장음표시 사용
51쪽
ponderet ipsi trapezio b d K g ita habenti, ut nunc ponitur. Dicos spatium minus esse ipso l.
S E C E T v R enim ac in e ita ut quam proportionem habet dupla ipsius d b,&ipsa lig ad duplam ipsius kg, &ad bd, eam habeat eg ad ber & per e ducta en ae- A qui distans ipsi bd secetur bifariam in h. trapezii igitur bd kg centrum grauitatis est punctum h.
ut ostensum est in mechanicis.
Itaque si bd kgtrape tum in esuspendatur, &soluatur ab gpunctis e manet eandem habens costitutionem cx Iis, quae superius demonstrata sunt: Sc aequi- ponderabit spatio f. Quoniam igitur aequi pomderat bdhgtra petium suspensum ad e, spatio f ad a suspensor erit ut ba ad be, ita traperium bd k gad f spatium. maiorem ergo proportionem habet bd kg traperium ad matium , quam ad l: quoniam & ab ad be maiorem habet proportionem, quam ad bi.quinti g. quare spatium s minus eriti spatio. 3 . σ
g: Quam uero proportionem habet a b. ad bg, habeat trapezium d K i r ad spatiumst: st suspendatur trapezium ex libra in punctis bg, ct t spatium in ar ct aequa ponderet spatium f trapezio d K t r. sic habenti, ut nuuc habet . similiter iis, quae dicta sunt, ostendetur 04uum s minus esse spatio l.
52쪽
Si T rursus libra ac , cuius medium b : & d e Κ g trapezium, angulos quidem ad puncta eg rectos laabens, latera autem Κd, ef tendentia ad c; & quam proportionem habet ab ad bg, eam ha eat trapezium d Κ e g ad spatium iri: quamq; habet ab ad b e, habeat trapezium d Κ e g ad i. suspendatur autem d K e g trapezium ex libra in punctis eg: ct stipatium suspendatur in a aequi ponderans ipsi trapezio ita habenti, ut nunc ponitur. Dico fspatium spatio quidem l maius esse, ipso autem In minus.
'S v M A T v R enim trapeZii d heg centrum grauitatis, quod sit h. sumetur autem sicuti prius θεοῦ & ducatur hi ipsi de aequi distans. Si igitur trapezium suspendatur ex libra ad i punctum: di ab ipsis e g punctis sol
bens constitutionem, &aequi ponderabit f spatio ex iis quae superius di tasunt. Itaque quoniam trapezium suspensum ad lae-quiponderat spatio f ada suspenso eandem habebit proportionem trapezium ad c quam ab adb i. manifestum ergo est . - . trape1ium d heg ad I maiorem habere proportionem, quam ad f; & ad ipsum mminorem, quam ad s. quare spatium sipso quidem l maius est,ipso autem m minus.
PRΟΡΟsΙΤIO XIII. SI T rursus libra ac , in cuius medio b: ct trapezium Κd t r. quod latera quidem Κ d, t rad punctum c tendentia habeat, irisa au tem d t, Κ r perpendicularia ad b c : b . suspendaturq; trapezium ex libra in pun
in a suspendatur, ae qui ponderans ipsi dΚ tr trapezio ita habenti, ut nunc ponitur: &quam proportionem habet ab ad . . . Qi
53쪽
ARCHIMED Isb e, eam trapezium d Κ t r habeat ad i spatium . quam uero habet a b ad bg, eandem habeat idem trapezium ad spatium m. similiter antedictis, ostendetur f spatium, spatio imaius, ct ipsem minus.
SI T portio b b c contenta recta linea, ct rectanguli coni sectione:
sit autem prius linea b c ad angulos rectos ipsi diametro : & ducatur a puncto quidem b linea b d diametro aequi distans; a puncto autem c ipsa c d , tangens coni sectionem in c. erit igitur triangulum bc d rectangulum. secetur etiam b c in partes quotcunque b e, e LQ, gi, i c: S a sectione ducantur diametro aequi distantes es, si, gy, i x; a punctis autem, in quibus hae secant coni sectionem ducan tur ad c lineae, & producantur. Dico triangulum bd c trapeziorum quidem Ke,lf, in g, ni, ct trianguli x t c minus esse, quam
triplum; trapeziorum uero fu, gh, p, ct ioc trianguli maius, quam triplum.
recta linea c b& ab ea resecetur ab aequalis ipsi bcr & intelligatur libra ac, cuius medium sit b;& ex b suspendatur : suspendatur quoque b d ctriangulum ex libra ad puncta b cr & ex altera parte ad a suspendantur spatia rq a s λ : Se aequiponderet r spatium trapezio d e, ita habem
tium uero λ triangulo xi c. aequiponderabit igitur Sc totum toti . ctuare
triplum erit b d c trianguIum spatii rq 29 λ&quoniam est portio b h c,quae continetur recta linea, &coni rectanguli sectione r& a b puncto ducta eth Iinea b d diametro aequissistans: a puncto autem Cipsa c d tangens in e rectanguli coni sectionemrducta est praeterea ,&alia
54쪽
quaedam linea se aequidistans diametro: eandem habet proportionem bc ad bei Rquam se adeu . quare & ba ad be habet eandem, quam de trape tum ad ipsum Che. similiter ostendetur b a ad b seandem habere proportionem, quam trapezium s i ad li; &adbg eandem, quam ig ad mg; ad bi uero eandem quam y i ad ni. Quoniam igitur trapetium de angulos quidem ad puncta b e, rectos habet; latera autem ad c punctam tendentia :&aequiponderat spatium rsu pensum ex libra in piicto a ipsi traprato ita habenti, ut nunc ponitur: estq, ut b a ad b e, ita de trape hium ad he: maius erit he spatium spatio r; hoc enim ostensium est. Rursus de tra- Dpeatum fg ad puncta fe angulos rectos habet, & latus si tendens ad c : ipli autem Ita habenti, ut nunc habet, aequi ponderatq spatium ex libra tu enium in a: re est aut ba ad b e . ita fs trapeatum ad trapetium iu ;& ut ab ad , h, ita fs trapezium ad ipsum it . spatium igitur q trapeato quidem is minus est, trapezio autem fuma Pius; nanque&hoc est ostensum. Eadem ratione Set spatium minus est trapezio in g, & trapezio h g maius :& spatium s trapezio yi minus,& mesus ipso pi: simili- Gter etiam λ spatium triangulo xic minus est, di triangulo cio maius. Itaque quoniam trapeZium he maius eth r spatio :& l f trapezium maius spatio q.&nig spatio Σ: et ni ipso si triangulum autem xic spatio λ: mani sellum est et omnia dictalpatia spatio r q29 λ esse maiora. sed syatium r q E9 λ tertia pars est b c d triansuli. trian 6 huius gulum igitur b c d minus est, quam triplum trapeatorum he, is, in g, ni, et trian suli xi c. Rursus quo niam f u traperium spatio q minus est, et lig spatio χ: et pirpso s: triangulum uero ioc spatio λ: constat et omnia spatia minora et se λ92qspatio. Quare triangulum bd c maius est, quam triplam trapetiorum us, lig,1 P, et Ico trianguli: minus autem, quam triplum antedictorum.
tio blic contenta recta linea, Rconi rectanguli lectione:& non
sit linea b c ad angulos rectos ipsi
diametro . necessarium est, uel lineam a puncto ba qui distantem diametro ducta ad easdem partes sectioni, uel ductam a puncto C, obtusum angulum continere cu
lpa b c . Sit autem ad b, quae obtusum angulum continet: ct a b puncto ducatur linea
non in m 1 d. non in Du , flamia
55쪽
ς linea b d diametro a qui distans : ct ab ipso c ducatur c d tangens coni sectionem in c: seceturq; bc in partes aequales quotcunque, be, e L fg, gi,ic: ct a punctis e fg i ducantur aequid istantes diametatro e s, si, gy, ix, a punctis uero, in quibus secant coni sectionem, ducantur ad c linea , ct producantur. Dico ct nunc quoque trian- sulum b d c trapeziorum quidem bu,t L in g, n i , ct trianguli c i x. minus esse, quam triplum; ipsorum autem fu, g h, i p, ct c oi trianguli maius, quam triplum.
PRO Duc Arv R db in alteram partem . atque ad ipsam a punctoc ducatur perpendicularis cur de sumatur lineae ch aequalis ah. Intelliῆatur autem rursus libra ac , cuius medium sit k:&suspendatur ex k: suspendaturq; triangulum clid ex dimidia libra in c k punctis : ita ut nunc ponitur: di ex altera parte suspendantur in apuncto spatia r q a s & aequiponderet spatium r trapezio de , sic habenti, ut nunc positum est: & ' aequi ponderet sstrapeZio: & χ trapezio eg: & s ipsi i iide' , clx triangulo; atquiponderabit A autem di totum toti . quare d b c trians gulum triplum erit spatii rq 19λ. similiter, ut prius , ostendetur h u trape-C χium spatio r maius: re trapeaeium h e maius spatio q: trapeZium autem fu minus eodem :& trapeZium m g mgius Matio et,& ipsum gli minus:&insuper trapezium ni spatio 9 maius, & ipsum piminus: triangulum autein x t c maius spatio λ; de c t o triangulum minus . manifestum igitur est, quod proponebatur.
Si T rursus bi, C portio con tenta recta linea, ct rectanguli coni sectione: ct per b ducatur bd aequi distans diametro : ab ipso autem c ducatur c d tangens in c coni sectionem: ct si trian
guli b d c tertia pars f spatium . Dico portionem bl, c aequalem esse spatio f.
Si enim non est aequalis; uel maior est, uel minor. sit primum i si fieri potest,maior. Iam excessus, quo blic portio excedit spatium s, sibi ipsi coace A uatus, maior erit b c d triangulo. potest autem sumi aliquod spatium mi nus excessu; quod sit pars trianguli b d ήc : sitq; b c e triangulum, & minus dicto
56쪽
excetria ,&pars trianguli bd c. erit& b e pars eadem ipsius bd. itaque diuidatur bd in totidem partes, ta diuisionum puncta sint gi k: &ab ipsis gi h ad c linea iungantur. secabunt irae coni lectionein, cuin cd ipsam tangat in c. per puncta autem sectionum ducantur lineae ae uidistantes diametro m v, n r, x h, quae & aequidistantes erunt ipsi bd. Quoniam igitur triangulum bce minuS est excella, quo blic portio excedit f spatium: patet utraque haec, spatium f, de triangulum bce minora esse ipsa portione . triangulo autem bce aequalia sunt trapeata, per quae coni lectio permeat, uidelicet m e. v l, h r, ii O , S triangulum cos: nam trapetium in e conam ne est: trapreium nil aequale trapeziO ul:& trapezium Ix aequale trapehio hr: N q x ipsi oli. &triangulum cq p triangulo cos. spatium ergo f utinus eli trapeziis mi, x r .p K, & triangulo Poc. Sed trianaulum bd c triplum est spatiis. quare bd c triangulum minus ei ,.quini triplum trapeZiorum m i, xr , p li,S poc trianguli: quod fieri minime po testr olfensum eis enim maius, quam triplum. uon igitur portio blic maior eit f spatio. Dico etiam neque esse minorem . nam si fieri potest, sit minor. Rursus excellus, quo spatium s excedit blic portionem , ipse sibi ipsi coaceruatus maior est triangulo bdc. Itaque potest sumi spatium minus dicto excessu , quod sit pars bd c trianguli: ι sitq; triangulum bce mimis exces tu; Sc pars trianguli b c d: & alia eadem construantur. Quoniam igitur bce trian gulum minus est excestu, quo spatium sexcedit hhe portionem: triangulum bes , de portio blic, utraque minora lunt spatio t. est autem spatium s minus quadrilateris em,un, Ex, pt, &triangulo CPS: nam triangulum bde ipsius f triplum est;&dictorum spatiorum minus, quam triplum, ut proxime ostendimus. triangulum ergo b c e, & portio b h c minora sunt quadrilateriS c m, v n, Zx, P ci& cps triangulo . quare ablato coinmuni, uidelicet portione ipsa, minus erit triangulum c be residuis spatiis: quod quidem fieri non potest. Ostetissimcnim est be e triangulum aequale traperiis em, ut ,hr, ho, & triangulo cos, quae sunt maiora dictis spatiis. non igitu ottio b h c minor est f spatio, que ma . . ior, ut ostensum est . quare relinquitur 'eidem esse aequalem.
est, omnem portionem contentam recta linea, ct rectanguli coni sectione, sesquitertiam esse tria nil, qui basim habeat portioni eandem, S aequalem alti
57쪽
S i τ' enim portio contenta recta linea Ac rectanguli coni sectione, cuius uertexi, punctum: & in ipsa inscribatur triangulum b h c eandem basim habens portioni,& estitudinem aequalem. Quoniam igitur punctum ii uertex est portionis: recta linea ab h ducta aequidistans diametro bifariam secat ipsam b c;& b c aequi distans est lineae sectionem tangenti in h. ducatur autem e h linea aequidistans diametror & ά pucto b dueatur bd eidem aequidistans :& a c ipsa c d tangens conisectionem in c. Itaque quoniam hi, aequidi itat diametro . ipsa autem c d tangit sectionem in c r &ec aequi distat lineae sectionem tangenti in h. triangulum b d c quadruplum est trianguli bli e . N quoniam triangulum bd c ipsius blic portionis est triplum: patet blic portionem sesquitertiam esse trianguli blic.
Portionum quae r ceta, ct curua linea continentur, basim uoco ipsam rectana; altitudinem uero, maximam perpendicularem a curua linea ad basim usque portionis ductam; ct uerticem, punctum, a quo maxima perpendicularis ducitur. Si in portione, quae recta linea, ct rectanguli coni section e conti ne tur, a media basi ducatur linea diametro aequi distans: uertex portionis erit pun tiam, in quo linca diametro aequi distans ducta coni sectionem secat.
ta recta linea, & rectanguli coni sectionei & a media ae ducatur d bdiametro aequidistans. Quoniam igitur in rectanguli coni sectione ducta est d b diametro aequi distans: & aequales sunt ad, d c: constat lineam ac aequidistantem esse ei, quae in b coni sectionem contingit. quare ductarum a sectione ad ipsam a c perpendicularium , maxima erit, quae a b puncto ducitur . ergo punctum b uertex est portionis.
Si in portione recta linea, ct
rectanguli coni sectione contenta ducantur duae lineae di
metro aequi distantes; una quidem a media bas; altera uero a
medio dimidiae basis: ducta ii
media basi, eius, quae a medio dimidiae basis ducitur , longitudine erit sesquitertia.
58쪽
Q V ADRATURA PARABOLES. 1 sturaequidistantes diametro, linea quidem bd a media ac , ipsa autem e s a media ad ducatur quoque sit aequidistans ipsi ae. Quoniam igitur in eo ni rectanguli sectione linea b d diametro aequidistans ducta est: ipsae autem ad , fh aequi distantes sunt lineae contingenti in b: manifestum est eandem habere proportionem bis adb Αhlongitudine , quam ad adfli potestate . quadrupla igitur est & bd ipsius bii longitudine . ex quo patet, sexquitertiam esse longitudine bd ipsius es.
SI in portione recta linea, et coni rectanguli sectione contenta triangulum describatur, eandem portioni basim habens, R alti
tudinem eandem : maius erit descriptu triangulti dimidio portionis.
S ir enim portio abc, qualis dicta est: & in ipsa describatur triangulum ab ceandem, quam tota portio basim habens, & aequalem altitudinem. quoniam igitur triangulum basim habet eandem portioni, & altitudinem eandem: ne eesse est b punctum uerticem esse pomtio nis . aequidistans est igitur linea ac lineae inb piacto sectionem tangenti. Ducatur de per b, aequid staus ipsi ac: &a punctis a c aequi distantes dia
cadent igitur ipsae extra sectionem . & quoniam ab c triangulum di in idium est parallelogrammi ad e ce patet maius esse, quam dimidium dictae portionis. quare neri potest, ut in hac portione multiangula ligura describatur: ita ut reliquae portiones quolibet proposito spatio sint minores. auferentes enim semper spatium maius dimidio: & propterea minuentes semper reliquas portiones, tandem eas quot bet spatio proposito minores reddemus. AB
Si in portione recta linea, ct coni rectanguli sectione contenta
triangulum describatur, eandem habens basim portioni , v altitudinem eandem: describantur autem ct alia triangula in reliquis portionibus, quae basim eandem ipsis habeant, ct eandem altitudinem : alterutrius triangulorum, quae in reliquis portionibus describuntur, octu plum erit triangulum in tota portione descriptum.
Si et a b c portio, qualis dicta ear e secetur ac bifariam in d: ducatur autem b d aequidistans diametro .er aego punctum b uertex est portionis. de propterea ab c triangulum eandem habet portioni basim,& altitudinem eandem. Rursus secetur bifariam ad inpunet O einducatur e f diametro aequi distans secetur praeterea ab in h. puri
59쪽
ARCHIMEDisb.& triangulum a b eandem basim habet afb portioni, & eandem altitudinem Ostendendum est, triangulum ab c octu plum este trianguli a sb. est enim bd ipsi quidem es sesquitertia: ipsius autem e h dupla. dupla est igitur eli ipsius h f. qu re& aeb triangulum duplum est trianguli sua, nam triangulum aeti trianguli alis est duplum: de libe item duplum inius stib. triangulum ergo ab c trianguli afb octuplum est. Similiter quoque ostendetur Octuplum esse trianguli in portionebge descripti. PROPOSITIO XXII.
Si sit portio contenta recta linea, ct coni rectanguli sectione: spa
tia autem quotlibet in quadrupla proportione deinceps ponantur: & sit maximum eorum aequale triangulo, quod basim habeat portioni eandem, & eandem altitudinem : omnia dicta spatia minora erunt ipse portione.
Si T enim ad bec portio contenta linea recta,& eoni rectanguli sectione: spatia autem quotlibet deinceps posita fghii sitq; f ipsius g quadruplum, &aequale triangulo, quod balini habeat eandem portioni, & altitudinem eandem . Dico Portionem spatiis fghi maiorem esse. Sit totius quidem portionis uertex punctum b: reliquarum autem portionum uertices ipsa de . Quoniam igitur ab c triangulum octuplum est alterutrius triangulorum ad b, hec: constat quadruplum esse utrorumque. quoniam ab c triangulum aequale est spatio fi erunt & triangula ad b, b e c spatio g aequalia. Similiter autem ostendetur , ct triangula in reliquis portionibus descripta, eandemq; basim habentia ipsis, & altitudinem eandem, spatioli aequalia esse: & demum triangula descripta in posterioribus portionibus aequalia esse spatio i. Omnia igitur proposita spatia aequalia erunt figurae cuipiam multian gulae in portione descriptae. quare manis itum est ea tale minora ipsa portione.
portione : omneS una cum tertia parte minimae illarum inter seiunctae, sesquitertiae erunt maxima magnitudinis. uotlibet magnitudines deinceps positae ab ede, quarum unaq-quς
ipsius. d tertia:&1 ipsius e. Quoniam igitur f ipsius b tertia est bh. 'IR μ 'μς h vs a pars sunt ipsius a. Eadem quoque ratione de g, c, ipsius b tertia sunt: de Iid ipsius cr* ipsius d. Quare omn m 'gnitudines . . I D
60쪽
h i tertia pars sunt magnitudinum omnium abcdsunt autem&fgh tertia ipsarum b c d . & reliquae . igitur be dei magnitudinis reliquae uidelicet ipsius a tertia sunt.
gnitudines ab c de & i, hoe est tertiam ipsius e, sesquitertias esse ipsius a magnitudinis.
tio recta linea, ct rectanguli coni se
ctione contenta sesquitertia est triangu
li eandem ipsi basim habentis, ct altitudinem aequalem.
S i et enim portio adb ec contenta recta linea, Ze rectanguli coni sectione: Sitq; triangulum a b c , quod ha- tibeat eandem basim portioni, de aequalem altitudinem: ipsius autem trianguli a b c sesquitertium sit k spatium. Ostendendum est k aequale esse portioni adb e c. si enim non est aequale, uel maius est, uel minus. Sit primum, si es se potest ad bec portio maior spatio he describantur autem a d b, hec triangula, ut dictum est:&rursus in reliquis portioniabus alia trianetula describantur, eandem ipsis basim habentia, de altitudinem eandem 1 & semper in iis, quae postremo fiunt, po tionibns describantur duo triangula basim habentia eandem ipsis, & eandem altitudinem: erunt tandem portiones reliquae minores excessu, quo portio adbee
excedit k spatium. Quare descripta multiangula figura maior erith spatio; quod esse non potest.
sunt enim posita deinceps spatia
in quadrupla proportione: & primum quidem a b c triangulum quadruplum est trian G a gulorum