장음표시 사용
201쪽
secanti per axem: recta linea erit ce d. sumatur praete a 3. dee. rea aliud quod uis punctum sin sectione cd: oe per fo axem rursus ducatur aliud planum secans,faciemq; sectionem fag. manifesum est fag quoque esse eandem illi, quae nurum describit; habereq; diametrum lineam abrer similiter lineam segrinam esse. Cum ergo sectiones ea d, fag, uni, Ocidem eaedem sint re
Inter se eaedem erunt; quarum eadem Sameter abro
exit c e aequalis ipsi se . sed est e d aequalis ipsi cer Oeg ipsi se . quare omnes inter sest Ium aequales te,se, e d, e g: θ' sunt in eodem plano . circulus igiture, lineacd, centrum habens in linea a b: quod fuerat
PROPOSITIO III. Si conoides, aut sphaeroides quodlibet secetur plano per axem: lineae ductae a punctis, quae in superficie figurae sunt, non tamen insectione ipsa, perpendicularescans, intra figure sectionem cadent. Sit comides, aut sphaeroides quodlibet: O siecetur plano per axem; curus sectio sit ab e: axis Rurae, O diameter fectionis sit bd. sumatur
autem in superficie eius quod uispuuctum ess terquam in ipsa sectione abc: γ ab eo ducatur tinea es perpendicularis ad planum secans. DAco es intra sectionem cadere; alioquin, aut cadet extra, aut in sectionem ipsam. cadat primum extra ,si fieri possit O per f ducatur aliud planum secans figuram , O super axem erectum, faciet id sectionem circulum, centrum habentem in axi, ubi punctum I. communis a tem sectis dictorum planorum sit recta linea ima L: ct a s attollatur g I perpendicularis ad idem planum secans per axem: atque per e ducatur
et aequissimus ipsi Io, erit O tI AEquidistans f ef ct idcirco e l aequalis ipsi j I. sed hI eum
sit semidiameter circutit maior est, quam e l; quod dupla ipsius h g maior, quam dupla e l. quare bI maior est, quam fg; pars, quam i tum : quod feri non potest. non igitur cadet efextra siectionem . Similiter quoque demonstru-bιmus, neque in ipsam sectionem cadere. namsi eadem omnia fiant, quae superius: sequitur et aequalem ipse ipse h g: quod item fieri mn p test: est enim bI cireuli semidiameter, O maior, quam et, ut d ctum G. cadet igitur intra sectionem: quod fuerat propositum. P RO P O S I T I O IIII. Si conoides parabolicum plano secetur mi aequi distanti: sectio erit parabole, eadem illi, quae figuram describit: diameter autem eius erit communis sectio planorum, eius , quod secat figuram; di eius, quod per axem ducitur erectum super planum secans.
202쪽
Secetur consides parabolicum plano, ut dictum est: secetur autem O altero plano per axem, eremsuper planum secans: O sit comides sectio ab c; quaerit parabole figuram describens, ex iis, quae supra monstrauimus: O eius diameter , axis concidis linea b de plani vero figuram siccantis sit recta linea e f. ostendendum est, sectionem comidis, quae fit plano circa es, esse parabolo, eandem ipse ab ero eius diametrum esse lineam es. Ducatur enim linea e g, tangens sectionem abe in punito e : alia ducatur bb, tangens in pu Iob, O secans lineam eg in h. intelligantur autem duo quaeuispuncta hi infectione circa es: c ab ipsis demittantur ad lineam e sperpendiaculares h m, in. erunt hae O perpendiculares ad planum, in quo est parabola a b c : quoniam cst planum secans erectum est super idem planum. Deinde per m ducamur duae lineae ; una quissim quidistans ipsi e g, quae sit Omp; altera uero qmrs, aeqvidistans ipsi h b: Osimiliter per n duaaliae lineae ducantur eisdem aquidi antes, videlicet inu ipsi e I aequiristam, O xn x ipsi h b. manifestum en ex quadrages sexta prim conicorum Apollonis, tineas op, tu bifariam secaria linea es in pu Elis m nroiccirco parabolas oeρ diametrum esse ipsam e f, ex corollario
praeterea perqs, .m rectas lineas ducatur planum. erit
hoc erectum superlineum bd, quaesaris comidis r etfaciet sectionem circu
G r. Oeodem modo per XL, In rectas lineas ducatur
aliud planum,quod item faciet se Ii
nem circulum, O gelus iatrum erit 3: si id rectangulum qms squale erit quadrato Lm: O rectangulum xn aequale quadrato in. Quoniam igitur o ep parabole G, cuius diameter e m : ducunturq; ordinatim ad diametrum Om,tn: erit ex uigesima primi conicorum linea me ad lineam en, ut quadratum tineae om ad quadratum linea tn: rectangulum autem Omp, hoc est quadratum om ad rectangulum qms, ex ea, quam praemisit ad quartam huius, O decima septima turtii conicorum, erit, ut quadratumeb ad quadratum hbro similiter quadratum in ad rectangulum X ng. quare quadratum omad rectangulum qms erit, ut quadratum in ad rectangulum x n Opermutando quadratum om ad quadratum in , ut rectangulumqms ad rectangulum aen sed quadratum L m mons tum est aequale rectangulo qms: O quadratum in aequale rectangula xn R. ergo quadratum οm ad quadratum in erit, ut quadratum On ad quadratum in. erat autem linea me adtineamen, ut quadratum om ad quadratum t n. linea igitur me ad lineum e n erit, ut quadratum
m ad quadratum I n. quare femoparabola erit ex uigesima primi conicorum: et eius diameter lineaef. Ahi indaturabes linea est, aequalis lineae br : linea e , aequalis ipsi by: et a punctis . ρ attollantur quidistantes ipsis mk, ni usque adfectionem circa es, quaesivi. σ,ρτ : deinde per π ducatur linea φ π χ, aequidistans ipsi h b: σμr ν; eidem aequidistans ducatur 4 ρω . erit quadratum σου aquale rectangulo φωχ: O quadratum τρ aequale ipsi 4ρω . rectangulum autem quale est quadrato qr, per ea, qua ostendimus ad quintam huius; O rectangulum aequale quadrato x 3. quadratum igitur σαν ess aequale quadrato q re quadratum τε quadrato Xy. quare crimea σπ linea q r; O linea τε ipsi x3 est aequalis . parabola igitur circa e L aequalisis, o eadem parabolae abc; hoc es ei, quae figuram describit: quod fuerat ostendendum.
203쪽
M Z I T ER, Iisdem manentibus, seu tisq; infectione circa es duobus quibuslibet punctis i , et demissis perpendicularibus On, inadipsam es, per m ducatur linea Ompq , uirisarat hbropon rnsi ducatur, eidem Musistans: similiters oper rectas lineas h m, osse operipsas inrt ducantur plana comides ferantia. erunt ea erecta super axem bd: O facient siectiones cim
quale erit quadrato Om: orni rectangulum aequale quadrato i n. praeterea in diametro siectionis
b d sumpta linea bu, aequali ipsi e mi sumpta b X, aquali en; atque i punctis uae ductis aequidistantibus ipsi h b lineis u3 xv, erit quadratum v y ad quadratum x ζ, ut ita primi
tinea ub ad lineam b x .sed cisi rectangulum Omq aequale sit quadrato uy, ut supra ostendamus; conicoruo rectangulum rnt aequale quadrato xx: erunt quadrata My, In aquatia : O item aequatia quadrata x x, i n. quare quadratum 4 m ad quadratum in erit, ut linea ub ad lineam b x, hoc est ut linea me adlineum e n. fectio ergo circa es parabola est, eadem parabola abe, qua figuram describit: quod proponebatur ostendendum. E E M M M. Si recta linea secetur in duobus punctis: sitq; recta ulum ex partibus unius sectionis aequale rectangulo ex partibus alterius: erunt ipse partes in ter se aequales: hoc est maior maiori, & minor minori aequalis erit. Sit recta linea a b, qua secetur in duobus punctis e d; ita ut rectangulam aeb aequale sit rectangulo adb. Dico lineam ae aequalem esse linea db: O cb ipsi a d. diuidatur ab bifariam
in puncta e . erit rectangulum ac buna cum quadrato e c aequale quadrato eb; ex quinta secundi : eadem ra
ergo a eb unci cum quadrato e c aquales rectangulo adb; quadrato der oedempto ex altera parte rectangulo ac b, O ex altera adb, et aequali,
ut positum est, relinquitur quadratum et aequale esse quadrato der O lineam et lineae de aqualem. quare cb aequalis est ipsi ad: O reliqua ac reliquae db aequalis: quod erat ostendendum. PROPOSITIO V. Si conoides hyperbolicum plano secetur, mi aequidistanti: sectio erit hyperbole, similis illi, quae figuram describit: diameter autem eius erit communis sectio planorum; & eius, quod figuram secat; & eius, quod per axem ducitur, erectum super planum secans. Secetur comides hyperbolicum plano, ut dictum est: secetur autem O altero plano per axem, erecto super planum secans toe sit comidissimo abe, quae erit Θperbole, uisuperius est demonstratum
204쪽
frutum: σ eius diameter, O axis comidis, recta bd: plani uero figuramsierantis fit i a linea ef endendum est,siinionem comidis factam plano circa e Lesse hyperbolen, smium ipsi aberesui ; diametrum esse lineam es. Sit hyperboles a b c rectum nurae latus M; O tranquersum bhro ducta linea bg producatur. Intelligatur autem in sectione circa e fatiquod punctum Datrue ab eo demittatur perpendicularis hi ad lineam es, quaciperpendicularis erit superpla min quo ab c sectio. Quam uero proportionem habet ei ad tueam habeat l . ad I productam ad punNum mi est ad im . erit rectangulum mi e aequale quadrato U. Rursus quam pr portionem habet ab ad bb, habeat mi ad inro iungantur nm: deinde a paulo e attollatur perpendicularis eo super planum, in quo sectio ab e Usead lineam n m. coibit enim cum ea in
eodem exiens plano, θ' quid flabit ipsi tm: proptereaq; ne ad eo erit, ut ni ad Im; hoc sui hb ad br. Duabus igitur datis rectis lineis, ter natis ad rectos angulos ne, eo, i rarimus ex quinquagesima tertia primi conicorum, in ipsa es coni sectionem dictam h perbolen in eodem plano; ita ut es diameter sit sectionis; uertex punctum e; eiusq; figura restum latus sit e os crtransiuersum en . Sit autem conus, cuius ipsa s sectio p q r: ε - eius axis qs. erit iam coni pq rsiatis; hoc est ipsa Dperbole inuenta, eadem stationi comidis circa es, factae ab eodem plano. punctum enim quod in sectione conoidis sumpsimus , in sectione quoque coni esse constat, ex duo decima primi conicorum: cum si quadratum V aequale rectangulo mi e . Intelligatur aliud punctum t in festione coni; O ab ipso perpenssicularis demittatur t u ad lineam es: producaturq;gdi am n m, ut coeat cum ea in puncto x .erit quadratum tu eadem ratione aquale αἱ Iangulo X u e. Ducatur praeterea per punctum l linea γη l . θ , aeqvidistans ipsi ab , O secans hyperboleuabe in punctis ζθ, diametrum in . , lineam h g prodillum in 1: γ item per ne ducantur aliae lineae , eidem quidi antes; per u quidem ipsa λμυνω , secans hyperbolen in μπ, riam trum in ν, ω by m λ: per e autem linea ρ eστ, sicans h perbolen in em, diametrum in er, Ohy in ρ: ab ipso demum puncto u attollatur linea perpendisularis super planum, in quo abc,
205쪽
ea rem sectioni creesdis in . t per lineas V, et θ ducatur planum secans concides: quodcumsit erectum super eius axem; faciet sectionem circulum. ducatur etiam per tineas φu, 4 π abud planum secans item consides. faciet O id stationem circulum: atque erit quadratum hi quale rectangula xt eo similiter quadratum u aequale si ι uis rectangulo. Monstrabiturunca iam dicta φ u aequalis esse ipsi ut . resiangulum erum 3. b. ut in subiecta figura apparet, excedit rectangulum λν b , rectangulo λ- , eo, quod fit ex bis O excessu, quo 1 η excedit λν, qui e cessus, breuitatis caussa, dicatur 3 λ . quadratum autem R. aequale es re tangulo 1 ηbet CP qu
dratum M ν x Iuale rectangulo λ ν b. ergo quadratum n. excedit quadratum μν, rutan - secundigulo λνη, ct eo, quod fit ex b. yλ. sed idem quadratum c. aequale es rectangulo R. ιθ; hoc es quadrato hi; hoc es rectangulo mi e , O quadrato i η: quadratum autem μ ν α-dem ratione aequale est rectangulo si uae; hoc est quadrato . u; o quadrato u ν. rectangulum igitur m l e una tum quadrato l . excedit quadratum φ u una cum quadrato uν, rectanguis
λνη, ω eo, quod fit ex b a ct 3 λ. Itaque
dempto ex altera parte quadrato la: Oex altera quadrato uν, ei aequialι, rectangulum mi e nihilominus excedet quadratum . u, eodem illo excessu.quare quadratum ou, rectangulum λνη undeum eo, quod fit ex b η ct 3 λ aequalia sunt re frangulo mi e . R Insus re tangulum m te, ut in secunda figura, excedit rectangulum x v e, rectaugulo min, σω, quod sit ex eu O excessu, quo mi excedit x u; qui celsus dicatur m x: O i
circo rectangula xue,m tu una cum eo, quod fit ex e n est m X aequalia sunt rectangulo mi e.
Quadratum igitur . u , rectangulum κνη una cum eo, quod fit ex b. O γλ sunt aequalia r
ctangulis xue,m tu una cum eo, quod fit ex eu , o m x: rectangulum autem λ una cum eo,
quod fit ex b . O γλ aequale est rectangulo m tu , ei, quod fit ex e u , mx, ut inferius arparebit. relinquitar igitur quadratum .u aquale esse re langula xue .sed erat quadratum t uaequale eidem re tangulo. ergo quadrata Ou, tu aqualia sunt: Oob id tineae .u, t u aquales fir ,1mmo uero una, atque eadem unca : O φ, τ unum, atque idem punctum.
Illud autem, quod diximus, facile monitrabitur , praemi suon nullis. Et prima rectangulum ex bσ O excessu, quo T. excedit λν; boco IA, aequale esse rectam gula ex - σαωisu, quo ρα excessit Ib. dicatur autem is excessus ν g. anque ut bo ad αρ, ita bb ad bs, ob strutitudinem triangulorum boρ ,hbgr ex docima nona quinti, reliquum ad reliquum, sicut totum ad totum; hoc est bo ad ν g, sicut , o ad σν. Ε Hem modo ostendemus νη adyλ esse, ut ba M. F. ut autem ba ad ν ρ, ita h. ad sy.
quare bν ad νῖ est, ut νη ad y A: ex decima sexta sexti rectangulum ex boo γλ aequalerectangula ex g O- νου quod fuit propositum. Deinde γλ aequalem esse ipsi m x. Ostensum est enim se ad γλ esse, ut ba ad . e similiter ostendetur ut ad mx,ut n I adlm. eum autem ni ad im sit , ut bb ad ba ; quod antea posuims; hoc est ut b a ad . 3: erit ulta mx, ut m ad yλr O permutando ut ut ad νου, sic mX ad y λ. sunt autem ut, aequales. aequales igitur sunt m x ,3 λ, ut dicebamus. Idem ostendetur et in reliquis em odi. Postrem m l excedere 3 a, eodem excessu, quo ρσ ipsam g b excedit. Etenim rectangulum mi e aequale est quadrato U; hoc est rectangulo gle: additoq; utrinque quadrato aequali; erit rectangulum mi e una cum quadrato e σ aequale re tangulo ςlθ una cum quadrato lu; hoc est aequale quadrato ζη. sed quadrato e σ aequale est rectangulum ρob, ex Oseeundi duodecιma primi conicorum roe eadem ratione quadrato ζου aequale rectangulum I. b. rectangula igitur m l e , b aequalia sunt resiangulo 1 . b. quare ablato eo, quod est commune utri μque; boc est rectangulo γ . st , O rectangulo ρσb, ut in figura apparet, reliquum reliquo aequale erit; hoc es rectangulum ex et oeexcessu, quo mi excedit I . , uidelicet my aequale rectau lo
206쪽
ex decima sexta sexti rectangulum ex mρ, I aequale est rectangulo ex my, yg. ergo mρ
dentι lemmate; iae es excessus, quo m l en dit ρ o aequalis excessui, quo 1 . excedit Ib: σexcessus, quo mi excedit F., excessui, quo ρσ . excedit g b. si enim ad lineam m l applicentur lineae I η, o,gb: excissus, quo mi excedit gb, qui sit m g , secatur in duobus punctis I ρ: est rectangulum m g aquale rectangulo myg. ex quo sequitur, quod ante proposuimus.
His aemonstratis constat rectangulum ex b σο ν λ aequale esse rectangulo ex ν η om .es enim m 3 aequalis ipsi ρ g.
Itaque cum m I u rectangulum, ut patet , aquale fit rectangulo λ una cum eo, quod fit ex νη, ω excessu, quo mi excedit λν ; hoc est mλ: αἱ Iangulum autem ex ν is, O m A aequale sit duobus rectangulis; rectangulo scilicet ex se OIA; O re Iangulo ex ν η my; ex prima se eundi ,secta nempe linea mλ in puncto I: rectangulum mi u excedit ipsum λ ν . rectangulum duobus rectangulis; rectangulo ex A; O rectangulo ex νη my. sed rectangulum Eutili ex bu O γλ eadem ratione es aequale tribus rectangulis, uidelicet rectangulo ex m. yλ; rectangulo ex σν 3λ; Oei, quod ex bo I A. Quorum primum 'uale est , immo idem primo, ex ante iuctis; tertium fecundo, ut monstrauims; medium uero, quod fit ex σν,3 λ aequale ei, quod fit ex eu, Om X. est erum σ ν aqualis ipsi e v, O mx ipsi γλ, ut etiam ostensium ιβ. rectangulum igitur mla excedit rectangulum λνη rectangulo, quod ex b η,7λ, dempto ex istis, quod N ex eu, m X. Quare eo utrinque addito , rectangulum mi u una cum rectangulo, quod ex eu , mx, excedit rectangulum λ , eo, quod fit ex bu , γλ. Vnia sequitur duo rectangula, scilicet rectam gulam λνου , O rectangulum ex b π,3 λ, aequalia esse duobus rectangulti; rectangulo relu; σrectangulo ex eu, mx , ut proponebatur. Idem continget cymatiis quibuslibet punctis .constat igitur eandem esse fectionem, coni, O condidis. quare sinio comidis hyperbole est, cuius diam
ter e L O smilis ipsi a b c , ex diFnitione, cum figurarum in laterasandem habeant proporti nem: quae ovi a demonstrasse oportebat. Ex iis, quae dicta sunt, colligi potest, latus transuersum sectionis circa ef excodere latus transuersum sectionis a b c , duplo lineae bo. puncto enim, in quo secant sese lineae gb, ns, ducta linea χ , aequidi flanti ipsi mi, monfrabitur eadem ratione excessum, quo mi excessit aequalem esse excessui, quo 1 η excedit gh .sed monstratum o mi excedere ρα, eodem illa excessu. cum ergo m l pariter excedat lineas 4χ, ρσ: erunt 4χ, ρ σάquales , o ob similitudinem triangulorum ρσb, 4χ n, aequales quoque o h ,χn. sunt autem Oi a b o ,χe aequales. quare linea en, hoc est latus transuersum sectionis circa es excedit lineam bh, latus transuersum sectionis ab c, lineis b σ, χe; hoc est duplo lineabo, ut dicebamus.
207쪽
P RO P O S I T I O VI. ISi eonoides hyperbolicum secetur plano ducto per uerticem coni continentis conoides sectio erit hyperbole, haud similis illi, quae figuram describit: & eius diameter erit communis lectio planorum; secantis scilicet figuram; & eius, quod per
axem ducitur, erectum super planum secans. secetur ramides hyperbolicum plano, ut dictum est: secetur autem, O altero plano, per axem ducto, erecto super planum secans: sitq; comidis festio a b c , que est hγperbola: O eius diameter , o axis comidis linea b de plani uero figuram secantis uel recta linea I e f; cum I sieuertex coni continentis comides. Dico sectionem comissis , q fit plano circa e s ducto, eo se perbolen, haud similem sections abc: O eius diametrum esse lineam e f. ducatur linea eb, tangens sectionem ab e in puncto e: O aba ducatur b , tangens in b, secansqi lineam e hin sumuntur autem in sectione circa es duo quaelibet puncta I m: Oabinis demittantur ι n, m operpendiculares adtineum eri qua O super planum, in quo ab c sectio, perpendicularci erunt: per n ducantur duae linea ;quarum una aequid stet ipsi e k, uidelicet ρ n q; altera vero rus
ter per o ducantur aliae duae in a , isdem x distantes, vide
x bifariam in punctis n o, exquadragesima septima primi conicorum : O erit sectionis p e qdiameter e n. producatur e gusique ad ρ; ita ut sit g ρ aequa-bs ipsi e g. erit e latus transeuersum sectionis p e q, ut elis
tur ex quinquagesima primi conicorum: O per lineas ri, inducatur planum . quod cum sit erecta super lineam b d axem conoidis , faciet sectionem circulum, curus centrum s: O itemper lineas 1., mo ducatur aliud planum . faciet id similiter si
ctionem circulum, cuius centia
erit quadratum in aquale rectangum rnt: O quadra tum mo aequale rectangulo γοπ. Itaque quoniam sectionis pe q diameter est e n; O latus transmosum eρ: ducunturq; ordinatim ad diametrum pn, uor quadratum p n ad quadratum uo, ex uigesima primi coin comm erit, ut rectangulum ρ ne ad rectangulum ρο e. sed rectangulum p nq, hoc est quadratum p n ad rectangulum rnt, ex decima fi ptima terti conicorum est, ut quadratum e had quadratum Oroelia rectangillum uox, hoc est quadratum uo ad rectangulum y o π , ut quadratum e ad quadratum Lb. quare quadratum pn ad rectangulnm rni est, ut quadratum uo ad rectangulum Io π: O permutando quadratumpn ad quadratum uo , ut rectangulum r n t ad rectangulum Iom. quorum rectangruorum rntestaeqitale quadrato In: O yos aequale quadrato mo . quadratum igitur p n ad quadratum uoest, ut quadratum in ad quadratum mo . O erat quadratum p n ad quadratum uo , ut recta gulum ρ ne ad rectangulum ρoe . quare quadratum in ad quadratum mo est: ut rectangulum ρne ad rectangulum ρoe : idcirco ex uigesima prima primi corucorum, sectio, quam facit pia
208쪽
num circa eLh1' inest; ei ; diameter efflatus transuersum e . Esse autem eam h perbolen d F lem illi, quae conoides dscribit; hoc est ipsi a b c , instrabitur hoc pacto. Susep rbolas a b c transeuersum latus lineu bσ; dupla scilicet ipsius bg: O secetur convides alio plano per e, ι aequiislaniti, O erecto super planum sicans per axem: sit autem eius recta lineae m. mrit ρ-ctio, qtiam facit , perbole, sim ipsi abc, ut supra monstrauimus: O crus diameter em: quae Meth amrt m υ: sitq; transiuersum latus e φ : per e ducatur linea eχ,eDid stans ipsi A sicans bd in . praeterea a puncto υ attollatur perpendicularis ud D per planum,in quo hyperbole abc, inquea catonem circa e τ .es itur ut quadratum in ad rectangulum en , ita semorus circa es rectum latus ad transiuersum , ex uige a prima prim covicorum : ex ea maut quadratum 4υ ad rectanguum e υ φ , ita sectionu circa em retrum latus ad transuersum. quadratum em in adrectangulum enρ habet proportionem compositam ex proportione in ad en , proportet: in ad n o pariter quadratum 4 υ ad rectangulum e u e proporti 2 quinti vem habet complitam ex proporticine ψ v. ad eu, O proportione do ad υ o. sed 4υ ad e
rum n e maior est ipsa eo: Oeρ maior ipsa e . quoniam cum ea maior sit XI, quae est aequalis dimissio laterutransuersi sectionis circa er; lac et dimissio e . , ut putet s ,q proxim: tr diitimus rerit dupla ipsius eg ce'eρ maior ipsa e e. Quadrattigitur 4 ὐ ad rectangulum e σε p nrtio, qua componitur ex maioribus proportion id, maior erit, quam pro reto qua . , φηρ. oet circo 'tionis circa em rectum latus ad transuresum mat rem habebitproportionem, qua infectionis circa e f. fectu; ergo circa es non est similissectiomam
ω eτ. quare neque similis es ipsi a b e: quod demonstrasse obrietis. P 'O P O S I T I O V I I. Si sph eroides quodlibet secetur plano axi aequidistanti: sectio erit ellipss, similis, quae ra destri bit: dia eter autem ipsisserit commimis sectio planorum;
eius, quod secat; &eritS, quod per axem ducitur, erectum super planum secans. , altero μὴ maxem ducto, erectoqim
o tius diametrum esse lineam es. ducatur bh tangens sectionem abe in puncto b: O li ,
item tacatur eb tangens in e , qua coeant in
b. Intelligatur praeterea aliquod punctum his siectione circa essumptum: O ab eo ducatur hi perpendicularis ad lineam e f. eritiam h l, O perpenssicularis super planum, in quo est ab e siectio. per i uero ducatur linea a m l n aequidistans ipsi b b: oe perrectas lineas a n, i, ducatur planum sicans Ihaeroides . quod erit erectum super lineam es quare o super lineam bd, ei aequid stantem: O faciet sectionem circulum, cruus centrum mi Ouscindo quadratum V aequale rit rectangulo a in . Sed rectangulum a In adrectangulum eis est, ut quadratnm b b ad
quadratum b c , ea decima septima tertη c mcorum . quare quadratum t ad rectata
tum eis erit . ut quadratum bb ad quadratum he. Iungantur b c: per e duratur linea aequirisam h be per fuero ducauraevidistans c b, qua cocant in o. erit triangulum eo simile triangulo b c b: O oe ad ef,M bbad
209쪽
h e. quadratum igitur hiad rectangulum etferit, ut FGratum o ead quadratum es simi ter quadrata Harum perpenicularium ab eademsectione ad e sductarum, ad ea, quae sunt ex ipsus es partibus rectangula, erunt At quadratu oe ad quadratum es. O suns oe,e1 lineae inaequa les, quoniam O inaequales bb, bc. manifestά est igitur ex uigesima pruna Drimi conicorum ius m disictionem esse e lapsim , alteram; diametrum ipsius esse lineam es; alteram uero aequalem ipsi eo . nam linea es bifariam freta in ρ, erit rectangulum spe; hoc est quadratum sp ad quadratum perpendicularis a puncto p educta usique adsectionem, quasi pa, ut quadratum se ad quadratum
e o. quare σlinea D ad lineam p q : O dupla ipsini I p. hoc est se ad duplam pq; hoc est adest
ram diametrum, ut linea fead tineam e o. altera igiturriameter aequalis es ipsi eo. b bdemonstrabitur autem similis et , qua figuram describit; hoc est siectioni a be, si intellexerimus planum aliud secansfiguram per axem, erectum itidem superplanum, in quo abe sectio, cuius recta lineaft b d. erit enim sectio ea, qua Iuram describit: O eadem-met ratione quadrata perpendicularium uectione ad b d lineum ductarum ad ea , qua fiunt ex ipsius bd partibus rectaneula etat, ut quadratumo e ad quadratum es. Quod cum ita sit, O quadrata diametrorum earum sectioni , ct diametri ipsa eandem se proportionem habebunt. undesimiles erunt ellipsis: quod fuerat demonstrandum. At uero si isthaeroides illantum plano ita feretur: erit linea e maior eius diameter; cum linea be maior sit, quambh. Contra uero eueniet in st rinde lato; nam bc minor erit, quambh. quarectus minor diameter, erit linea e LL R. PROPOS ITIO PLEM XI ι Media fit pro portionalis. J Videntur hic non nulla desiderari ingraeco codice, qualia fortasse haec sunt. - ται ι ν ; hoc est, ut nos restituimus, c potest aequale. Id enim demonstratum est.J Praemisit hoc Archimedes tanqua in conicis demonstratum; demonstravit autem Apollonius in tertio conicorum, propositione decima si tima. Ipsi uero n t aequalis est linea t mr quoniam α b r ipsi b m QEx trigesima quintam
Quoniam igitur similia sunt e al, t m b triangula&c.J Et hoc loco desiderantur aliqua
in hanc siententiam. τὸ ἀπὸ c φ κ καδει --γωνον-ὶ τὸ - τας α θ, εγ πιριν πινον, τον αὐTον ε ει Mγον ,-τὸ ἀπὸ τῶ ἀλ τετράγωνον ποτι τομο τας α γ: hoc est quadratum perpendI-cularis h hia rectantulum ab e habet eadem proportionem uam quadratum at ad quadratum a t.
Patet igitur sectionem esse acutianguli coni sectionem. J Ex uigesima prima pri
Et eius maiorem diametrum esse ac , minorem uero aequalem ipsi a l. JOppomtyerum a c minori angula: O iccirco maior est, quam a I. ostendetur autem minor diamerer aequalis linea a lea ratione, qua in praecedenti usi sumus.
Est autem linea bi minor ipset ne propterea quod &mt minor est ipsa inicumbm minor sit br. J Bt minor est ipsa m t . quoniam minori angulo opponitur, mi autem minores ipsa e n, ut monstrabimus. ergo b t multo minor est i a t n. Sed ipsam m t mrnorem esse in , . V m di patebit
210쪽
patebit, cum m b comperta fuerit minor , Pim b r. producatur enim linea b m usque ad O alta , ut , o sit transuersum latus sectionis a b e. Cr quoniam linea n m tangens sic tionem in puncto n , coit cum b om m. O ab v ordinatim ducta est nr ad diametrum rerit ex trigesimus ta primi corucorum, ut om ad mb,ria o r ad b r : permutando ut o m ad o r, ita b m ad b r .sed om noγ est ipsa o r. ergo Om best a b ν minor, O ex secundu sexti mi m nor ipsa i n: quod oportebat domonstrare. 6 dSimiliter perpendiculari existente n r in obtusianguli coni semone , diameter ipsius maior erit c l.J Ita legitur in codicibus omnibus , quo uidi, sed mendose, ut opinor; nemque enim quid his uerbis significetur, satis possum intelligere. FRANCiscvs MAvR L I C v s Messenenses uir omm doctrina, atque optimarum artium studi s eruditismus, O in Mathematicis ita exercitatus, ut his temporibus Archimedes alter iure optimo dicipossit, arbitratur corollarium quoddam esse, quanquam mutilum, ac deprauatum. is enim in quibusdam ad me humani mis, ac doctissimis literis ita stribit. Illud uero, quod in me decima quartaepropositionis te anxium reddit, corollarium quodum est ,sed mutilum, ac mendosum: ita uero corrigendum est .si agatur per a punctum recta a I, parallelus ipse b italemq; per c punctum recta e I, parallelus ipse n b ; quae paralleli concumrant apud I punctum , ut scilicet propter aequi distariam linearum, triangulum c a I triangulo n t bsmile fat. tunc cut e a es maior diameter facta a secante plano ellipsis, ita O a l erit minor eiusdem diameter: quod facile sendi potest in praecedenti δε- cima tertia propositione feri ρ tuisset is parabola. nam propterdictorum triangulorumsimilitudinem , linea e a ad lineam at G ,sicut linea n t ad lineum ib. fuit autem sicut ni ad t b, ce had h puncto b per aequa sacante ipsam ea 2 : O pnrinde e tota ,e a ad duplam inus 13 h; hoc
est diametros maior ad minorem . eandem igitur ratιonem habet linea e a ad diametrum minorem,
crada l. igitura I aequalis G diametro minori ellipsis, sicut infert corollarium. Haec Mauroticus, qua adeo quadrati ad hunc locum , ut non aliter ipse Archimedes siri isse Meripsssit; alioqQ mancam quodammodo, atque imperfectam eorum silentiam, tradidisset.
similiterus, quae a te tradita sunt, ostendentur qua
drata perpedicularium, c. J Inteli Satur enim psi
a e lineam per pedicularis demittatur b; . I o quae etiam per penicularis
erit super plaxum , m qnos ab esu : τ b xero ducatur e fad angulos rectos ipsi b d Oper es, b i