementum applicatae dI i . ad tollendam surditatem pono V e α - i Mi unde fit et Oo - di, Ved - I x t -
Coroll. Ex serie inventa collata cum Prop. XLVII. Iiquet, I esse Logarithmum numeri x ; unde data Logarithmica is B C , cujus subtangens x AB M i , puncta Catenariae reperire proclive. Cum
scissis hinc inde Logarithmis aequalibus A AS) ordinatam Cautenariae σλ Su) semissem esse oportere summae duarum ab A Baequidistantium ordinatarum Logarithmicae σα & S C, quarum illax A D x t, haec ex natura Log. x . Atque in hoc ipso comsistit eligantissima hujus Curvae constructio Leibnitiana, quam vi-
294쪽
INFINITIS. 28 SL. Datis latitudine loci alicujM in Lρην. visa ct angulo Ravibi Ω Du merariano, exhibere longitudinem loci per seriem. Fig. Lineam Rumbicam seu LOXOdromicam Vocant Nautae, quam navis secundiim eundem venti Rumbum constanter incedens in si1 perficie globi terr-aquei describit , adeoque curVa est, quae omnes meridianos eodem angulo obliquo intersecat. Incipit haec in Fquaiatore , indeque versiis alterutrum polorum Oblique recedendo, tamdem in ipsum polum, quem infinitis gyris ambit, desinit. Sumto in lig. sinus totus, idemque & radius AEquatoris, A C x i, BCD meridianus, B & D poli, tangens anguli Rumbici x t, H pui ctum in Loxodromica, ejus latitudo I C, sinus latitudinis AE, Scsinus complementi H E qui vocetur α, longitudo verb seu arcus aequatoris inter meridianum loci H & principium Loxodromicae interceptus dicatur x. His positis, per illa quae in Act. Lipf. p. 28 ostensa sitiat, invenitur elementum longitudinis d x m: ad cujus tentandam reduistionem pono primo x ι ,
dem formae fuisse elementum Catenariae in praec. pergo ponere si
3 quae quidem quantitas etiam immediate eIici potuisset ex
quantitate statim secissem : at in t les hypotheses incidere saepenumerb dissicile est, nisi jam usu com pertum habeatur, quae formulae in quas tra formari possint. Nota mae AC - BI, eXcessui nempe radii supra tangentem si
missis' eomplementi latitudinis puncti H ; etenim supposita BIoo i - ν ductaque recta B H, cum smilia sint triangula H E s, ABI, erit HE,ς, ad EB, - ῆς, ut AB, I, ad BI, I-r, unde N n 3 resultat
295쪽
msultat Q M ig , , , , oportet. Conversa autem per XXXVI. anventa quantitate in seriem, habetur dxx t dr- -t r drirrdr- - tr dr ct c. & facta summatione x tr - - -- - ινη. a , - &c. Patet igitur, quomodo ex data tangente semissis compi menti latitudinis inveniatur longitudo. Sciendum autem, elementum longitudinis adhuc alia
ter posse reduci, statuendo nempe Vi-ce I, hinc enim fit et M
XXXVI) i ac deniq; omnia dx seu
A E sinui recto arcus H C; unde constat ratio definiendi etiam quaesitum ex sinu recto latitudinis, quemadmodum secit Dia. Leibnitius Act. Laps Iisi. p. ISi. Et patet, si in calculo, per quem ad initio memoratam aequationem Ex x - perveni, loco quantitatis indote inatae ipsum suum rectum A E prae snu complementi H E selegissem, me statim ad alteram aequationem immediate in seriem convertibilem dxx perventurum misse. Caeterum ex eo, quod duae
inventae series eandem quantitatem x denotant, obiter concludimus
quod si in circulo sinus cujuslibet arcus A E dicatur ν, de AC - RIexcessus radii supra tangentem semissis complementi vocetur ν, per tub futurum sit I --- - dcc.'M r &e. Notamus etiam, si locus H sit in ipso polo, quo casu r aer MI, serex xt dcc. vel xt - i &c. quarum serierum
Dinmae cum snt infinitae per XVI, docent longitudinem loci H quoque infinitam esse, adeoque, quod dixi, curvam toxodromicamantinitis polum gyris ambire, priusquam in ipsum incidat. Corol
296쪽
Corost. r. Si in eadem Loxodromica praeter locum H alius sit locus notae latitudinis, cujus sinus rectus χὶ ν, & excessiis radii supra tan gentem semissis complementi x s, erit similiter ejus longitudo it in
Hinc si in alia quadam I Xodromica duo concipiantur loca latitudine cum prioribus convenientia, erunt, manentibus r& v, vel r & s iisdem, differentiae longitudinum ut tangentes angulorum , quos Rumbi faciunt ad meridianos. Vid. Act. Lipf. 1691. p. I 82. & 28s. Orod. a. Ex collatione harum serierum cum seriebus Propp. XLII. XLVI & XLVII. liquet Problematis convenientia cum quadratura Hvoeabolae & Logarithmis. Speciatim notanaus, quod existente
sub gente Logarithmicae x t, quaesita longitudo puncti H sit ipse Logarithmus rectae 1 -r seu BI, ut patet ex XLVII etiam ccum D. Leibnitio loc. cit. semissis Log-i quantitatis
297쪽
&c. id est, tangens anguli quaesiti ad sinum totum, ut arcus Io
gitudinis ad Log. um BI, vel semissem Log-i ; adcoque pcrCoroll. r. hujus, ut differentia duarum longitudinum ad di serentiam duorum Log-orum BI, vel semi- disserentiam duorum Intellige hic Logarithmos acceptos in Curva , cujus subtang nsi radio x x. Nota, si desideretur anguluS Loxodromi ae, quae non nisi post unam pluresve integras revolutiones in datum locum perducat, augendus est arcus differentiae longitudinum integra peri-phena aequatoris ejusve multiplo. Schol. Ex hactenus dictis expeditus habetur modus construenda Scalam quandam Loxodromtiam: Esto in Fig. 6. B M in citcumserentia aequatoris in gradus suos & graduum minutias divisa ; haec
extendatur in rectam A S axem Logarithmicae CB κ, ejusque divisionibus ordine ab A adscribantur gradus longitudinum: tum sumto indefinite in circumf rentia hac puncto M, bisectoque arcu M. per rectam AT occurrentem l ngenti σα in T, ducatur ex Trecta TE axi AS parallela, secans Logarithmicam in E; ac denique ex E demittatur in axem perpendicularis E R ; punctoque Radscribatur numerus graduum in arcu B M : sic habebuntur etiam gradus latitudinum ; parataque erit sc la Loxodromica, quae primario inserviet Rumbo, cuius anguli tangens aequatur sub tangenti
Logarith micae. Numeri enim graduum cujusvis datae latitudinis
in stata statim a latere aspectui offerunt respond ntes longitudinis gradus. Eadem tamen etiam cuilibet Rumbo prodesse poterit, si fat per Coroll. I. hujus, ut subtangens Logarithmicae, e qua scala constructa est, ad anguli Rumbici tangentem, sic longitudo vel dif-
serentia Iongitudinum per scalam inventa ad longitudinem vel disserentiam longitudinum quaestam : adeo ut scala ejusmodi in usem nautarum circino proportionis insculpta, & lineae partium aequalium , quae longitudinum gradus repraesentarent, juxta posta instrumentum foret omnium focisan, quae Naturae hactenus tractarunt,
compendios sinum & utilissimum. Sed de his satis.
298쪽
Antequam pergamus, Lector adrcrtere potest, quia huc que in diserentialitim flumniamne pro quovis eumcnto si per ejus integrale purum peti a solutum substituimus, velut x prst dX, pro X d X O c. At sire ipsum volumus, hoc minime esse perpetuum ue qua quam enim una eademque qOη- tuas x non nisi unum haseat disserentiale dX, idem tamen i renitaled x infinita habet integralia, uηum quidem purum X, reliqua admissione quantitatum constantium assecta X a, X b &c. quorum in sitimmatiο-:u nedotio pro re nata nunc hoc nunc istμd seMendum est, neque adeo sinem enit haliminationis periculo indiscriminatim simper puruin adsumi potest. CC itaque, ut ad vitandum scopulum, quem communem fere ese video om-ti ii iis qui calculum hunc incaretius tractant, subjiciamus adhuc ejus rei exemplum in uno alterove Problemate, ὲ cujus enodatione Lectori constare
possit, undenam ct quibu3 mteriis densatur, quid pro quovis semper elemento siummando substitui conveniat. L I. Exhibere longitudinem Currae Parabolica per steriem. Fig. 4. Finstamus BCD Curvam esse Parabolam, cujus vertex B, axisn Q rectum M a, abscissa B G x x, applicata G D x3, ipsis nς D euro s ; proinde elem. FG vel CHM dx, D Haed, n C D O i. Erit OX natura Curvae ax 33; hine differentiando ad xx 2Id , quadrandoque a catadue
da φ) x IIdI dc facta transpositione a ad rea ad 'H-4'Id γ'. extractaque tandem radice ad sae0 V aaiam 4JI , quae quam litas est, de qua summanda agito. Ad surditatem primo elimis
rum nunc summis. dispici dum. Hunc in finem considero relatationem quam habet assumta litera indeterminata a. ad ordinatas Curvae nostrae, eamquς ςX secta hyp. 'laa 'M - χ' ων nosto talem esse, ut orisbata I M O, L non pariter evanescat, sed
299쪽
sit , a , & quod crescente I eb fortius crescere debeat i ; quapropter extensa concipiatur ipse e in recta D B fg. a puncio D, &sit prima DA, quae nascenti I respondet, OO a, ultimaque quae respondet ultimae I siu applicatae GD Q. 4. esto DE. Tum fluere intelligatur ab A ad E indefinita recta AK vel EH, aequalis ubi-7ὸ scit. puro primi n embri minimaque adeo in A & m sic ipsum fluentis Iliaeae incrementum fiet & omnia incrementa quae capit linea, dum ex A movetur in E , reprae sentabunt omnia , quae ordinatis 3 a minima ob ad ultimam GD) ordine respondent, h. e. quae pertinent ad Curvae Parabo
icae portionem rectificandam B D cfig. 4. 9 Constituunt a
tem omnia illa incrementa, ut liquet, non integram EH sed excessiim tantum ejus supra rectam AK ' ) hoe est, ΕΗ - AKῖ . hategrale igitur primi membri , quod hue quadrat, est - . Similiter pro integrando tertio membrotago et extendi in recta A D Q. r. a puncto A, primamquς qu nascenti I respondet esse AB xa, & quae respondet ultimae, AD
hinc fluere concipio a B versus D quantitatem ceu integra
Ie purum ipsius puta rectam BC vel Din quae proin maxuma erit in B & x - , indeque versis D decrescet; decrementa itaque, quae patitur linea B C quousque pervenit in D in denot bunt omnia elementa quae portioni Curvae Parabolicae BD fg. 4. res andent: sed omnia illa decrementa, ut apparet, non efficiunt rectam D Geu verum potius B C - D Q seu - ὸ quapropter integrale tertii membri diue huc perti HS
300쪽
Restat intermedium adhuc membrum eXpediendum . Hoecum absolute summari nequeat, in seriem converto , ponendo prius et . x a - - t , ut denominator fiat bimembris ; hinc enim fit R
facta summatione, S i 4.Σ 4.sa 4 aa A. Sas&c. Nota , quod hic pro quolibet seriei termino substituam ejus intea Erate purum, quoniam ex aequatione in i colligo, quod existe te taxa hoc est ' O ipse t, ut & quantitates fluentcs omnes,
2 2' quoque sint x O, id est, quod hae a o fluere seu Gerementa' sumere occipiant, hinc ζnim manifeste liquet, omnia ipsarum crement γ Πς φ 0m0i &c. ipsis quantitatibus ultimis - , aequalia sere. Quod idem quoque, si quis ex minet.in omnibus praecedςntium Propp. exemplis contingere observabit, indeque concludet, recte a nobis factum, quod ibidem in ter summandum pura semper integralia assumserimus, tametsi ejus rei rationem diserte non adjecerimus. Sed revertamur ad propositum: Inventa summa medii membri si reliquorum