장음표시 사용
281쪽
I a D E SERIE 3 ustuant, quae ipsa summam essicit sequitur reciproch. di hanc quantitatem per seriem T legitimἡ efferri posse.
XXXIX. Fractionem convertere in seriem. Si operatio instituatur methodo Propos praeced. eadem, quae ibi, obtinebitur series, nisi quod termini locorum parium acquirant vinum - , sic ut habeatur: OO - - , in in tu rua ' in
XL. Fractionem , aut θ. pna, exprimere per seriem EX analogia operationum praecedentium liquet modus hoc emciendi ; quorsum igitur plura En operationem :
XXXVIII, factaque hinc inde multiplicatione per 'di
Conflantur autem termini harum serierum ex ductu terminorum Progressionis geometricae in numeros trigonales I. 3. Io. Is. &c.
282쪽
INFINITIS. 27ῖ observabit, post singulas operationes tria superesse membra, sed ea subinde minora, ultimoque pro suS eVanescentia. Idem etiam regrediendo a serie inventa patebit, si illa methodo Prop. XIV. in alias resolvatur1 6 ς- i Schol. Haud dissimili operatione reperitur x - R
seriebus mixtis ex geometrica & scriς Pyramidalium, trianguli- pyramid lium , & ita conssequenter in OmnibI altioribus, vati semper eadem analogiae ratione, ut non opuS sit his diutius
X LI Si proponatur series di perentialim, qua mixt1 ex serie geome.
trica quantitatum indeterminatarum , ct alia quavis fieri riuantitatum constantium stu coefficientium, integralia eorum absoluta seriem constituent miserum ex eadem sierie coe cientium, stimici geometrica 3ndeterminatarum , ct alia quadam harmoniίa.
Patet ex princ. calc. diis. Vel summatorii, juxta quae quantitatis differentialis nx dx intQgrale absolutum reperitur ; nmeonim si eoessicientes v snt progressionis cujusvis, & eXponentes improgressionis arithmeticae, h. e. ipsa progr. geometricae, erunt
quoque m I arithm. adeoque x Φx geometia &-harmon cae progressionis. Ut si proponatur series differentialium axix,
Mod i ω arithm. ast. Esto Hyperbola PCQ, cujus centrum A, asymptotae AD, AS, applicatae BC, IO io, quaeren
283쪽
a74 DE SERIEBUS BD, BCxb, xx , quae non sit A B vel B D, h. αnnitate. Dividatur BI B ) in partes aliquot aequales B E, E E, F G, GR, Ri B, , , ω , ei quarum numerus sit η, & singulae dicantur sic ut ud si x x x BI BQ. Tum circumseriabantur cinseribantur hyperbolae parallelogramma BK, EL, F M, GN, RO Bα, γν, e.) ductis applicatis E K, FL, GM , RN, IO quae ex natura hyperb. ordine repe- k ais, i Mi ultimam Singulis igitur in a ductis, habentur areae parallelogrammorum, quae porro in cries convertendae stant per XXXVI. & XXXVII, ut sequitur :
Harum serierum primi termini aequantur, secundi progrediuntur ut numeri naturales, tertii ut eorundem quadrata , quarti ut cubi,&c. hinc posito numero serierum seu parallelogrammorum n inst. nito quo quidem casu semina parall-orum seu inscript. seu circum scriptorrum ab ipse curvilineo CBIO vel CB. . non differt summa terminorum primae seriei perpendicularis erit aequalis, termianorum secundae dimidia, tertiae subtripla &c. summae totidem, hoc est, n terminorum ultimo aequalium, per ea, quae docet mulisus in Arithm. Infinit. nosque demonstrabimus alibi: ac propterea fiamma omnium serierum perpendicularium, i. e. omnium p rallelogrammorum, seu area spatii hyperbolici CBIO CBi. hac serie exprimetur:
284쪽
possit, daretur Hyperbolae quadratura. . orosi 1 Si BI B G dabitur tum sit ma tum differentia spatio-rui C BIO & C B per si iem ex geom. & harm. miXtam: cum enim sit
P. 2. Posita BI, x x B A, fit spatium interminatum hy
i harmonicae, quae cum infinita sit per XVI, arguit M aream huius spatii talem pilis. Conf. Cor. φ. eluSd. Prop. Sin & B , x, B D, i M B C, b, resiuitat pro sipatio CBD c
do unumquemque terminum signo se affectum a praecedenti, senes cujus termini per saltum excerpti sunt ex
285쪽
exhibebitur etiam spatium CBD Q per seriem prioris subquadruplam ΔΗ- quae per saltum formatur ex serie I Propos XVII. Cons. Act. Lips I 68 r. p. 66. XLIII. Invenire aream statu ABEFS BD comprehensi ass)mptota hyperbola AD, O Curva L EF o , quae tal , ut cra sub ejus appliuata I E si o recta constante A s B C vel B D qrea fit 14 aequetur thatio hyperbolico CBIO CBιο). Fig. 2. Quoniam, posta BI x x, spatium hyperbolicum CBI Oxx V T &ς. per praeced. eadem quoque series denotabit ob AB vel BCoo 1) longitudinem applicatae IE, quae propterea ducta in IR seu producit x dae flue&c. M RE, elem. spatii BIE. Hujus seriei terminos summando fit spatium BIEMI - -Τ- - - - ἱ&c. seriei mixtae ex geometrica & reciproca trigonalium, quae posito insuper BI, x MBA, I, mutatur in simplicem trigonalium reciprocam 3 i. - S IS dcc. cujus stim ma x et, per XV. Est igitur totum spatium AB EF S absolute quadrabile , aequale quippe ' AB. Nota hic exemplum Curvae mechanicae, ubi quadratura specialis succedit absque generali; sinplicis enim seriei summam dedimus,
Eadem ratione ostendetur ex altero latere spatium B ιι x - ε intumque spatium - λεα - λ&ta CoroΤ. Completis rectan lis CD & RQ ajo fore curvilineum mezhanicum BD p duplo curvilium hyperbolico C QD, diis rentiam curvilineorum A REFS & BDp x duplo sipatio Cari, re luminam eorundem πι 2 C B D Q; quae sic palam fiunt Si a
B di auferendo scillatim primum terminum a primo I cundum a secundo, tertium a tertio, &c. relinquetur - ου
286쪽
ciprocae quadratorum, cujuS summam etiananum desideramus. cons. Prop. XVII. sub β' c n ὐκ MHaud dissimili modo reperitur ex altera parte spatium H γλ
&c. erit utique sumi /d di se ζ'x'δm, ut h in pi &c. ad π ελε - &c. h. e. ut 3 ad I, per XXIV, unde sipatium unum ait rius dupsum e e necesse est, ut m Xim neutrius absolutam magni-etudinem exploratam habς muS, Vidi, Schol. ibid.
287쪽
X L V. Exhibere Quadratiram circuli aut Rectissariunem Linea Cisc iura per seriem. Fig. 3. In peripheria semicirculi BCD, sumto indefinite puncto H, demittatur ex illo in radium A B perpendicularis H E ; & sit A BOO i, Sc BE xx, adeoque ex nat. circ. EH x xl ax - xx: qUoposito, cum ob sinit. Triangul. characteristici L G H & Triangui. H E A , HE sit ad H A, sicut LG vel E F elem. abscissae BE, ad L H elem. arcus circ. BH, reperitur L H x - , factaque multiplicatione per l, semictem radii AH, sector H AL seu elem. secto is H A B Oo quantitas, cum absilu-'mmari nequeat, in seriem convertenda est, sed prius tollenda irrationalitas, quod eo fere modo fit, quo in Problematis Diophanteis uti vulgo sueverunt. In hunc finem pono x - , seu 2 x-xx x - , ubi quia diviso feri potest per x, ipsaque non nisi unius dimensonis in aequatiqne relinquitur, ejus valor in rationalibus prodibit, unde & dx, & per hypoth. V a x xx seu - , ipsaque adeo iractio rationales sent ue nempe x M
x ma; hinc fractio in seriem geometricam per XXX VII conis
versa exhibet di id id i - ιβ didi Sce. Summa igitur elementorum HAL, seu totus sector HAB xt ---
a mixtae lunt ex geometrica & harmonica, per XLI, a quarum proin timmatione decantatum illud de Circuli Tetragonismo Problema dependet. Nota, ductis ex B & H tangentibus circuli BI, HI, sibi mutuo occurrentibus in I, junctaque H D, quae radium A C secet in N, fore Bl vel IH x AK, utramlibet autem xl. Nam r. ang.
288쪽
INFINITIS. 279A D H; cumque & ABΙ & DAK anguli , nec non latera Al3 &A D aequentur, erit quoque B Ι x A K. Deinde cum sit perhIpoth. i ad t, ut d a x xx ad x S itemque, ob sim. Δ D A & DEH, A D seu 1 ad A K, sicut O E ad E H, hoc est, ex nat. circul. H E ad E B , seu sit x - x x ad x erit utique I .l:: t. A K, ac proinde A K seu BI x KCorost. I. Sumta t x x, quo casis & B E , NHi i, aequatur B A, i, fici quadrans B A C x simplici seriei harmonicae I - - λιλ-n x subducto reapse unoquoque termino signo
tum radii est ad quadrantem circuli, sicut quadratum diametri ad totum circulum , sequitur si quadratum diametri, h. e. quadratum circulo circumseriptum sit I, ac proin eidem inscri pium st, totalis circuli aream per modo memoratam seriem expressum iri ; adeoque si quadratum circulo inscriptum sit z, circuli aream fore εδ c. cujus seriei termini per saltum excerpti sunt ex serie H Prop. XVII. ConL Act. Lips. 1682. p. s. Coroll. r. Posita Tangente B I x t, erit arcus, cujus tangens est, - γ &c. utpote sumisssis arcus B H. Conser Act. Lips pag. IN. X L VI. Exhibere generaliter Sectorem cumvis Sectionis conica ex sim tro per feriem. Fig. . & s. Esto Coni Sectio quaecunque, HyperboIa sive Ellipsis, BCD, cujus centrum A, vertex B, semi-latus transversum A B x , Lemi axis conjugatus AD MI, adeoque semi- latus rectum M laterum, ut οβ ad r. Ponanturque porrb, abscissa indeteris
289쪽
que curvam in C & rectam A D in I, atque ex C demissa concipiatur an AD perpendicularis CE. Quibus postis , erit primo ex
. Quare denuo propter Δ sin. AGD & IEC, ut AD,u, ad D G, I, sic I C, ad CE, unde reperitur C E M, quae ducta in seminem AD, seu dat aream trianguli elementaris A CD x x sposito loco θ valore ejus)x x substituendo a a Ioco a a I loco ast
surrogando Va a x Η xx)-de qua in seriem conve tenda & summanda agitur. Primo autem irrationalitas ex illa tollenda , mediante alia indeterminata, quae loco x surrogari debet , ut in praeci Pono itaque Ura x R xx x , unde fluit x x ,
d c. per XXXVI & XXXVII. Summa igitur omnium secloruimelementarium A C D, i. e. area totius Sehoris ABCD ma t
&c. Undo patet, quo pacto generaliter quadraturae sectionum Conicarum ad summas serierum ex geomet..harmon. mixtarum reducantur. Nota
290쪽
Nota, ductis per verticem B & punctum Curvae Diangentibus B M, D T, sibi mutuo occurrentibus in M, dico fore B M M t. Quoniam enim AG. AB:: AB. AT , per 37. lib. I. Apoll. ac idcirco convertendo AB. T B:: AG, Q. GB, X; nec non obsim. ΔTBM &CH D) T B. BΜ:: CH, dx. H D, d 3 :: ex aequat. Curvae different.) ga'. R. 3 erit eX aequo perturbate AB, a. BM:: aa . x; unde obtinetur B M x x-. adeoque Urax E xx. x:: I. BM: Verum per constructionem x x. x :: I. t. Ergo Omnino B M M t. Cons. Act. Lips. 369 I. p. 17'. XL VII. Dato Numero i enita Luarithmum per seriem. Fig. s. Intelligatur super axe SAU Curva quaedam CB , ejus natu rae ut abscissae AR, AS c Ae,AC crescant arithmetice, dum apis olicatae RE, SC eε, crescunt Vel decrescunt geometrice , h. e.
ut istae sint ut Numeri, dum illae sunt ut Logarithmi. Vocabiturhaee Curva Logarithmica, cujus haec est proprietas, ostendente Acut. Lei itio in Act. Lips. 168 . p. 73. ut Subtangentes ejus omnes A K R N, e, sint aequalQS. Applicetur in A recta A B, & sumto ouovis in curva puncto E s ) ducatur recta EI parallela axi
SA- voceturque ABI, BI BQ x; adeoque Al AH seu RE D) i ου x , nec non AR AO & constans curvae subtangens Dato itaque numero R E e H ejus Logarithmus A R A O sic
invenitur. Quoniam eX nar. gen. curvarum, elementum applicatae EF s. φ) dx, est ad elementum abscissae FG Ο, sicut appi cata RE e )1 Ex, ad curvae subtaugentem RN se,) habebi