장음표시 사용
231쪽
ellipsis a e rectangulum a c: O eodem modo ex diametris ellipsis e g constituatur aliud rictangulum egro exurgesima quinta sexti elementorum conItituatur tertium rectangulum ux, aequale ipsi ac reflanguis, O smile ipsi eg: in quo describatur ellipsis a x, cuius muror diameter recta linea ux. erit Ofellipsis ux , finalis estini egro ex septima huius ,statium elli ux contentum, aequale spatio contento ellipsi a c .fiat ut Ioadeg, sic b dadq: O inter duas rectas lineas ux ,q inueniantur duae mediae proportionales mo, O r: intelligaturq, coni portio m no similis coni pomtioni ela, basim tabcns Datium ellipsi contentum, cuius maior diameter sit m o, O altitudo up . Dico coni portionem vino eam esse, quam quaerimus. ducatur Num planum sicans com pomtionem ela, transiensq; per lineum m , O eius axem fis; quod faciat sicctionem triangulum fhs: O similiter per lineam np, axem portionis coni mno, qui sit ni , ducatur aliud planum eam sicans, faciensq; sectionem triangulum npt. erit triangulum n pt aequia vlum triangulo D s, ex dissilitione coni portionum similium, quam nos in principio huius attulimus; O eadem ratione, qua usi fumus in antecedenti, erit ut sh ad eg, ita n p ad mo: O tandem, ut quadratum ux ad quadratum mo, ita n p ad bd. ut autem quadratum ux ad quadratum mo, italpatium ellipsi ux comprehensum ad statiam comprehensim ellipsi mo, ex corollario septimae huius. Ad statium ellipsi v x comprehensum est aequale spatio comprehensio ellipsi a c, ut monstratume'. ergo ut bos portionis com a b c ad basim portionis conι mno, ita nρ ad bd. quarum autem coni portionum bases ex contraria parte respondent suis altitudinibus, hae inter se sunt aquales, ut monstratum es ad undecimam huius propositione iacim . .aequalis est igitur coni portiomno com portions a be, O similis ipsi ela: quod fecisse oportebat. Et idemsequetur, si sint datae cylindri portiones ab c ,efg. nanque erit cylindri portio must aequalis abc portioni, Ommilis portioni ela. Quod si dato cono ,3e data coni portione, oporteat conum constituere, aequale datae coni portioni, disimilem dato cono , vel constituere coni portionem aequalem dato cono, similem uero datae coni portioni. Conum inueniemus ex us , quae superius monserata sunt , aequalem coni portiora datae, uel coniportionem aequalem dato cono, O propositum ex ante rictis nullo negotio assequemur.
Neque aliter faciemus si dato cylindro, & data cylindri portione, constituendus sit cylindrus, aequalis cylindri portioni datae, & similis dato cylindro, uel constituenda sit cylindri portio, aequalis cylindro dato, di similis datae cylindri portioni. P RO P O S I T I O V. Datis duobus sphaeroidibus, tertium constituere sphaeroides, quod sit alteri eorum aequale, alteri uero simile.
Sint data sphaeroidea abcd, elab: quorum diametri ac, eg; O axes bd, De O oporteat constituere sphaeroides , aequale ipsi ab c d , O simile ipsi elab. ponantur com abc, e fg ; a b c
quidem basim habens circulum circa diametrum ac , axem bdi efg vero basem habens circulum circa diametrum eg, or axem 1 h. Duobus igitur datis conis tertium constituemus conum;
aequalem ipsi abc, O Amulem ιpsi ela: qui sit him, cuius basis circulus circa dumetrum L m, O axis i n. ponatur sphaeroides hi mn , diametrum habens eandem hin, ct axem l n. Dico hin m sphaeroides esse illud , quod quaerimus. es enim simile sphaeroidi ecth; cum consis h. l mfactus sit similis cono e fg est aequale si haereses a b c de cum idem conus hi m luctus sit aequalis cono ab c. coni autem hi m duplum sit sphaeroides V m n, O coni ab c item lit duplum sphaeroides a b c de quod patet ex corollario vigesimae nonae huius. Quare factum iams, quod fecisse oportuit.
233쪽
roidis, siue conoidis portionem, quae alteri earum sit aequalis, alteri uero similis. Sint datae sphaemulas,sive comissis portiones, absicissae plano quomodocunque dulcto abc, gh: et sit abe abscissa i sphaeroide ,siue comide abcd, cuius portionis basis sit circulus diuestatium eialipsi contentum circa diametrum ac ,σaxis beroe fgh sit abscilla d sphaeroide, uel conoide fghh, cuius portionis basis sit circulus,sive statium estim contentum circa fh tametrum, et aaiss te oporteat autem portionem inuenire aequalem portioni abe, similem ipsi fg h. Constitua rur ex ν , qtiae ante traita sunt, coni,scuportiones com amc, Iob; a m c quidem aqualia Por, i
tioni abi, basim habens eudem ipsi; ' b uero aequalis portioni Db , O ipsi eandem habre t ba- . Sitq; primum fgh portio, cui oporteat item constituere , hybaeroidis portio , abscis a plano
per centrum ducto, uel erecto supeν axem, uel non erecto. erit ' h conus, siue coni portio basim habens circulum, uel stiatium contentum ellipsi circa diametrum D, O axem n l, qui sit aequalis axis haeroidis gh, ex corollario uigesimae nonae , O trigesimae huius. Itaque dato cono, siue coni pomtioni amc, aequalem conum constituemus, siue coni portionem, similem ipsi Iob: Osit otq, e ius basis circulus, uel statium ellipsi contentum circa diametrum sq, et aris i s: Osupra eandem
basim intelligatur constituta sphaeroidis portio opq, similis portioni fgh, cuius axis sit ps. Di coportionem opq esse eam, quam uolumus. Compleatur enim sybrioides: O sit o p q r, c ius axis p r, centrum s. erit ut n i ad f h, ita l.s ad O q: ut autem f h ad I k, ita o qad pr. quare ex aequali, ut n I ad I h, ita i s ad p r: O sunt aequales n l, gh . ergo aquales quoque sunt i s, pr: O propterea portio opq aequalis est cono, soportioni coni Otq; hoe
234쪽
I L I B. DE c OVO ID. ET I P H AE R O I ILest ipsi a m e, cui erat uaequalis portio sphaeronius a b c. aequalis est igitur portis o p q portions ab c, o similis
roidis abscissa plano se N . non per centrum ducto, scd erecto super axem, uel non erector sit a tem v centrum sylu-roidis fghh, erit conmfn b, siue coni portio, cuius basis circulus, βι- ne statium ellipsi con
fh , axis ni; qui ad ipsum g ι eam habeat
utraque linea u , t h. habet ad ipsam i , ex
corollario trigesimae tertiae , O ultima huius. Rursus dato cono, siue com portioni amc, com m , siue portionem coni aequalem constituemus, similem ipsi s nb: O sit o t q, cuius
basis circul us, uel statium ellipsi contentum circa diametrum o q,
O aris i s: O supra eandem basim constituemus lybaeroidis portionem op q, similem portioni fg b , cuius axis sit ps. Dico portionem eam esse quaesitam portionem. compleatur enim sthaeroides o pq r, cuius axis er , coe centrum x. Et quoniam es n l ad II, ut utraque linea u l ad Ic est autem ut n l adgl, ita i s ad pseo ut utraque linea v c l ad I ita utraque xr ,sν ad fr: quod manifeste patet ex 's, quae supra ostendimus, ob similitudinem portionum fgh, o pq: erit is ad ps, ut utraque aer,sr adfrro eadem ratione portio opq aequalis cono, seu coni portioni otq; hoc es ipsi sphaeresis pomtioni abc, O simitu ipse H b. Sed sit fg b portio con dis rectanguli, absisse plano super axem erecto, uel non erecto. erit fn b conus, siue coni portis, cuius basis, circusas, hi ue spatium contentum ellipsi circa diametrum I b, axis ni ; qui ad axem portionis si proportionem habeat fesquialteram, ex corollario uig smae tertiae, O me a quartae huius. Constituatue igitur conus, siue coni portio otq, aequalis inno, siue coni portioni a me, similis uera ipsi obro sit eius basis circulus, uel spatium contentum ellipsi circa diametrum o q, axis is: deinde supra eandem basim constituatur considis re
ctanguli portio op q, similis io fgh, cuius axis si ps. Dico portionem opq esse aqualem Wrtioni ab e . est erum at ni ad sh , ita is ad O qter ut ID ad gi, ita oq ad ps. quare ut n l ad gia ita is ad p s. stant sesquialtera G ipsius I l. 'ergo O is erit ipsius p s sesquaaltera: Opor no comissis rectanguli opq aequalis ipse Otq hoc est abc,oebmilis ipsi fg b. sit
236쪽
IR LIB. D. E i O V o I D. E T J τ H R O I D. Sit denique portio fi b c missis situ Musi, absissa plano, ut di tum est . erit fu b conus, sine coni portio, cuius a xv n l ad axem portionis I ι .
proportionem habeat, suam L-traque linea ; aequaui ipsi gi; is quae tripla sit lineae ad axem adsectae, ad lineam utrisque aequalem; ipsi scilicet II; lineae, quae sit dupla tineae
ad axem adiectae; ex corollam uigesimae septimae , O mgemmae octauae huius. constituatur,
ut superius quoque factum es. conus , siue coni portis o t q , aequalis cono, siue coni porti ni a m e , similis tamen ipsi fn λ supra eandem basim consituatur c sidis obtusianguli
monstrabitur smiliter portio comidis obtusianguli o p q, α
qualis ipsi ab c portioni; O ess
pmilis ipsi se hi quod fecisse
oportebat. Et cum coni ad conum, uel cylindrum, uel ad coni uel cylindri portionem, uel ad sphaeram , uel sphaeroides, uel ad sphaerae, uel sphaeroidis , uel conoidis portionem, & horum omnium inter se se proportio data sit, tum ex iis, quae ab Euclide in elementis tradita sunt, tum ab Archimede ipso, & in hoc codem libro , & in eo, qui de sphaera , & cylindro inscribitur; manifestum est,quomodo possimus, dato cΟ-nO , uel cylindro , vel coni, uel cylindri portione, uel sphaera, uel sphaeroide, uel sphaerae, uel sphaeroidis, uel conoidis portione, inuenire aliud quodlibet uni alicuicorum aequale, alteri uero sui generis simile. P P O S I T I O V I I. Datum conum, siue coni portionem plano , quod sit basi eius aequid istans, sic secare, ut partes proportionem habeant eandem datae proportioni. Sit datus conus, uti re Ius, uel scale si uel coni portio abc, cuius basis sit circulus, uel statium contentum illipsi circa diametrum ac, axis bd: O sit data preportio, quam habet e ad soporteat autem a dato cono, uel a data coni portione abc , plano baseius aequiessanti partem absidere uersus b, quae ad reliquam Iaracm, eam proportioncm habeat, quam tabci e ad s.
237쪽
Secetur ab c plano per axem ducto: O sit sectio abe, triangulum: fiatq; ut utraque lineae,fad e, ita ac ad aliam lineam , quae sit g: inter ac, O g sumantur duae mediae proportion Ies hi , O ne ut sit sicut ac ad hi, ita bl ad n ,σ n ad s. Itaque constituatur conus, siue coni portis bU, similis ipsi ab e , cuius basis sit circulus , uel statium contentum et si circa diametrum hi, Oaxis h. . erit abe ad bU , ut linea ae ad lineam g, ex duodecima duodecimi et mentorum, O ex ηs quae monstraremus ad undecimam huius, pronositione nona. nam proportio ac ad g est tripla eius, quae est ac ad lat. abscindatur a linea b d tineu bo aequalis ipsi h uir
o per o ducatuar planum siecans abc, quidistansq; eius basi, quod faciat simonem p q. D co abc ferari eo plano, ut oportebat . est enim p b q, uel conus, uel coni portio simius ipsi a b e , ut monstratum est i nobis in principio huius; cuius quidem basis circulus, uel statium ellipsi comtentum circa diametrum pq, Oaxis bo. Pareo similis es ipse i h l. es igitur ut Lm ad h I, ita bo ad ρqi O permutando ut m ad bo, ita hi ad p q. sed cum hi aequatis bo ipse his aequalis erit σ pq ipsi hi: Opbq aequalis ipsi h l. ergo ab c ad pq b est ut tinea ac ad lineam hoc est, ut utraque linea e , ad erodraudendo excessus, quo a b c excedit pbq; hoe Ga pqe ad pbq, ut f ad e: demum conusitendo pbq ad apqc, ut e ad s. constat igitur a besecari plano quidistanti eius basi, esse partem abscissam uersus b, ad reliquam partem, ut ead si quod fecit, oportebat. v P O S I T I O VIII. Datum cylindrum, seu cylindri portionem plano , quod sit cis , quae ex opposito planis aequi distans ita secare , ut partes proportionem habeant eandem datae proportioni. Hoc facile factu est. si enim axem sicabimus in partes datam habentes proportionem: ct perpunecta sectionum plana ducemus, planis ex opposito aequidistantia: est Olindrum item, uel pomonem uiari secundum datam proportionem secabimus . monstratum nanque superius est ad κω
238쪽
decimam huius, proposivione tertia , t cylindrus, vel portio ostiari plano secetur quid anti eis, quae ex opposit optavis se tylinc iram a cylindrvm dcuportionem adportionem ut ouadax .
PROPOSITIO IX. Datum si lueroides plano, quod sit alteri dato plano aequidistans sic secare, u t partes proportionem habeant eandem datae proportioni. QV sthaeram nouit druidere in partes datam habentes proportionem, ex iis, quae siripta sunt ab Archimiae ito , eius interprete Eutorio in secundo de sthaera, O c)lindro, propositione quarta, idem ipse Osthaeroides catum eo, quo dcttim is modo, diuidere poterit. Sed ut omnia manifeste deprehcndantur: sit datum sthaeroides a b c d : data proponio, quam habet p ad x , quarum maior sit pedatum auit m planum, quod tangat Daeroides sit, cuius recta linea es: σoporteat ipsum diuidere plano aequid santi plano eg ; ita ut ponio, quae es versus d ad alteram portionem si, ut p ad sinuetur sthaeroides alicro plano scrocm ducto: sitq; smo abcd, eli psu, cuius diameter , Orais sitaresos fi d b, centihm L. I a1hreergo dathm eg , uel tangit ipsam sthaeroides in alicrutra pshctorum tei minantium ocre; hoc is in b vel d, uel alibi. tangat primum in b. perjicuum iam es , ipsum erectam esse superaacm bd. ponatur aut m bs aeqvalui kb : diuidatur in phncto b ; ita ut sit sh ad hb, ctit p ad s. diuidatur etiam bd mx, is si x ad 1 b, sistit quadrathm bd ad quadruvm dx. Id uero quomodo feri possi, docuit
Eatocius in tam Archimedis lochm scribens. Dimum per a ducat tir planum aequid sara planoeg, quod it m erectum erit si r bd πιιm, O si eius tracta linca axe. Dico planum illud ficare sphaeroides, ut oportebat; hoc es p6rtioni madc ad portioncm ab G se fictit p ad s.fat enim sicut utraque linea Lb,bx ad bx, se lae ad dae: sicut ausim utraque kd, dx ad diam rx adbx ro iutaentur al, ic , ar, re . erit lx ad xr; hoc es conus alc ad are conum, ut p ads: quod eodem in loco monstrauit Archimedes. Sta conus a l c aequalis G portioni sphaeroidis adc; are conus aequalis pρrtioni eiusAm a b c , ex corollario time a thrtia huius . portio igitur sphaeroidis ad c ad portionim ab c erit,ut p ad s. Si uero eg planum Eathm tangat sphaeroides in alio quovis FMLIo, ut in m dutatur Lm linea, rutrinque troducatur, qua sit nkm, secans est psim ex altera parte in ne i autem his ponatur aequalis mororursus diuidatur mo in q, ut
239쪽
nad quadratum ny r es per 3 ducatur planum quidistans plano ems, cisus resia linea a c. Dico planum illud cruderespiamides secundum proportionem datam; hoc est portionem a ne ad portionem a me esse, ut p ad s. sat emm sicut utraque linea Lm, my ad my, sic ty ad n 3 sicut autem utraque kn, ny ad n3, sic u 1 ad my: O iungantur at , te, au, uc. erat eadem ratione t3 ad 3u; hoc est coni portio a t c ad coni portionem a ue,ut p ad s. sed coni portio a te est aequalis portioni sphaeroidis ancro coni portis au caequalis portio phaeroidis a me , ex corollario ultimae huius. portio igitur Jlumidia a n c ad portionem a m e est, ut p ad s: quia fecisse oportebat.
P R O P:O S I T I O X. Datam conoidis rectanguli portionem plano basii eius aequidistanti ita diuidere,
ut partes propo rtionem habeant eandem data: proportioni. Sit data comidis rectangulι portis ab c ,sive abscissa plano super axem erecto, siue non erecto ;cuius basis sit circulus, uel spatium ellipsi contentum circa diametrum ac, craau bdi sit autem dura proportio, quam habet e ad D er oporteat plano basi quid stanti eam sic diuidere , ut pars, quae o uersus b ad alteram part m proportionem habeat , quam e ad D secetur conmissis portio plano per axem ducto Ost sectio ab e . erit ab c parabola, cuius diameter bd. fat ex utri siue lineis e , funea una, atquem ter hanc O lineum e sumatur media proportionalis, quae sit g. habebit e fad e proportionem duplam eius, quae
est ei ad g. quam uero Z oportist m avidis. habet es ad I, eandem habeat do ad quinti. partem ipsius bb: O per b ducatum planum quidistam basti, abscindensq; comidis portionem k b l ; cuius is
circulus, uel spatium contentum ellipsi circa diametrum hi, O axis bb. Dico comidis portionem abe fectam ese se plano, ut oportebat. producatur enim d b usque ad m ; ita ut sit d msessuialtera ipsius d b: atque ἁ linea bm. abscindatur b n, ut sit h n item fesquialtera ipsius h b.Intelligatur autem conus, siue coni portio a me, cuius bases eadem, qua portionis comissis a b c , axis dm: Osimiliter intelligatur conus, siue coni portio hni, cuius basis eadcm , quae portionis concidis hbl, axis bn: sitq; mo astitudo coni portisius a me. O npaltitudo portionis Dal. erit iam ex corollario uigesimae tertia O vigesime quarta huius conus, siue com portio a me, aequatis conoidis portioni ab c 1 conus, Demni portio h ni, aequalis portioni comidis Lbl. Itaque cum fit, ut es ad g, ita db ad bb: ut autem dbudbh, ita quadratum ad ad quadratum V1, ex uigesim primi conicorum i M a V . q quadratum
240쪽
νs 'quadratum a s ad quadratum his, ita quadratum ae ad quadratum V ; hoc es circulus circa α ' μ' ς me resin ac ad circulum circa diametrum L l, uel spatium elli se contentum circa diametrum a cad spatium contentum ellipsi circa diametrum V,ex corollario septimae huius: sunt num hae sectiones smiles; cum plana simi quidistantia: quod patet ex corollario decimae quintae. erit ut efad g, ita circulus circa diametrum ac ad circulum circa riametrum LI, uel spatium ellipsi circa diametrum ac contentum ad spatium contentum ellipsi circa diametrum V; soc est bos coni, vel coni portionis a m c ad basim coni, uel portionis coni vi I. R Frsus cum sit dm ad db , ut hn ad bbi erit permutando dm ad hn, ut d b ad b b. est autem db ad h b , ut e fadg. quare ut e fad g, sic dm ad bn; hoc es altitudo coni a me ad altiturinem coni Dil. Sed est dm axis portionis coni amc : Ohn axis portionis coni kII: O ut axis dm ad axem h n,sic altitudo mo ad altitia nem np, tropter similitudinem triangulorum d mo ,hnp. ergo O altitudo portionis conia me ad altitudinem portiolus coni Oilest, ut es adg. es autem coni a me ad conum knt, seu portionis coni amc ad portionem coni Ut l, proportio composita ex proportione basium, proportione altitudinum, ut superius es demGratum, quarum utraque eaedem sunt proportioni efad g. conus igitur a me ad conum Uri , tram portio a me ad coni portionem Oi l; hoc est portio comidis abe ad portionem comissis hbi, proportionem habet duplam eius, quae est Gadg; hoc est eam, quam habet es ad c : er diuidendo excessus, quo portio comidis abc excedit porti nem comissis si, uidelicet a V c ad portionem kb t eam habet, quam sade: Gr denique conuertendo portio comidis hos lata reliquam partem a Uc proportionem habet , quam e ad Is quod
fecisse oportebat. P RO P O S I T I O XI. A dato eono, uel cylindro, uel cylindri portione, uel sphaera, uel sphaeroide, uel
conoide rectangulo, plano, quod sit alteri dato plano aequidistans, partem absci dere aequalem, aut dato cono, aut cylindro ,aut sphaerae, aut sphaeroidi, aut horum cuiuslibet, aut conoidis portioni. Conos, O Olindros, seu cylindri portiones, a quiuus abscindenda pars est, hoc loco elusemori intelligemus, ut in infinitum produci poclint, qualia sunt comidea ipsa. Sit primum datus conus a be, cuius axis bd: O sit datum planum quomodocunque dusta,
cuius rilla linea e bi: oporteat eautem ab eo partem abscindere,
fit aequalis dato cono, aut est dro, aut sphaerae, aut phaeroidi,
aut horum cuiuslibet, aut cono
dis portioni, in qua g. Itaque dcono ab e , plano, cuius recta linea b c quidistanti in ebs,
conum, uel coni portionem abscindemus h b L, maiorem im hsog: O quam proportionem habet g ad excessιm, quo ipsium exceditur ab h bh, eundem habeati ad m . conum ergo , vel coni a portionem hb , plano basi aequi distanti, ex anted Iis ita secab mus, ut pars, quae est uersus bad reliquam partem proportionem habeat, quam I ad m. sit autem ea n b o. manifestum est ex nona quinti n bo aequalem esse ipsi g. O cum planum , cuius recta linea no, basiaequo distet, aequidstabit Oipsi eb D C erit a cono a b c , pars nbo, aequalis ipsi g, abscissa piam aequiristam ii dato plano. Sit datus olindrus, uel portis cylindri a p q e, cuius axis bd: O planumex superiori parte,