장음표시 사용
211쪽
ctas lineas duratur planum sicans conestis; quod quidem erectum erit ver axem b d: O faciet Rctionem circulum , cuius centrum o . quadratum igitur hb erit aequale rectangulo e b I: rectangulum e h f ad re tangulum ab e , ex decima septima tertii conicorum, eam habet propoditionem, quam quadratum ut ad quadratum t n: ob id quadratum kb ad rectangulum a beeandem habebit proportionem , quam qnadratum b t ad quadratum t n: similiter idem conti gere ostendetur, ales perpendicularibus Uectione ad a e, lineam demisis. Paresiectio erit conia cutiangulisiecti erus diameter ipsa linea a c. Si sphaeroides latum plano secetur, alia quidem eadem erunt, &c. J Eadem omnia Rctant in si mide lato, quae prius facta fuere in oblongo. monstrabitur plano per a c limam ducto , sectionem factam , eje coni acutianguli sectionem ro eius minorem diametrum essὸ lineam a e , Intrast roides contentam. nam rectangulum p qr ad rectangulum m qi eam habet proporti nem, quam quadratum b t ad quadratum n tr minus autem est rectangulum.m q ι rectangulo p q r; qMd linea , qt minor sit ipsa qr. quadratum igiturn t minus est quadrato b t. quare qua Data perpendicularium asectione ad ae, ductarum, maiora erunt rectangulis ab cro a cmιnor erit sectionis diameter, ut proponebatur.
I V. P ILO P O S I T I O M X U I. At in rectanguli coni sectione a quouis puncto eorum, quae in sectione&c. J
Sit rectanguli coviectio ,seu parabole abe, cuius diameter dbe : O siumptum bt in siectione quodvis punctum ID Er pers ducatur g fh, aequidistans diametro . Dico lineae Isb partem eam, quae est ὀ puncto f uersus sectionis uerti m. hoc est uersus
g, extra Iectionem cadere; qua autem est uersus b, cadere intra. catur enim linea tangens s ctionem in f puncto; quae coeat eum diametro in he per a ducatur a I m, aequidinans ipsi fh . secabitur iam linea a I mab ipsa I b, in partes aquales ex quadragesima siexta primi conicorum: O similiter omnes t neae per quo is sectionis punctia ductae eidem quidi fluvies .essicitur enim Enea D diameter retionis af m ex eorollario quinquagesimae primae primi conicorum . Quare necessarium o, i am n mira fectionem cadere, e fg extra: quod fuerat monstrandum. A LITER . Si linea f h non cadet intra sectionem; eadet extra: O g fh tangetfectionem in puncto f. quare ex vigesima quarta primi conicorum coibit cum diametro, quae iam posita est di metro aequissistans: quod fieri non potest . constat igitur uerum esse , quod proponebatur. Sectio erit obtusiianguli coni sectio eius autem diameter exit linea, auertice co- Bni in conoide ducta est. J Praemisit hoc Archimedes in duodecima huIus: O nos eodem in loco propositione prima, o exta demonstrauimus.
Sed in sectione coni obtusianguli si a quo uis puructo in sectione sumpto &e. JSit co cni obtusianguli siectio ,stu hyperbole ab c, curus quidem uertex sit b: est uertex coni continentis e Mides ,seu centrum sectionis, ut Apollunius uocat , sit d: a quo ducatur linea m quacunque sectionis partem libuerit: O ei aequid stans alia ducatur . Dico linea quidlantu partem eam, quae conuexarsucit sectionis, extra sectionem cadere; quae uero contraria, intra . Dum sit primum d din se Etionem per punctum b linea db e , quaerit diameterfectionu :sumptoq; quouis puncto fin ea, σpers ducta I f h linea , quid saviii id b e, cadet fiexrrasectionem; fh uero intra . nis enim
212쪽
ita sit: cadet f h extra comtinget sectionE in puncto f. quare Isb producta coibit cum diametro: quod es absurdum; posita enim fuerat diametra u distans . Quod si linea adducta transeat per aliud quodvisfectionis punctum, ut ter ks quae sit,d h l: ducemus lineam tangentemsectionem m. Dedi per a ipsi On quidlantem faciemus a n .secabit igitur linea d h. I l, Mam an bifariam, ex quadragesima septima primi conicarum . isset diameter sectionis a L n. siumpto autem quolibet puncto insectione, quod, o, ducatur ρ o q, aequidistans ipsi d
l. cadet iliter p o extra se Gionem; est o q intra; alioqui contingit ipsa p o sectionem inor O coibit tum diametra d lequod fieri nequit; erat enim ei aequidsum. quare manifeste constat propositum. D Quare sectionem faciet conisectionem. J Ex duodecima huius, et M , qua nos eo loco demonstrauimus , propositi prima, quarta, O quinta.
e . Alioquin ab eo puncto dacta perpendicularis super planum secans,cadet extra conisectionem. J Ita legendum, ut opinor, non intra coni festionem, codo etiam graecus ἐν ria habet, pro eo, quod es ἐκμι. 3 ostensum enim est intra cadere. J Postuum enim estis duodecima huius,sico Oitaminat sphaeroidum Durarum quaelibet plano secetur per axem: lineas ductas a punctu, qua in figurae superficie sunt , non in sectione ips, perpendiculares ad planum secans, intra figurae stationem cadare: quod edi nos iidem proposim tertia demonstratiamus.
Necesse est igitur idem esse planum ductum
per axem,& per utrunque contactum. J Sit sthaeroides ab ed, cuius axis acro sint duo plana uidistantia, quae id contingant, non erecta supera-aem es, ghr contingat autem es planum sphaeres-des in puncto brevghind. Dico unum, atque idem esse planum, quod per axem, O per utrunque conta-EIum ducitur; alioquin erunt duo plana super idem planum erecta, transeuntia per eandem lineam, qua super planum illud erecta non sit. planum enim peroem ductum, est percontactum b, erectum erit est super planum es, ex maemissa ; est' ex decima quamia undecimi Euc super planum gh, et aquidistans. Eadem quoque ratione planum ductum per axem, est' per d con tactum eri Atim erit super utrunque planum e f g h. quare duo plana ducta per eandem limam ; hoc es per ocm ac, quim super plana illa uidistantia non esse erectam ante post mus, erunt
213쪽
erecta super idem planum, uidelicet super es, aut super gh: quod fieri non potest. sequeretur rum ex eo trianguli duos angulos aequales esse duobus rectis. idem ergo planum erit, in quo G axis O- contactus ipsi habentur: quod fuerat demonstrandum. At si duae rectae lineae inter se aequid, stantes acutianguli coni sectionem co- tingant &c .l Monstrabitur H ex eleme tis conicis , non solum in ellipsi, sed O in circulo. Sit ellipsis, uel circulus ab: sintq; ed, ef rectae lineae aequidistantes, quae ellipsim, uel circulum contingant; e d quidem in punctoa; es autem in br Oiungantur puncita contactuum ducta a b. Dico a b per centrum
transire. nisi enim transeat per centrum: co
bunt Usa cd, es, ex uigesima septima fecunda. pollami: quod est absurdum; nam pomta sunt aequid antes. ergo a b per centrum transibit, atque in eadem recta linea erunt O centrum , O contactuum puncta: quod monstrare uolebamus.
IN PROPOSITIONEM XIX. Sit enim sectio sphaeroidis ab c d , cutianguli coni sectio. J Pon erit soctio ea semper coni acutianguli statio, uel et lipsis, sed quandoque circulus: cum scilicerplanum erectum sit super axem: quod ipse Archimedes postea innuit. Transibit igitur ea per centrum . Per ea , qua proxime ostendimus in ellipsi,
Constat lineas ductas il punctis a eaequidistantes ipsi b d contingere se
ctionem : & extra sphaeroides cadere. IQuoniam emm a e, bd diametri fiunt stati ms, uel principales, uel ex generatione :simpto in ea qnolibet alio punID m, O per mducta m n, aequidistanti b d , secabit a e irsam m n bifariam. ergo ex sexta secundi conicorum , quae sectionem contingit ad a punctum, aequidi stans est ipse m n. quare o ipsib d. quae igitur ab a ducta es aequissistans idis bd , contin ι ses ionem; Ohmiliterostendetur , quae ὰ e ducitur eidem bd aequid sans, sectionem contingere. sequitur ergo ut extra sphaeroides cadunt: quod erat ostem
od si planum aequi distans contingentibus planis non ducatur per Ce trum &c. J Ducta enim per h. quid stans ipse b d , cadet extra sinionem ad partes b, in quibus minor est portio; ad partes uero d, intra ; nanque eam diameter a e secabit bifariam, ex quadragesima septima primi conicorum. Quia si quis contendat, extra sectionem cadere omni nos tanget sectionem in coibit cum diametro b d , ex iugesima quinta eiusdem; quod est a surdum
214쪽
EFI AE L I 8. D E c O PLO I D. ET S P H AE R O I D. surdum i nam posita est eidem b d aequaristans. Eadem erit demonstratio, o in ipse circulo. I V P RVP O S I T I O RE M XXI.
Cadet eius superficies extra portionem, quia uel conoides est, uel sphaeroides, non maius dimidio sphaeroide. J Si quidem cousedes est: cadet superficies cylindri extra portionem eius, ex decima sexta huius. se uero est sphaeroides, ex decima nona idem continget. Erit tandem residuum minus proposita solida magnitudine . J Ex prima deci
Et a diuisionibus ducantur rectae lineae aequidistantes ipsi a c ad coni usque sectionem . J coibunt enim hae cum si tione ipsa, ex decima nona prim mmcorum. I PROPOSITIONEM XXII. Et quoniam positum est planum abscindens portionem non esse erectum super Mxem, sectio eri t acu tianguli coni sectio. J Ex decima quinta talus. Contingit hoc figuram in b. J Ex secunda parte deciniae septima huius. Et si quidem portio sit rectangulli conoidis Sc. J Secabit ea lineam a c in partes aquales, ex quadragesima sexta prim conicorum. Si uero conoidis obtusianguli: a uertice coni continentis conoides &c. J Et hoc quoque facto linea ac in partes aequales secabitur, ex quadragesima septima prima conicorum. Quod si spheroidis sit portio: linea a centro ducta ad b, intra portionem recipiatur b d. manifestum est &c. J Sic legendum, ut opinor. videmur enim in praeco codice des
derari haec . του κεντρου , ad hunc modum MIι σαπιναι Iaia άπὸ τοῦ κέν που ἐπὶ το β αχ' - ἐώθεια isequitur autem illud ex eadem quadragesima septim primi conicorum.
Fieri igitur potest , ut cylindrus inueniatur axem habens b d &c. J Ex decima huius.
Vsque ad coni sectionem. J cum enim avidi sent ipsi acto ipsi 3u aequid abunt. quare ex decima octaua primet conicorum, producta in utra que partem coibunt cum sectione.
Et erunt acutiangulorum conorum sessitiones similes ei, quae est circa diametruma c. J Ex corollario deci aequinta huius.
Erit igitur conus 2 dimidium totius cylindri: quoniam eiusdem coni est sesquialter. J Vana esitarus triplus est coni basim eandem, O aequalem altitudinem habentis: quod ipst Archimedes paulo ante posuit, O demonstrauit Euclides propositione decima duodecimi libri. Et quoniam circumscripta figura minus excedit inscriptam, quim portio cOnum : perspicuum est figuram i nscriptam cono a maiorem esse. J His enim siti flant
bus ,portio comitas ad conum Rhabebit maiorem proportionem, quum circv ripta figura ad inscriptam: O permutando per uigesimam septimam quivir Eurisius ex traditIone campam, Portio comissis ad circumscriptam figuram maiorem habebit, quam conus' ad inscriptam. Sed circά- scripta figura maior es portione comtidis. ergo O infima multo maior erit cono Primus autem cylindrus eorum , qui in toto tiunt cylindro axem habens d e ad primum cylindrum &c . J Qui enim eadem altitudine sunt estiari,proportionem habent eandem quam eorum basis. At uero quam proportionem habet circulus circa diametrum ac; hoc est basis primi cylindri eorum, qui sunt in toto cylindro, ad circulum circa diametrum V; ad basim mlicet primi cylindri, is figura insiriptorum, eandem habet quadratum diametri a e adquadratum diametri L . pariter quadratum semidiametri or ad quadratum simidiametri he. ergo lindrus ad cylindrum tandem habet proportionem , quam quadratum da ad quadratum Le. Haec autem eadem est ei, quam bd habet ad be. Ex uigesima primi conscorum. I t ei, quam da ad ex. J Ex arta sexti .ae angula enam sunt triangula bad. baee. Similiter ostendetur& secundus cylindrus eorum, qui sunt in toto cylindro &c.4 Per cadem crum, qua μις , ostencttur primus cylindrus , eorum, νι sunt in toto Glindro ad secundum
215쪽
eundum estiarum eorum, qui in figura in cripta , eam habere proportionem, quam habet ad adqs, cum fecundus olindrus eorum , qui sunt in toto obndro, aequatis sit primo; σφ1 e oste detur ad fecundum eorum, Fin figura inscripta, eandem habere proportionem, quam habet pe; hoc est ad ad qf. O ita deinceps in reliquis. Et omnes cylindri, qui in eo cylindro continentur, cuius basis est circulus circa s
strari possint esse maiores, quam dupli figurae inscriptae , cum non sint. 0lindri mn rue omnes in cylindro contenti, cuius axis est di, tantum abes, ut sint maiores, quam dupli insinpia figura, ut
Quod ut manifeste pateat, sit mysemidiameter bos tertii
cylindri, eorum, qui sunt in toto cylindro : est no semidiameter basis quarti Glindri r pars uero eius interiecIa
inter ab , b d sit ror quintiolitari basis semidiametero uir O3 i pars eius inter
easdem lineas intermedia: sexti uero estiari semidiameter
basii sit . b, O pars eius i termedia g b. primus igitur hcylindrus eo , qui in toto lindro continentur, em iam in
bens de ad primum csitata eorum, qui continentur in se Pgura portioni inscripta, cuius idem est axis, eam proporti nem habet,quam linea ad ad a. lineam x et O siecundus erlindrus eorum, qui sunt in toto olindro axem habens e fad secundum estiarum figurae instar ptae, cuius idem axis, eam habet proportionem, quam linea pe; hoc es ad ad qDo tertius cylindrus ad tertium eum habet , quam m ad ro: O item quartus ad quartum, quam no ad 3 i: Or intus similiter ad quintum, hoc est ad ultimum eorum, qui in figura inscripta, quum ui ad
sextus autem cylindrus, hoc est ultimus eorum, qui in toto sunt cylindro, non habet alium in gura inscripta, ad quem referatur; nec item linea . h habet lineum ei re ' dentem. hunt igitur quaedam magnitudines, sex uidelicet cylindri, qui in toto cylindro sunt, quorum unusquisque habet a xem aequalem ipsi de: e 'aliae item magnitudines, lineae, quae sunt semidiametri basium eorum lindrorum, numero illa aequales, indelicet ad, pe, ms,no,ui, Ob:σquam proportionem habent prius sumpta magnitia nes, eandem habent. posterius sumpta; quoniam cum sunt a quales inter sese, lineae item aequales: reserrunturq; E sex cylindris, quinque ad alios tuosdam lindros in figura inscripta contentos; extremus autem ad nullum resertur. O similiter e sex lincis,
quinque tantum referuntur ad quasdam alias lineus eisdem proportionibus; cum extrema non habeat, ad quam referatur. Quare ex secundu huius omnes cylindri, qui sunt in toto cylindro, ad omnes esindros in figura in cripta contentos, eam proportionem habent, quam omnes linea ad , ρ e, .mf, no, ut, φb ad omnes tineas xe, qL ro, 3 i, gh. At sex illae lineae cum lus quinque com parata ex prima huius, maiores sunt, quam dupla; nanque cum lineis se se aequaliter excedentitas , excelseu, qui sit qalis minimae , dempta maxima eurum, comparantur totidem LMa,-- anes m rima illarum aequales: quod sepatet. Quam enim proportionem habet bd ad be, eandrinhaerit ex quarta sexti a d ad xe: O quam habet be ad Ff, eandem habet xe ad qD 'quam
216쪽
vo: Oita de reliquis. sed cum linea b d, be, b Lbo,br,b h fest aequalia
ter excedant, Oexcelliusit acuatis minima ; hoc
aequaliter excedent, excessu mirum earum quali. ex quibus sequitur, Omnes cylindros, qui sunt in toto cylindro, Glindr rum in figura i scripta
se, quam duplos. quare et totus cylindrus, cuius axis
o b d erit maior, quam duplus figurae inscriptae; quod mostrare oportebat. E Quoniam igitur inscripta figura minor est portione: &iniciapta a circunascripta minus exceditur, qua portio a conor manifestum est, circumscriptam minorem esse a Cono. J Dιrsus cum ita sit: conus η ad portionem comissis , maiorem habet proportιon , quam rimcumscripta figura ad inscriptam; O permutando conus et ad circumscriptam figuram, maiorem habet, quam portio comissis ad inseriptam. sed inscripta figura minor est portione comadis . cι cu ripta igitur multo minor erit cono L Ergo & omnes cylindri, qui in toto cylindro sunt cuius axis d b ad omnes cyli dros in figura circumscripta contentos &c. J Haec omnia necessariam habent demonstra- ιιonem, exprima parte prima, o fecunda huius, Udem ,sicuti prius, dulositis; praeterquam quia hic utrobique aequales numero assumuntur magnitudines.c O RO L L V M. Ex his constat cuilibet portioni eonoidis rectanguli abstissae plano super axem Grecto, conum illum rectum esse aequalem, qui basim habeat candem portioni,& axe, qui ad axem portionis proportionem habeat sesquialteram. I PROPOSITIO, E M X X I I I I. Quae lineam ac bifariam secabit. J Ex quadragesima sextu primi cimicorum, ut etiam
B Sectio est aeutianguli eoni sectio.J Ex decima tertia huius.c Fieri potest, ut cylindrus inueniatur axem habens .in recta linea b d. J Ex d
D Fieri itidem potest, ut di conus inueniatur u licem habens b punctom Zec. J
217쪽
Tx nona huius. Et plana portionum pertingent ad superficiem portionis &c. J quoniam O lineae. per quas plana ducuntur ex utraque parte producta ad coni sectionem perueniunt, ut m vigesima secunda huius dictum G. Nam portiones aequalem habentes altitudinem adinvicem sunt sicuti bases.J Quo pmodo hoc monstretur, diximus in uvidecimam huius, proposimone secunda. Baies autem , quoniam similes acutiangulorum conorum inci iones sunt, eandem Gproportionem&c. J Ex septima huius . Eandem habet bd ad b e longitudine. J Corrigendus est hoc loco graecus codex, nam Hque habet δυνά- , pro eo, quod est sequitur autem Uex vigesima primi conicorum, quod parabolas a b c , in qua uertex b, diameter ex generatione fit ipsa bd. cco RO L L A RI V M. Colligitur etiam ex his, cuilibet portioni conoidis rectanguli abscissae plano non erecto super axein , coni portionem illam esse aequalem, quae basim habeat eandem.& axem axis portionis sesquialterum, qui cum diametris basis consimilibus aequales angulos contineat. Mi enim cono dis rectanguli portio ab cautus basis spatia coni acutiangulis tione circa diametrsia e sontentor , c axis bd. sitq; partιs com ab c ubasim habens eandem portioni, axem eundem . erit iam portiis considas portionu coni sis altera. producatur autem db usque ad e; ita. α ed siu sesqrualtera ipsius bd: intestigatur com ponis aec , cuius basis eadem portionibus di
218쪽
ess e conoidis portioni a b cisecetur enim com portis ae c plano per axem ductoro sit sectio triangulum aec: O per e ducatur linea es, aequid stans ipsi aera punito autem b pernia cularis ad lineam ac demittatur bg: O producatur
ab e rursu demittaturalia perpendicularis e Lada c. erunt iam triangula gbd, bbe similia. quare bb ad b e erit , ut Ib ad bd: O permutando, componendoq; bs ad b g, ut edad bd. sederate Vesquialtera ipsius b d. fefquialtera est igitur O hg; hoc est e Lipsius bg. super aequalibus autem basibus existentes toni portiones eandem inter se proportionem habent, quam altitudines; ut nos supra ostendimus ad undecimam burus, propositione quarta .eoni igitur portis aec sesquialtera es cons sortionis a b et nume Uiltitudo es portionis coni aec: O bs altitudo ipsius abc portionis. Quod cum sit oe cono dis portio auec sisequialtera portionis com a b c : erit aec portio aquatis portioni conoidas abcs ut dicebamus.
in quarta huius. Sed coni portio, cuius uertex l,&conus, cuius uertex b habent inter se proportionem compositam ex proportione basium , di proportione altitudinum. J Ex iis, quae nos osten rus ad undecimam buras, propositione octaua. Quare portio coni, cuius uertex l ad conum, cuius uertex b compositam habet
Proportionem ex ea, quam habet h a ad e h, & ex ea, quam i m ad b h. J Nam quod fit ex diametris sectinis e lacutiungiat ad quadratum e c eam proportionem halet, quam ha ad eb: quod sic patet. ducatin d pundis a aequidsans ipsi ι λ; quae sit an : O ab f ducatur f n aequidistans ipsi ec; quae coeat cum a n in pune Io nr mea autem fra secet ineam i Uno . erit altera diameter se imms coni acutianguli aequalis in ea se; ex decima tertia huius; cir erit se aequassis ipsi e c. nque D ad on est, is f Ad Da : componendo D adon, ut D ad O. sed a est dimidia ipsius D. rex Oon dimidia est ipsius f n. est on aequalis beι utraqueemma vatis ipse qa. lineae igitur se, ee, quarum dumidia sunt aequales, O ipsae aequales sunt i aequa-
es alteri diametro fiationis coni acutianguli, cuius maior diameter est D. habet autem eiusmodi sic tio ad circulum, cuius diameterest ce eam proportionem, quam rectangulum ex D ,c ead quadratum c e ια sexta talus ; hoc est . quam fa ad ce ; cum eandem altitudinem habeat: O quam earum di dia D ad e hi quod mon rare uolebamus.
Habeto, i m ad k I eam . quam q a ad a h. J Aequiangula enum sunt triangula ιm , a q . Earum autem proportionum, quae est a h ad a q eadem est ei. quae th ad Im. JOstensum ess supra , qa ad a L eam habere proportionem, quam lm ad th, quare Crinnuertendo a V qa habet eandem, quam thadl m. Perspicuum est igitur portionem coni, euius uerte xl aequalem esse cono, cuius
219쪽
uertex b. I concluditur ex ante dictis portionem c oni, cuius uerter est I, ad conum, euius uer rex b ,eam habere proportionem, quum habet I ad bb . nam utraque harum proportionum componitur ex Urim proportionibus ; ex ea scilicet, quam habet i ad i m ex ea, quam lm ad bla a Quθd cum I , b D sint aequales portio eoru , carus uertex t , o conus, cuius uertex b s saludes: O inop r portiones comidis aequales. portio enim, cuius uertex ι sesquialtera est pomtionis coni, ex antedictai portio uero, cuius uertex b ea vigesima tertia bruus, es etiam ipse coni sesquialtera.
Itaque comis, cuius axis b d ad conum, cuius axis h h proportionem habet Acompositam ex ea. quam habet ad ad ii e potestate,&ex ea, quam b d habet adbi, longitudine. J Nam circulus circa dumetrum ac ad circulum circa diametrum eis orti emtabat eam, quam quadratum a c. ad quadratum ess ex prima duodecimi: O propter quimuetiam eam, quum quadratum semidiametri ad ad quadratum semidiametiri he; hoc est, quamhabet ad ad h e potestare.
Quam uero proportionem habet a d ad Ii e potestate, eandem habet longitu- η dine b d ad b h. J Ex uigesima prima commmm . Haec autem eadem est ei, qualu d b quadratum habet ad quadratum h b. dira cuigorma tertia seras. I P RO P O S I T I o RE M XXVII. Et quae tripla lineae ad axem adiectae. J Linea ad axem adjecta est c ut se in pristi oscribit quae inter mur media inter uerticem comulti . O uerticem coni continentis concludes; hoc est, quae mi a Dpmbula, imita es transuersi lauris figura. Inferius eam, quae ex centro προι-lat una cum Apollonio. Et quoniam circumscripta figura nascriptam minus exeiait quam portio conum Ra. J Vndeboc sequatur, dactum est superius magesima tertia huius.
220쪽
IR L I F. D Ei c O RO I D., E 74Si P Π AE R O I D. D ' Et quoniam cylindrus, basim habens circulum circa diametrum a c, Se axem b d.JEx decinia duodecimi Euclidis. E Proportionibus non similiter ordinatis habebit dictus cylindrus ad a consi &e. Jcodex Graecus mendosus est, est fortasse ita restituendus, ut in decima tertia huius, te. ζωάrim e των λογων νων τον ια Te ν λέγον, σc. procedit autem haec demonstratio ex urgesima t. rtia quinti Euclidus. Nam quoniam Jundrus ad conum basim eandem habentem O eundem axem, eam
proportionem habet, quam Id ad , r: O conus ad conum habet eam, quam fd ad gd. ex aequati igitur cylindrus ad conum Thabebit eam, quam se adhν. ν Quod in omni obtusianguli coni sectione contingit. J Ita esse demonstrat Apollonius uigesima prima propositione primi conicorum. o Manifestum ergo est,& omnes cylindros, qui in toto cylindro sunt, ad cylindros, &c.J Ex secunda huius.11 ostensum est aute omnia spatia 9 ad illa omnia dempto maximo, &c.J Ex fecunda parto tertiae huius. ubi autem ingraeco codice impresso legitur δεικτέο δὲ, sordendum I. λικνα. δὲ ut etiam habent antiqui codices. i Maiorem habere proportionem, quam linea mx ad lineam utrisque aequalem;& dimidiae ipsius x; & tertiae parti m.J Hoc est maiorem, quam D ad b r. est enim fd aequalis ipsi mx: O hr aequalis dimissis x , O tertiaeparti ipsius m. x Quoniam igitur inscripta figura minor est portione,&c. J Vide qua scripsimusμ-pra in vigesimam tertiam huius.1 Ustensum est autem rursus omnia spatia 9 ad alia omnia minorem proporti nem, &c. J Exprima parte tertiae hujus.c O 'O L L A V M. Manifestum est ex modo demonstratis, cuilibet portioni conoidis obtusianguli abscissae plano super axem erecto, conum illum reditam esse aequalem, cuius basis sit eadem, & axis, qui ad axem portionis, proportionem habeat, quam utraque linea;&quae sit aequalis axi pprtio uis, & quae tripla lineae ad axem adiecte, habet ad linea utrique aequalem; axi portionis, di ei, quae sit dupla lineae ad axem adiectis.
I N 'P RO P O S I T IJO RE M XXVIII. A secinit eadem ratione bifariam ipsam a c.J Exiis, quae dicta sunt in vigesima secunda
huius. id uero monstrauit Apollonius quadragesima exta primi conicorum.
B Quod eo noides in b puncto continget.J Octenditur id in decimast tima huius.c Sectio erit acutianguli coni sectio, cuius diameter maior ea. J Ex decima quarta
D Cylindrum inuenire poterimus habentem axem in recta linea bd,&c. J Exd
E Rursus & conum inuenire poterimus uerticem habente punctum b, &c.J Ex nona. r Hoe inuento erit portio coni basim habens eandem dictis portionibus, ct axem eundem. J Graecus codex ita restituendus est, ut mihi uidetur. Ερεθμιιοῦν ἐ-- m. ora, . Via.
G Dico portionem conoidis cono E esse aequalem. J Et hoc loco , ut opinor, ita restituendus est, corrigendusq;graei us codex. e ι δὴ τὸ τε δεα του κωμωδεαι ἶσον δμιν τω ψ κώνω . εἰὼμ ἐειν πιν τοῦ τοῦ κω- δέει - Πλα -οῦ Mίνω τοῦ , εἰ λυανδε, μι μζοπ.H Bases autem cum similes acutiangulorum conorum sectiones sint 8cc. J Ingraeco codice desiderantur hac, - δἰ co ι --. seqvitur autem id ex corollario decima quinta huius ,
O ex si tima. I Quam uero proportionem quadratum a d habet ad quadratum k e, eandem habet rectangulum s d b ad rectangulum se b &e. J Ex uigesima primi conicorum, quod bd diameter sit sectionis com obtusianguli-bs traUuersum figurae latus. X Quoniam sd ducta est per li, in quo lineae,quae sunt sectioni proximae conueni ut. JIdem