장음표시 사용
81쪽
61 PROBLEMA. VIII. TIG. IIl, Demonstratur nunc in linea terminara BF esse BZ, ad BF. in ratione duplicata 2 O . ad O F; si fuerint continuae B0. BD. BF. Nam erit inde B O. ad Bri uti BF. ad BG. Quare erit BO - Buta sive est; ad Bri: uti BF -- BO; sive OFiau B O . Igitur; cum se habeat O O . ad B Z; veluti O F. ad Boasve Ba . ad BG. sit veluti uo. ad OF; erit etiam B L. MBO . veluti sto'. ad OV . Sed etiam ob eandem proportionem continuam ipsarum B stas O. BF. est B st ad BF; sicuti BC . ad BO'. quare ex aequali ratione erit fisto ad BP; sicuti O O . ad O H. Et inde BZ ad BF rationem duplicatam habebit illius,
quam habet O O. ad O F. quod ostendendum erat. sis. II. Itaque in Parabola tres A M. AC. AP. sunt semper conti- nuh proportionales. Similem proprietatem parabolae narrat egregius Gregorius a S. V incentio parte secunda de parabola in Lib. Quadrat. Circul. alia via demonstratam. Nos eam adsumemus ad hoe conficiendum problema .rIG. IL Iam vero; cum sit Λ C. ad AM; uti AP . ad AC ; demonstrario. Iu bitur certa idem, quod in recta linea terminata BF. nuper
Praestitum est; esse in parabola AC - AM; seu MC; ad AC i I. II, veluti AP - AC; nempe CP. ad A P. Et itaque erit M C. AC ii CP. A P. sive AC. AP it MC. CP ἶ: Νc. CD. Quare ex aequali erit NC. CD i: AC. AP.
Ie data parabola EAR. euius axis AH; sique datum in Q perimetro AB punctum N. Oportet ex N. demittere rectam NCD ad aliam perimetrum A L. ita ut interiecta CD. inter axim AH. & Perimetrum AE . fiat aequalis rectae lineae datae P. Ponatur factum esse quod quaeritur . Et ordinatim adpli-eatae sint ad parabolam rectae NM. DP. Est igitur in connexa
Sint notae Au g. & NM - e . atque data recta P cD - , . Sit vero ignota accepta VC - x. Parameterque P1
82쪽
rameterque parabolae denominatur p. Ergo erit M - Ixx-
ob parabolam est etiam DP' aequale rectangulo, quod ex A P . in Para metrum. Ergo erit rura pbώ - . p, Q xx-ce. Et
bee se pax se px si xx - ee . Sive bee - pax - e V X, xx - ce. Essiciantur quadrata: & persormetur more con sueto aequatio : atque habebitur x' - cc x x - aa - - -
Sit nunc parabola EAM; cuius vertex A. diameter Ax. parameter q. in Ax fiat AT m; scilicet in Ex A. qualis
gnetur secunda Parabola IRG. Intersecabunt sese mutuo pa-
83쪽
rabolae in punctis; unde demit Tae ordinatae N P ad parabolam EAH erunt radices aequationis inventae; seu valores ignotae κ. Demonstratur primum per deseriptionem Curvarum . Axis enim curvae unius secat axim alterius intus C vam. Ergo Curvae concurrere alicubi in punctis debent . Et coetsciens tertii termini aequationis - ce a a haber - . Unde subtra ctus ex tribus octavis partibus quadrati coefficientis termini s eundi; qui est nihilum ; facit sane quantitatem positivam . Sed tamen tres octavae partes quadrati ex eocificiente termini quarti scilicee i , dempto producto -- bb bbras; quod e Postremo termino esseitur in messicientem termini tertii ;Possunt quantitatem positivam, & negativam constituere. Erit enim
Si sit illa negativa; erunt necessario radices fictitiae in aequatione per demonstrata in algorithmo . Satis enim ad id est; ut una desit ex duabus his conditionibus dictarum quantitatum p stivarum. Et etiamsi aliae insint conditiones; nihili interest. Qualis illa una est convenientiae numeri radicum verarum, & fabsarum, si qui deest terminus modo fingatur adesse praefixus signo - . modo signo - . Et inveniatur dicta convenientia speralgorithmum J ; sed sane id accidit inventae huie aequationi de stitutae termino secundo; & ita de reliquis conditionibus; quam vis
84쪽
PROBLEMA. VIII. 6svis illae adsint. Ergo casus esse potest. radicum impossibilium in hae
aequatione propter unam; quae deest. Conditionem; ut omnes radices sint reales; licet reliquae adsint conditiones. Idem intelligendum est de quacumq. Algebrica aequatione . Et ratio est manifesta; cum sint conditiones necessariae . Itaque in hae nostra aequatione aut duae esse possunt radices imaginariae; aut etiam omnes quatuor. Inde per algorithmum demonstrari nequit , radices aliquas esse reales in ea aequatione; & problema possibile. Uerum vero Per Geometriam syntheticam; tum nimirum quia problema est possibile per Lemma primum ad id apposite praemissum; cum per praedictam necessariam, ob descriptionem, intersectionem Cur Ua rum quae demonstratio est e sola Geometria petita; radices aliquae erunt in hae aequatione reales. Igitur; ubi opus; syn thetieae Geometriae subsidium in Algebricam succedat. Itaque si a a minor si ce ; unde supradicta quantitas sit negativa; uti dictum; radices quidem erunt in inventa aequatione fictitiae; sed non omnes quatuor. Et duae erunt possibiles. quod ostensum est. Verum defit terminus aliquis aequationi ipsi eidem; scilicet secundus. Igitur per algorith. radices
erunt positivae mixtae negativis.
Hine; si omnes sint possibiles radices aequationis inventae; seu quatuor sint intersectionum puncta in curvis descriptis; una erit radix falsa ; aliae tres verae L per eundem J. Etenim haec convenientia talium radicum comperitur in ipsa aequatione; si secundus terminus; quo illa caret; modo subdatur quasi praefixus signo se; modo quasi signo - . Si vero duae solae possibiles sine Tadices; profecto una erit vera ; altera falsa . Quod erat primum. Sint interlectiones N. Et agantur ordinatae ΝP . ad Parabo FIG. Iv.
lam si AH. atque No ad parabolam GBI. Sunt NP tendentes μ ν
85쪽
O. quae secunda erat parabola. atqui sunt eaedem x. Seaedem I in utraque curva. Inde in locum γγ secundae huius Parabolae fulselatur eius aequalitas - per primam Parabo
- ῶν xx - --- - ,,- - . . quae aequatio Inventa
fuit; & quam construere oportebat. Ponatur nunc elia data parabola EAB illa, in euius crure AEdatum punctum M. unde ducenda linea sit, quam v ult problema . FIG. v I. Et si quatuor sint curWarum intersectiones; seu quatuor radices possibiles ; ordinatim tota adplicetur ad parabol e axim AII. linea NMI ex dato puncto N. atque ex M versus I. contra verζicem A. sumatur supra AII portio a C; cuius quadratum si aequata excessui quadratorum; quae ini iv ex minima trium radicum veratum N P - x . iam determinatarum sunt; dc ex datae. Est autem temper c. minor quacumque x. seu valore illius positione . deinde accipiatur semper ex u. Sc super eodem axi AH. alia recta M C. sed versus verticem A. cuius M C quadratum aequale sit excessui quadi alarum οῦ quae ex alia determinata NP - x. Fig. iv. maiori quam prima accepta. atque
86쪽
PROBLEMA. VIII. 67ex e. fiunt. Tum ex eodem M , pariterque versus A. abscindatur tertia MC. cuius quadratum sit aequale excessui qua dracorum ι quae ex maxima trium verarum radicum MP--x fiunt ἔ& ex eadem e. Fig. iv.I lungintur dicto ordine CN. CN. CN .&Protrahantur donec secent in D. Perimetrum parabolae: & erunt interceptae CD. aequales singulae datae rectae P; leu b. Id enim politum est. Et tertia Ad C cadet extra parabolam A. Ita enim in ter axim AH. & perimetrum AB una CD. infra NMO, & una C D . t upra N M O cadet eidem datae rectae aequalis c Lemmat. II. . Λtque ob tertiam MC. cuius punctum C. cadit extra parabolam ιsecabit tertia CN. perimetrum AB. convexam in D parabolae. Quod erat secundum. E. F. O.
Iniquae prius. Potest punctum manere etiam datum in alio FIG. VI. parabolae crure AB. uti in X. & idem quaeri: & huic casui etiam satisfacit, respondetque analysis; quem per quarcam radicem salsam - x. determinavit. igitur accipiatur in axi
- . Et iungatur IX. Erit IX - e. ob parabolam. Sit nunc Ist aut versus verticem A. aut versus II; ut iubet; cuius quadratum sit aequale excessui quadratorum; quae essiciuntur ex NP; nempe - x. Fig. Iv. Posita FIG. vI. ex N versus β. atque ex ipla c. Et iungatur O L. quae Printrahatur ad perimetrum parabolae in D. Et ecie 2D aequalistidem datae rectae P; seu β. id enim positum est. Eritque u proposit. I. aequalis uictae N P FQ iv. - -- x.
SInt eadem. Sed intersectiones cur Varum fiant duae ἔ duaeque sic. ut radices sint possibiles; & eadem peragenda sunt. Quoniam ordinata sit ex puncto N. supra perimetro A E dato recta NMad parabolam; atque super A II versus verticem A. curvae ac ei piatur una MC aequalis excessui quadiatorum ; quae ex NP- x.
87쪽
s Fig. v. J tendente ex N verius crus A II parabolae sunt i & ex
data c. oc coniuncta CN, Productisque ad Perime. rum parabo lae in D. continebit partem CD - P -- , . Deinde , cum altera radix sit neces Tario falla iter alguru h. propos t. I. accipia tur super AH portio AI - - . uti in Praecedenti; & coniuncta IK erit se e . Sitque recta Iubivis; veluti in antecedenti ; sumpta ; cuius quadiatum sit aequale excellui quadratorum, quae ex alteia ΝΡ - - x . contendente ex Ν Fig. v verius crusA E parabolae ; atque ex data e . fiunt. & iuncta Oc , protractaque ad Perimerium parabclae habebit Portionem id D aequalem catae rectae P in b. Eritque Κέ - NPLFig. v.J -- x. Pro post. i. Haec enim posita lunt.
inod Lemma secundum demonstrabat de Parabola, eodem omnino modo demonstrat de hyperbole cum axi .
LEMMA. I. Ie Circulus ACBD. cuius data positione diameter BA Fig.
. I. u. m. iv. 9 v. Et Centrum sit E. per quod ducatur ad normam diameter CD. Erit divitus circulus in quatuor quadran tes AED PED. ALC. BL C. Datum luper unius ex illis circum serentia A D. sit punctum N. Nun inclinabuntur ex N duae NSO.NRP. ad aliam circumsurentiam usque alterius quadrantis; ita ut inclutae So. RP. inter diametrum positione datam AB. de ipsum quadrantem ; uti AEC ei sint eidem datae rectae lineae aequales. Quae recta aut maior sit, aut minor radior erit sane minor diametro . igitur de duabus rectis lineis non aequalibus agitur in uno, & eodem quadrante manentibuS.I. Sint enim duae rectae N P. NO . accepto quadrante AE C. concurrentes ambae cum diametro CD . ad partes quadrantis AED. Igi
88쪽
igitur erit angulus NRE. acutus; cum per Element. Geometriae debeat angulus NRE. cum DER eisicere angulos duos minores duobus rectis, ob concursum Θροι b. lineae rectae N Pcum recta CD. ad Partes quadrantis AED. dc cum sit angulus D ER. rectus con humone P. Ergo erit angulus NS E; sive NS R. acutus in triangulo NS R. tum quia SN concurrit etiam cum recta CD; cum etiam quoniam est in dicto triangulo angulus NRS. obtusus. Sed tota una recta ΝΟ. est minor altera NP. deducitur ex is . iii. Element. Et quidem illa est minor; cuius pars ΝS. est maior parte NR . alterius maioris. Igitur reliqua SO. erit necessario minor reliqua R P . II. Ex eodem puncto N . ductarum NP. NO. una NP. pis II. Propior quam altera ad diametrum CD. sit parallela eidem diametror quare altera NO. superior Occurret diametro CD. ad partes em idem quadrantis AED. Et per Elem. Geometr. utinum. I. erit angulus NSE . sive NSR acutus. Quare erit m maior etiam N R. Et reliqua, uti antea. III. Sie una NO. remotior quam altera NP. a diametro CD. Parallela eidem CD. ambae sint temper ex eodem puncto N. ductae. Et occurret altera NP. eidem diametro CD. ad partes quadrantis AEC. Igitur ducta ex si normalis EI. in I. iupra ipsam N P. cadet intus eundem quadrantem AB C. propter angulum 'PRE. supra dicta ratione Element. Geometr. acutum. Itaque erit PI. maior, quam O S. Et longe magis P R. maior quam O S. Nam est N P . maior NO deducitur ex Is. III. Elem. Inde PI. maior erit O S.IU. Cadat una NO. in quadrantem AEC. ita ut conveniat cum CD. ad plagam quadrantis AED. & cadat alte- MG. IV.ra ΝP. ex eodem M. ita ut conveniat cum CD. ad plagam contrariam. Sitque No . remotior quam N P. a diametro CD . Pr fecto perpendicii tum ex E. ductum EI. supra NP. cadet in plaga concursus duarum N P. & DC. Et perpendiculum EM. ex eodem E. iupra NO. incidet in plaga concursus duarum ΝΟ. &CD
89쪽
CD propter angulos PRE. & NSE . eadem ratione Element. Geometr. sicuti num. i. acutos. Igitur perpendicula cadent hinc,& hinc a semidiametro B A. sed est PI maior O J1; cum sit NP. maior NO. sicuti num. i. dicebatur. Hi ne longe magis P R. maior erit O M. atque magis, magisque PR. maior erit O S. U. Ambae m. & NP. ex eodem N. ductae occurrant diametro CD. in plaga quadrantis AEC. Agatur ex P. Pa rallela PT . ipsi EA. Estque NP. propior ad diametrum CD. quam m. Unde circuli ordinata PII. maior erit quam ordinata
OK. Sequitur ex communi demonstratione is . iii. Elem. Et ipsa PT . cadet extra circulum ; ubi occurrat rectae NO. in T. Erunt
anguli PRE. & OS E per Elem Geometr. acuti. Quare in trian gulo RNS . obveniet latus N R. maius latete N S. sed est NR. ad N P; sicuti NS . ad ST . quare erit RP. recta maior ST. Et longe magis maior quam So. VI. Sumatur quadrans CEB. Et idem etiam demonstrabitur pro hoc quadrante inferiori ad illum, in cuius ci eumferentia datum est N. Quoniam agatur diameter NEM. Et ducantur NO. &ΝP. ex eodem N. in hune quadrantem; qua . incidant illuc in parte semicirculi N M. Secet autem No diametrum CD. in S. & secet NP. eandem CD. in R atque diametrum sane aliam AB. in T. Erit ob angulum AEC. υ-poth. rectum, angulus TR E aeutus in triangulo TRE. Hinc angulus TR S. seu NRS. erit obtusus in trian gnio NRS. &NS. erit maior NR. sed per saepe dicta in superioribus est NO. minor NP. propiore ad diametrum NE .u. Ergo erit necessario SO . minor RP. Sed hic casus vere huius Lemmatis non eri uti dicetur. VI. Cadant nunc aedem No. &NP. in eundem quadrantem
CEB. in parte semicirculi ΝD M. & secet NP. diametrum CD. in R. atque diametrum AB. positione datam in T. Et iee et No. eandem AB in I . Nunc simili ratione ac antea n. vi. ostendetur NI maior NT. sed est ΝΟ remotior a diametro NEM. minor persaepe dicta quam propior ΝP. Igitur erit necessario IO. minor TPa
90쪽
PROBLEMAE. IX. IIT P. Idem simili modo demonstrabit ut pro quadrante BED, a
demonstratum est pro quadrante AEC. Fig. r. v. m. iv. & v. verum in demonstratione pro diametro positione data accipienda est C D ; & pro alia diametro sumenda est AB. Et cetera uti antea. Hinc casus hic non est huius ipsius Lemmatis; immutatue enim diameter Politione data. Et eadem ratione non est huius ipsius Lemmatis easus numeri vi. qui pertinet ad casum numeri vii. Cum nempe data est positione diameter circuli A D. non AB. Agit enim Lemma de una positione data diametro non imis mutata : & ; uti numero 1. dictum est; de lineis duabus non aequalibus in uno,& eodem quadrante locatis. Neque alii sunt casus. Igitur a duobus quadrantibus inferioribus aut uno, aut alter Fig. r. ii. iv. iv. & v. id est v semicirculo ACB inferiori non tendent in circulo dato ad idem punctum uti N. datum in peripheria quadrantis, sive semicirculi A D B superioris rectae duae, uti P N. & O N. quarum partes O S. & PR. intercine a diametro positione data, & peripheria semicirculi, vel quadrantis inferioris . manentesque in uno, & eodem quadrante e sIe pollini eidem rectae datae; quae aut minor, aut maior sit, quam Circuli radius; aequales 2 . E. D.
It Circulus A OBD. in cuius circumferentia datur punctum O N. Eius centrum sit stta Et data sit positione diameter Asti. i S ducta sit per O ad normam diameter alia RO D. Hi ne divisus kkO', circulus erit in quatuor quadrantes OI A . O 0 B . DDI . D st A in uno quorum Da l. insidit supra circumferentia datum punctum N. dico; ex punito N unam solam inclinari rectam NC P.
intus quadrantem Oa A; ita ut intercepta CP . inter diametrum positione datam Ast B ; & circumserentiam. atque manens tota intus quadrantem sit aequalis semidiametro circuli. De non stratu e eodem Plane modo; quo Lemma praecedens. In illius enim demonstratione nusquam putatae sunt rectae lineae totae intus qua