장음표시 사용
61쪽
THeorema praecipuum Algebricum est; in tot punctis curvam
ab alia curva secari,& non pluribus; quot indicat nume rus factus in multiplicatione mutua duorum exponentum ignota
rum duarum maximarum, quae ignotae naturam curvae Common
strant. Id theorema intersectioni duorum Circulorum minimbeonvenit; qui mutuo in pluribus quam duobus punctis non secantur Per Elem. Geometr. . Deberent vero in quatuor; cum Circu tus curva sit conica duarum dimensionum. Est igitur Circulus a Theoremate secludendus. Attamen oportet & Algebrice quaerere in quot punctis Circulus Circulum secare possit; atque conquenientiam Algebrae,& Geometriae manifestare. Quod facere aggredimur ; cum a nemine hactenus confectum viderimus . Linea primi ordinis est recta:& unius dimensionis. Et Linea secundi ordinis; seu curva Primi Generis est curva conica ἔ atque duarum dimensiouumi & linea Tettii ordinis ι seu curva Secundi Generis est trium dimensionum: atque linea quarti ordinis , sive Tertii Generis est quatuor dimensionum: atque linea quinti ordinis; seu Quarti Generis habet quinque dimensiones . Et ita deinceps. Etenim linea primi ordinis est recta. Et nomen generis tribuitur solis Iineis eurvis. Quae nota ordo doctrinae hὶe postulavit enunciata. Itaque cum conicae lineae sint duarum dimensionum ν profecto curva conica non secabit aliam conicam in pluribus, quam quatuor punctis. Potest enim secare in minoribus. quod semper intelligendum est. Et curva secundi Generis non secabit aliam Generis etiam secundi in pluribus quam novem punctis r atque non secabit curvam generis primi, seu conicam in pluribus, quam sex punctis. Atque curva una secundi Generis non intersecabitur eum altera Tertii in pluribus quam Ιχ. punctis. Et ita hoc ordine de reliquis. Demonstratio Algebri ea generalis pro omnibus curvis esse .
62쪽
esse potest sed& aliae demonstrationes prolatae; & litteris traditaosunt quoniam si ex puncto unius intersectionis duarum curvarum ducatur ordinatim posita in dato angulo ad aliam rectam ; sive diametrum aliquam ἔ Positione datam i quae recta ordinatim
posita habeat exponentem maximum curvae , atque naturam
illius indicantem; continebit sane ipsa ordinata; calculo al- febrico instituto iuxta naturam duarum curvarum mutuo intersectarum; dimensiones numero pares dicto producto. Quod compertum ; perspectumque est in constructionibus aequationum alge-bricarum ι quando problema est determinatum. In quibus Constructionibus duae adsumuntur curvae ad ipsam constructionem. Oportet autem ; ut aequatio constructa radices omnes habeat reales aut veras, aut fallas; & nullam fictitiam.
Excipiendus est Circulus. qui curva est primi Generis; aut secundi Gradus; attamen Circulus Circulum non secat in pluribus quim duobus punctis . quod ostenditur in Elementis Geometriae. Sed id ipsum Algebrica analysis modo nuper exposito per intersectionem duorum circulorum; ex qua intersectione linea recta ducatur ad aliam positione datam in angulo recto; & quae linea recta ordinatim posita in constructione naturam exponit circuli; plane, & recte commonstrae. Sint enim Circuli duo sese mutuo intersecantes. Quorum centra B. & O. aut ambo manentia intus unum Circulum; aut alterum intus unum Circulum alterum intra alium Circulum. Sintque intersectiones N.&N; unde agantur ΝC. ordinatim ad sumptae in construtione ad angulos rectos supta BO . quae BO data centra coniungat. qui primus est casus. Accipiuntur autem ductae NC. normaliter supra BO ad demonstrationem huius Theorematis; quod nunc ostendendum est.
Producatur BO. eo usque secet Circulos in D. & T. atque in E. & st . erit DT diameter unius Circuli; atque Euta diameter alterius. Et coniungantur NO. & ΝΛ. dieantur radius NO a. & radius N B in b. Item dicatur BO - e. Et o
63쪽
- o. Quae aequatio est secundi gradus.
Secundus Calus. Sit modo linea positione data non quidem BO iungens centra Cireulorum ι sed alia H L. ad quam ordinata in constructione referatur. Sitque haec ordinata in angulo pariter recto supra H L. quae ΗL cadat vel intra duos Circulos; vel extra. Et vel hinc ι vel inde ab ipsa BOD. dicaturque in constructione NI - x. Est quidem NI recta ex puncto intersectionis N. ducta . & quae protracta secat eandem BOD in C.&HL. in I. ad normam tb Oibes . Est sane B L. parallela B OD accepta. Data est politione B L; & data etiam positione; itemq; magnitudine BO . Et denominationes rectarum lint quae antea . Sed Ic data sit - d. Erit NC FI IC; sive α, IC - ΝΙ. Hinc NC - x d; sive - d - x. Sed est BC - BN NG. Vnde BC - . BΛ' - NC . Elgo erit BC - ι, - xx -Σ dx - dd; sve U νθ - κω - α dx - dJ . Atque Co in B O - BC. sve in BO BC; erit se e V b, - xx Σax - dd. Atqui est NO' - NC' - CO' - NI IG co , sue
64쪽
si is adx. quare translati qubaa. ips--1ἐπι&--χ dx faciant - 46 i aut qui in secunda aequatione sit -- adae. unde - adae& - 26 manentes , ubi sunt ι sese perdant et aut sit - 2dae. Quare transIati quo a a. ipsi - a dx ; dc - adae faciant dx. Sed aequatio est semper secundi gradus; quicumq; casus fuerint aut signorum μὴ aut signorum atque aut quantitas i 6dd maior sit, vel minor quam 4 ce; scilicet sit 4 d. maior vel minor a c. Quae com Perta erunt; si quis calculo probarit. III. Casus. Sit Linea positione data SP ; ad quam ordinatae ex intersectione duorum Cireulorum ductae referantur in constructione in angulo dator quae SP neque linea sit coniungens data centra Circulorum; neq; illi aequi distans: & cadat vel extra. vel
intra ipsos Circulos. Ex puncto interfectionis N. Circulorum ordinatim ponatur ΝC; ad angulum prosecto rectum supra BOD . Et secet NC tectam SP in Μ. data est positione SP. atque da ta positione; & magnitudine B O. datumque punetiam N. Ergo data erit MC. positione; & magnitudine. 26. libri datorum Gelid dicaturque MC - d. Sit vero NM in constructione x. Et reliquae lineae denominentur . uti supra. Erit NC - x d;s SP cadit intra Cireulos; sive se d - κ; si cadit extra; cum primo casu sit NIC - NM -- MC. atq; secundo sit -MC-NM. Sed BC' est in BN NC . Unde BC erit in UBN' Nσ
65쪽
dd -- ee et e Vbb - xx G ad x - dd - ιι - xx 2 dx -dd. quare ventum prorius est ad casum secundum. Itaque reIiqua seuti ibi sint. Et aequatio semper provenit duarum dimensionum; quodvis fuerit signum vel μή vel - . atque eo dem modo aut 36dd maior quantitas sit , vel minor ec; nem Pe 4d maior sit, vel minor et c. Et reliqua; uti in latu secundo dictum est. Ergo circulum non secari a Circulo in pluribus, quam duobus punctis est Algebrice demonstratum. F. O.
Linea etiam recta includitur theoremate illo algebrieo; stilicet in tot punctis secari lineam a linea; quot indicat factum ex Exponentibus dimensionum illarum . Est enim linea recta, linea primi ordinis; dc unius dimensionis , seu unius gradus: &secat aliam rectam in uno puncto; & secat curvam conicam in duobus; & lineam tertii ordinis; seu curvam secundi Genetis in tribus punctis; & lineam ordinis quarti; seu curvam tertii Generis in quatuor punctis; & lineam secat ordinis infinite simi in punctis infinitis . Cognolcitur igitur per hoc theorema Symbeticae, & Algebrbeae Geometriae mira,& summa consensio Ipsa enim eadem Algebrica Geometria; quae generale demonstrat problema; habet& demonstratum casum ex illo seclusum iuxta syntheticam Geometriam .
SIT data parabola AG. cuius vertex A. Axis AH. Para- meter A L . Et si datum extra parabolam punctum C. Oportet ex C. normalem rectam lineam CB ad curvae perimetrum demittere. Po-
66쪽
Ponatur esse CB quaesitum perpendiculum. Sit ex B. tangens purvae B T. cui erit etiam ad normam recta CB ; occurrat que tangens axi curvae in T. Secet vero QN. ipsum aximin Ex C. agatur CD parallela ordinatis curvae supra datam positione AH . cui conveniat in D. Educatur etiam ex B. recta BF. parallela AH. occurrens CD. in F. Liquet eadere illam intus CD; cum sit angulus in D. rectus; & normalis CB. concurrat necessario in L. cum axi, sive recta DAΗ. Sint datae, cognitaeque rectae CD a. DA - . Para- meter AL curvae ατ p. Sed sit ignota DF; & denominata x. ordinatim ad curvam adplicetur B N. Erit BN- DF in x.
atqui ab parabolam est ΑΝ - - . Inde DN - D Λ - ΑΝ erit , - - - - ET ' . Sed ob normalem CB ad
. Hinc con- DF i & FC. Igitur erit a - x - ---- formata aequatio erit tertii gradus secundo termino orbata
Construetur autem sic. Sit data positione recta FD. axis deseriptae parabolae CNII cuius vertex F. parameter V pp. deinde in FD. sumatur ex.
67쪽
normam I P --. & centro P . intervallo PO VM ..udescribatur Circulus O A. 'ii Perducetur Circulus per verticem F. Parabolae . Adiunga-N I u. tur enim recta PF ex P. ad verticem F. Est connuctione P Um: PP - . IF . Inde erit P F ' - - - - - POL Est vero
PO. Circuli radius. Ergo patet; quod propositum cst. Secabit circulus parabol. FC in aliquo puncto B. Demonstratur. Quoniam non solum algorithmus demonstrat modos dignoscendi; an aequationes tertii gradus radices habeant impossibiles, seu imaginarias; verum etiam an habeant illae radices possibiles, seu dictas reales; cum demonstret radices impossibiles non fore nisi numero Pari. Et primum quidem demonstratum etiam habet idem algorithmus pro aequationibus quarti gradus ; non vero vi cissim iecundum ; eum non sine verae propositiones cun versae Ergo per illum aequationes tertii gradus habent semper aliquam radicem possibilem . Et quae termino se eundo deficiuntur, conti nent necessario radicem unam possibilem, & alias impossibiles ;s quidem secundus terminus; qualis est in nostra; sit positivus; seu praefixus sing no - . Pertransit vero Circulus per verticem F. Parabolae: quae intersectio nullam par est radicem aequario nis ministrando. Ergo alia curvarum intersectio erit; atque Prae
Fiat haec intersectio in puncto B. io ii. Nunc Urdinetur ad parabolam recta BN; atque ex B. duea-
ει H. tur Bu. parallela IFD. secans P I. in M. Iungaturque radius Pst. Dico, BN. esse quaestam ignotam x ἔ unicamque radicem aequationis inventae. Nam si BN-x IM. Nune
68쪽
aeae. Igitur rite& recte instructa aequatio habetur κ' p x -- - figl- - o. ae aequatio fuit inventa. Igitur abscindatur in data CD. portio FD aequalis determinatae B N. quae quidem υροιο si est se x . Ee ex F. sit FB, parallela D AH. secans curvam in B. Et iungatur B . cum dato puncto C. Erit CB. normalis quaesita ad Parabolae perimetrum in B . aut ad tangentem in L . curvae. Id enim positum est. 2 E. F.
lis parametro p. datae parabolae. Nunc alymptotis LII . LB 'deseripta sit per punctum R. hyperboles COR D. Liquet hy- G per
69쪽
perbolem oeeurrere parabolae; & in singulari puncto N. habet enim illa asymptotum axim parabolae AB. ad quam adtingere semper enititur; & nusquam eam carpet. Ergo unam secat parabolae perimetrum A E. Idem pariter; uti supra; l proposis. I. Idemonstratur per algorithmum. De casu agitur A L. sumptae extra AB. Sit intersectionis punctum M. unde ordinetur ad parabolam recta NP. dico esse N P. quaesitam x. Nam sit ΝΡ - x. Et AP. est 3 . Patet , descriptam parabolam esse inductum locum ba m xx. atqui est eonfraction. LP LA AP - ρ- - - . Et per hyperbolem habetur L TX TR - LP x PN. quare erit - p x--- x3. Inde erit sax ---- ρ- - - o . Qui locus erat hyperbolis asymptoticae . atqui I.& x. sunt eaedem rectae in utraque curva. Igitur lassiciatur in hac aequatione loeo ιγα eius aequalitas xy per Parabolam com Parata. Et erit xi - -- pbx- αα . quae aequatio fuit inventa:& eonstruenda erat. Inde P. determinabit exinoptatam x. quae pernosci debebat. Et reliqua haud secus ac in Praecedenti Propositione.
QInt omnia quae prius . Et quaeratur, ut aequatio comPerta construatur ope parabolae ipsiusmet datae . Immissus novus parabolicus locus si pI - xx. erit pax ταααλ. Et; facta labstitutione aequalitatis in comperta aequatione; erit pax - ώρα - - Ο. Sive Ix -bx- - -- o. quae hyperboles est ad asymptotos. Nune in axi AH.
70쪽
parabolae initio datae AG. abrumpatur e vertice sumpta recta mic ψAL. sed extra axim AH aequalis β - - . Hinc erit A L . maior
quam A D. in eadem plaga posita. Ex L. agatur LX parallela ordinatis parabolae. Et in L AH. determinetur LI - p. atque ex I. sit IR aequidistans LM. aequalisque - . describatur modo per 'R . hyperboles ER M. asymptotis L L. & LH. Ca det quidem LI aut intra A D. aut extra; & supra axim AH. sed extra L D. versus H. cum sit L D T . Agitur de casu A L. positae extra AH.Seeabit hyperboles deseripta parabolam AG . & in unico puncto B . per supra dicta; scilicet tum per algorithmum ἔ cum Perdescriptionem. Etenim habet ea asymptotum axim AH. parabolae; ad quam semper enititur; & dilabitur. Itaque secet illa parabolam in B. Unde ad eamdem parabolam ordinatim Ponatur BN. Erit BN exoptata occulta x. Nam si BN - κ. Est AN I. Quamobrem erit L Ν - I eonffraction. . Est AG . parabola data per hnoibes. atqui ob hyperbolem habetur LN x NB - LI X IR. Igitur erit Ix - ,π - - - a
Quae hyperboles asymptotica erat. Et in utraque curva eadem recta est x. eademque I . Quare subeat in hac hyperbola in Io-
cum ax aequalitas, quam Praebet parabola - . Et adsequemur eam quae inventa fuit, & erat construenda , aequationem x3 - .pbx-- - o. Coniungatur nunc datum punctum C. eum B. 6c erit coniuncta CB. normalis ad AG. perimetrum parabolae datae . quod exoptabatur . Id enim postum est.