Iohann. Baptistae Caraccioli ... Problemata varia mathematica. Accedit examen machinae motus perpetui

발행: 1755년

분량: 175페이지

출처: archive.org

분류: 수학

71쪽

PROBLEMA. VII

S ci H otii V Μ . Si data parabola fuerit cum diametro non cum axi; uti in ProPositione enunciatur; eadem plane est solutio. Nam ; data diametro; invenitur illico axis; eiusque latus rectum i & considere intur data parabola cum axi , illiusque latere recto: & eadem peragantur. atque quaesita normalis ex daLo puncto supra parabolae Perimetrum deducetur. Si vero AH. sit axis ;& datum punctum yIO I sit supra axim ; uti in st . & oporteat ex C. ducere normalem rectam lineam ad curvae perimetrum; satis bene liquet; aliud non esse efficiendum; quam ut sumatur 2 N. versus apicem Acurvae aequalis dimidio lateri recto, atque ex N. ordinetur NB: iuncta enim BZ. erit quaesita. Verum alii esse possunt caius; scilicet puncti dati intra parabolam ; unde agenda sit ad parabolae Perimetrum recta normalis; quos excutere Piolequemur.

PROPOSITIO IV.

io. vi. Cu datum punctum C. intra parabolam . Et idem quaeratur . prosecto si datum punctum C in axi AH insederit; iam expositus casus fuit in Scholio praee edentis Propositionis. Sed sit

datum supra diametro aliqua IX parabolae . Sitque vertex huius diametri I. Et inveniatur; data diametro; axis AH. Cuius vertex; seu vertex parabolae sit A. Sed se datum C. intra parabolam; non vero supra ulla diametro; sit tamen data diameter RS., Et inveniatur axis A II. aut tandem sit datum C. intra parabolam cum nulla diametro data. Et inveniatur diameter una RS. deinde inveniatur axis AH. Continentur in his igitur casus omnes puncti dati intra parabolam: & supra, aut non supra diametro; non vero supra axi; de quo dictum est ἔ uti nuper me minimus; in Schol Propos . praeced. Sit igitur parabolae axis a II. Ponatur esse CB. intus GAII. quaesita normalis ad perime

trum

72쪽

PROBLEMA. VII. 33trum ABG. parabolae in B. Et adinveniatur semper latus re fium parabolae pertinens ad axim. Est sane datus vertex A . ipsius parabolae. Sit BT tangens curvae in B . occurrens axi in T . Et producta BC. Occurrat eidem axi in .se . ordinatimque adplicetur recta BN. ad axim, Per C sit CD parallela ordinatis parabolae ad axim ἔ quem secet in D. Itemq; ducatur B F parallela AII. occurrens cD in F. oecuretq; per factam hypoth. extra CD. Haud absimilis erit solutio,ae si punctum C. maneret extra parabolam. Sint igitur omnia uti supra. Et eaedem quantitatum denomi' ric vinationes. Ergo erit AN - . de NT --. Sed est D T

Tertius huius aequationis terminus positivus esse potest; tinegativus. Etenim maior esse potest . & minor quam β. S, quidem fuerit ille positivus; eaedem tum omnino erunt inventae aequationis constructiones; quam quae lupra prop. II. o III. prae-hitae lunt. Vnde determinatum in parabola erit punctum B. cum quo si iungatur C. ubi vis datum iobtinebitur quaesta BC. De finietur vero B. in parabola; si dueta normali CD. ad AH. fiat in

73쪽

s PROBLEMA. VII.

in illa aequalis determinatae , & cognitae x. per constructionem recta m. & ex F. educatur parallela FB ipsi AH. Occurret enim

FB. parabola in puncto illo S. proposis. I. PROPOSITIO U. SInt quae antea. Sed sit - - maior quam b. Et inde termi

nus tertius aequationis sit negativus. Adsumatur bp -- mm . inde φest - ιρ - - in m. Et fiet - mmx - O. Et paretur constructio per Circulum, & parabolam. Quare sit AI recta terminata αα - . Ex I. ad angulos Tecta sit IP - .fra, . Et centro P intervallo PO - V9m' -- aaρ' .

i6 m describatur Circulus. Lει atque vertice A. axi AIII. parametroque m. descripta sit Parabola D A. Primo secabit Circulus parabolam. Et secundo quae ex intersectionibus ductae rectae ordinatae ad parabolam proferent valores ignota ex. & radices aequationis. moniam iungatur PA. Erit sane PA Vs- - - σαρ' .io m' per fabricam . Inde pertransit Circulus per verticem A. Para bolae. Sed AI manet intra parabolam. Et radius PIO Circuli secat A I. in I. cum sit multo maior quam ipsa PI constructione I . Ergo Cireulus necessarie, & parabola mutuo occurrent. Secantur autem curvae in punctis aut uno ἱ aut tribus . Praebent enim earum intersectiones is uti demonstrabitur ι valorem ignotae x . Sed tres aut unum habet illa valores; non quidem necessariis tres. Quoniam; cum haec inventa aequatio tertii gradus careat secundo

74쪽

PROBLEMA. VII. ss

rithmo ut radices habere ea possit omnes tres possibiles; si tertius praefixus sit signo -; qualis est in nostra aequatione ; & si triente coenicientis illius affecti signo plus, sumptique cubi sit maius quadratum semissis termini postremi . qu in immo contrarium exposcitur; ut scilicet dictus cubus sit maior didio quadrato. Quare primo casu isi ea conditio invenitur scilicet illius eu-bi mi aoris illo quadrato, adest quidem radix una possibilis in aequatione tertii gradus ἱ in qua I per algoriιb J una certe temper est possibilis; sed & amplius ea radix possibilis Arithmetice exponi potest : atque secundo casu; si invenitur conditio contraria qui dem alteri; uti dictum ; possunt quidem omnes radices esse possibiles ; scilicet tres . licet possint ela non esse ἔ quoniam minime est

vera propositio conversa. non enim adhuc Omnes innotuerun vnecessariae conditiones. Haec autem non distinxit Cartesius. Lib. 3. Geometr. ubi de radicibus agit aequationum tertii Gradus ι quae Arithmetice possint; aut non possint exponi . Ergo in nostra aequatione . quia potest dictus cubus ella maior dicto quadrato; & contra a potest dictum quadratum esse maius dicto cubo; atque etiam ι quia non sunt verae Propositiones conversae. esse poterunt radices tum tres; cum una tantum Possioilis. Et inde aut una, aut tres erunt curvarum intersectiones. Quod erat primum. Sin intersectiones tres B. unde ordinentur ad parabolam rectae BN. atq; ad circulum rectae B M. dein iungantur PB . Erunt BM- FIo vi I. AI -AN. aut AN AI. Et P M - PI BN; seu - ΓΝ - PI. Sunt autem B N - - x ex B verius parabolam A K tendentes;& - - x. ex B. vertus parabolam A P. Quare erit eonserua. 3 mΦ m m Φ

75쪽

s6 PROBLEMA. VII.

Sive a 3 - m mxx o. Igitur habebitur x' o. Quae aequatio fuit inventa. Habet

autem aequatio L per algorisb. J radicem unam positivam; duas vero negati vas; si tres sint possibiles. Inde valores duo ignotae x; sive radices duae aequationis inventae erunt duae B M. tendentes ex B ad parab. AD ; & una vera erit B N. vergens ex B. ad Para holam AK. Et haec fuit --ου. illaeq; - x. Quod erat alterum. II. Sit radix singularis possibilis inventae aequationis . occurret parabola Circulo illum secans in unico B. puncto cruris A D. ex dictis. Inde enim ducta BN. contendit ad alterum crus III. Et est B N. radix positiva -- x. Etenim quae possibilis est una aequationis radix esse debet positiva. Nam; ob defectum secundi termini summa duarum fallarum radicum per algoriib. destruere debet tertiam positivam . Sunt enim in hac aequatione duae radices falsae;& una vera. Non autem summa illa necessario elidetur eum tertia radice; nisi haec habeat --; & saliae simul additae nece Giarici praefigantur signo -; scilicet sint ambae negativae. Quoniam duarum harum falsarum una maior esse potest altera. inde. que si utraque non invenietur asiecta signo - non destruent illae additae simul radicem veram . Ergo patet quod proponitur, esse, quae possibilis est radix a necessario positivam . Modo si tres sint radices possibiles; sumantur in recta CD ducta normali ad axim in D per C punctum aut datum intra parabolam , aut datum extra illam portio una FS. ex C. versus para-holam AP aequalis determinatae BN-x . Fig vir. Eo enim in i co accepta in proposci fuit ignota BN, seu D F- - x . Fig. i ;& duae FD . in plaga aversa; nempe versus parabolam AG. una aequalis uni ΒΝ. Fig. vii Et altera aequalis alii B N duarum B N. quae tendunt versus parabolam a D. suntque - x. Deinde ex F.

76쪽

agantur axi parallelae rectae FB. Secabunt FB. parabolam in No. vI. quaesito puncto B. Erunt enim CB. normales Perimetro curvae in B; seu ad tangentem ductam ex B. Id enim positum est.

Vna sit possibilis radix aequationis. Sumatur FD. modo dicto ex k Q. VI C versus parabo AP aequalis BN -x. Fig. m. Et reliqua uti

Perdueitur descriptus circulus per verticem A. parabolae; seu FP axis. quod demonstratum est. Sed nulla inde enasci potest aequationis radix per constructionem . Non alii sunt problematis casus, ni si qui his propositionibus continentur . Casus enim puncti dati C.

in parabolae perimetro; unde ducenda sit normalis . non vere est huius problematis casus; cum ducenda tantum tunc sit ex C. tangens curvam; atq; supra tangentem ad C. educenda recta ad normam. Si propositio quarta habet inventam aequationem eum omni

hus radicibus possibilibus; absolvet ea sola, determinabitque casus omnes problematis; si nempe punctum datum sit aut intus curvam alicubi ι aut extra illam L prop. IV. I. Iamdiu in conicis demonstratum est; si cireulus parabolam in pluribus punctis seeuerit; a quibus adaxim ex utraque Parte demittantur rectae perpendiculares ἰ esse aut unam. aut lummam demissarum ex una parte aequalem illis, quae demittuntur ex altera. sed inventa in huius problematis sol tione aequatio caret secundo termino; unde salsae radices,& verae lese mutuo per algorith. expellunt: & rectae construitur illa per circulum, & parabolam sese secantes. Ergo algorithmi, & reliquae Geometriae colligitur inda convenientia. Si punctum C datum sit extra parabolam; cadet F. intus CD. Quod demonstratum est propos l. Si datum sit intra; tunc F. cadet extra CD. Simili fisi vi modo id demonstratur. Et dictum quoque suit proposit. I. Dictum est in hac propol.' & in prima, non esse veram de radice impossibili propos ' conversam, de qua illic agitur; sed et non sunt verae propos ' conversae de quaeumq; radiee impossibili: nimirum ;si aequatio Algebrica quibusdam affecta sit conditionibus; demon H stra-

77쪽

ue 3 PROBLEMA. VII.

strabitur adesse in illa radices impoli biles . at non per Conversam propositionem ; si illae conditiones non iniunt; radices erunt necessario pollibiles ,& reales in aequatione. Nam non adhuc Omnes enumeratae erunt, & cognitae conditiones: atque aliae, quae latent , poterunt investigari . Id aecidit aequationibus tertii gradus termino secundo destitutis; & quarum iertius habet - . Quoniam ut radices in illis esse possint omnes ruales; non lanc diu est, quum abdita detecta est,& nova neces Iaria conditio ; de qua dictum est in propositione V. initio pag. ss. Ustendit algorithmus aequationes dimentionum numeri imparis habere necessario radi cum aliquam realem; uti de aequationibus tertii gradus dictum est in propolitione I. pag. 48. sed alia haec res est,& plane diverta.

PROPOSITIO V l.

Int omnia, quae antea. Et quaeratui eadem aequatio xy - -

constructa per hyperbolem asymptoticam , & parabolam aut non datam , aut datam in problemater scuti etiam construebatur illa cum tertio coddin termino postivo proposit. II. III Sie igitur bp --m m. proposit. V Et erit xi minx - O. Inducatur nova, ct non quidem data in problematc parabola mI - xx . Et erit max x'. quare ἔ csi secta substitutione ; habebitur max -mmx- o. Sit nunc descripta paris bola A L Fig. IV. cum parametro m. Scciametro AB. Sumatur supra AB. intus par libolam portio ALaequalis Para metro m . Sit LII ex L. Parallela ordinatis parabolae AE. Item fiat lupra eadem AB intus parabolam redia AT --- . quae maior erit, vel minor quam A L. Ex T. educatur

TR parabola L H. & -p. atque asymptotis LV. LD. dei cripta sit

78쪽

PROBLEMA. VII. spse hyperboles CD. per punctum R. quae seestir parabolam prυ ι. II. J . Secet in N. Vnde ordinetur NP. ad parabolam . Est NP - -- x. atque A P. est γ. Perspicuum est, esse A E. parabolam m3 - xx. Sed est LP - γ - m. Et; ob hyper obolem . est LT X TR - LP x PN. quare erit xI - mx Vt . sive m3x - mmae - - . quae hyperboles fuit asym

plotica . Sunt vero eaedem x ;& eaedem in curva utraque I. Ergo . in locum maea suffecta eius aequalitate κ' perquisita per parabolam ιhabebitur xy- mmae o. Una est intersectio N. prop.IL Deinde ; effectis quae prius; inducatur data in problemate Parabola pI xx. Et ; essecta substitutioneὲ erit PI -mmx fit -- ci. Igitur descripta sit alia parabola AG. cum diamerro A II.& parametro p. sumatur in AII. intus parabolam portio AL - . & AI p ; quae maior erit, vel minor quam A L . Ex I

dueatur IR - - parallela ordinatis datae parabolae . Itemque ex L. agatur Lx parallela I R. atque asymptotis L Κ . LH. describatur per R. hyperboles EMR. quae secat eam parabolam propo- fit. III. . Secet in B. unde ad eandem parabolam Ordinetur B N.

Erit BN - - x ; Et AN -- -μ I . Eritque L M 3 Et reliqua patent. Et erit inventa aequatio constructa tum primo modo cum hyperbola asymptotica, ct parabola non data; cum secundo modo per hyperbolem pariter asymptoticam; & parabOlam Problematis datam . . E. F. Vna est intersectio B . prop. III. Verum enim vero aut unam , aut alteram cooptas ex his constructionibus; unicam semper adsequeris aequationis radicem

proposit. II. O III. ι cum tamen possit illa tribus esse praedita radieibus possibilibus. proposit. IV. . II 1 PRO. Diqitiam by Corale

79쪽

It parabola IAH. cuius diameter AO . ducatur ex diametri vertice A. tangens AF. curvae in A. si sumatur in AF. punctum quodvis B; unde ducatur alia curvae diameter B E illi Occurrens in E. atque ex E. ordinatim ponatur EO. ad diametrum AO. illi occurrens in o. & eurvae in P. Et connectatur BP. secans curvam in C. atque Ao. in D. Erit BC - CD. per doctrinam conicam . Nam erunt in continua proportione BC. BD. BP. Igitur dividendo erit BC. ad CD. uti BD. ad DP . sive EO ad OP. Inde BC erit in CD.

COROLLARIV M. Igitur possibile est problema; dato puncto P. in parabolaoperimetro AH. inclinare ex P. rectam PC. ad aliam perimetrum i ita ut linea interiecta CD. inter parabolae diametrum A D.& perimetrum se aequalis datae. Erat enim punctum B. ac ceptum quodvis in tangente AF . quare recte quaeretur ι dato puncto P in Perimetro; invenire punctum B. in AF. Unde ducta di metro B E. parabolae occurrente illi in E; fiant rectae BC. dc CD. aequales; unde tam una, quam altera aequalis erit rectae lineae datae. Igitur huic datae rectae esse potest aequalis CD.

LEMMA II.

δ' C It datum punctum P. in parabola IAH. cuius axis AOU. Ordinetur POE ad parabolam. Non ine linabitur ex P. nisi una PC ad aliam perimetrum in locis supra POE . ita ut intercepta DC. inter axim . & perimetrum ipsam sit aequalis cuidam rectae lineae datae. Etenim sit; si fieri potest; alia PNM ex P ducta propior ad POE . quam si PDC; cuius POE definita pars NM sit aequalis ipsi DC. seu rectae datae. Sed est PD ob angulum rectum in

80쪽

PROBLEMA. VIII. crin O. maior . quam PN. Etenim est angulus DNP. obtusus. Ergo erit CP . maior MP: quod impossibile ob parabolae naturam; euius crura ab axi semper sunt divergentia. itaque patet quod proponitur. Et ubique supra POE non erit una NM. aequalis alteri CD. IL Idem eveniet infra POE . Sint enim ibi duae ex eodem

P. ductae Pst X. PRS ad aliam perimetrum in K ; & S. Οrdinentur KR. SU. sitque Pstuc propior ad POE . quam PRS.

Per S. agatur ST. parallela AOU. Cadet S T. extra parabolam in plaga versus verticem A. Si enim caderet. intra secans ΚR. intus para Iam in T; esset LR versus A. maior SU. remotiori ab A. cum sit ΚR . maior TR. & inde maior SV. Id autem ob p rabolam fieri nequit. Ergo secet PO K rectam ST extra parabolam in T. Est PR. maior PQ. ob angulum obtusum P0 R. cumst angulus in O rectus. atqui est PR. RS :: Pu st T. Ergo RS maior erit a T. & longe magis maior O . Ee ubique infra POE.

erit una maior RS. quam altera a X. Et non duae illic inter clusae esse poterunt inter axim & perimetrum aequales eidem rectae; aut inter se. Igitur ad idem punctum P. in parabola da tum recta una potest in locis supra ordinatim positam POE ten dere; cuius interiecta inter axim & perimetrum sit data; & altera infra POE . eidem datae aequalis; atque non alia.

LEMMA III.

It data parabola E AB euius diameter, aut axis AH. Et ordina. FIG. II. tim agantur ad parabolam rectae NM. DP . ex punctis N. & D. Iungatur ΝD. secans AH in C. Erunt ob parabolam continu. proportionales A M. Ac, A P. Demonstratur. Quoniam si terminata recta linea BF. luerit; in qua continuae sint Geometricae BZ BO . BF. demonstrabitur inde, esse BO . ad BP. in ratione duplicata 2 O. ad O F. atqui proprie tas haec est linearum A M. AP. M C. CP. in parabola. 2 an ria. I. doquidem A M. a P ἔ;M M. DP3-MC'. CF. Ergo erunt in parabola A M. AC. AP. continuh Geometricae. O . E. D.

SEARCH

MENU NAVIGATION