장음표시 사용
221쪽
Idem est , ae si dixisset. Quoniam se Octa est per uerticem coni continentis comides. in eo mconue ια linea quas Ambimedes Me .Hι--ο-ι, hoc est proximas steti appellat. Apοι lonias autem τλά-μαῖω- is τοιῶ, id est, non coeuntes cum sectione, ut in principio diximus.
Manifestum est etiam ex iam dictis, de iis, quae nos supra monstrauimus ad finem vigesimae quartae huius, cuilibet portioni co-noidis obtusianguli abscisse plano super axem non recto, coni portionem illam elub aequalem, cuiusbasis sit eadem, & axis cum diametris basis aequales angulos continens, qui ad axem portionis eadem proportionem habeat, quam habet linea utrisque aequam lis ;axi portionis, & triplae eius, quae ad axem adiecta est, ad lineam utrisque aequalent; axi portionis, delineae, quae sit dupla lineae ad axem adlectae.
si M XXIX. Latitudinem habens una parte maiorem, quamst latitudo gnomonis proxime ablati. J codex graecus hoc loco ita currumos est inia
Quare &quam rectangulum b lid ad rectangulum bed. J Ex uigesima primae pri q
. Hoc enim in iis, quae de spiralibus lineis edulimus , demonstratum est. J In corolla- Vrio rutiluet decima propositioms.c O RO L L, A RI V M. : Ex iis, quae superius demonstrata sunt constat, quodlibet sphaeroides duplum es .
se coni illius recti, qui basim quidem habeat circulum circa sphaeroidis diametrum , axem uero axi sphaeroidis a qualem. Et insuper cylindrum rectum, qui basim habeat eandem dicto cono ,& axem eundem , ipsius sphaeroidis esse sesquialterum. Is naurue Jlindrus triplus est coni; sphaerordes autem eiusdem com es duplum, ut duimus, ex
quo sequitur Olindrum s amissis sesquialterum esse. I 2 P RO P O S I T I O E M X X X. Quaeq; ipsa b d iungit recta linea per li transibit; Sc erunt portionum uertices
222쪽
b d ; axes uero bli,hd. J Ex decima octavi huius. β Et portio cylindri basim habens eandem portioni ,& axem eundem. J Codex grae
c O RO L L A RI V M. Ex iam dictis similiter manifestum est, quodlibet sphaeroides duplum quoque
esse coni portionis, quae sphaeroide ipso secto plano per centrum transeunte,non autem super axem erecto, basim habeat eandem portioni sphaeroidis , Naxem aequa- Iem lineae portionum sphaeroidis uertices iungenti,qui cum diametris balis aequales angulos contineat. Et cylindri item portionem,quae basim habeat eandem coni poctioni iam dictae, & axem eundem, esse etiam ipsius sphaeroidis sesquialteram. enim Olindri portio , portionis coni tripla: sthaeroides duplam eiusdem . ex quibus paret propositum.
I PROPOSITIO REM XXX I. A Et quoniam bg tripla est ipsus bh:& bd item tripla ipsius br: erit & dg ipsiushr tripla.J Ex decima nona quinti Euclidis . nam si fuerit sicut totum ad totum,sic ablatum ad ablatum: O reliquum ad reliquum erit, sicut totum ad totum. B Quare proportionibus non similiter ordinatis cilindrus, cuius basis eadem portioni, & idem axis ad conum ae eam proportionem habebit, quam ds ad lir. J Ex vigesima tertia quinti, ut dia imus in ut1chmam septimam huius.c Erit ergo unaquaeque no dupla ipsius h d. J Sit erum ipsi bd aequalis m. quoniam bb o quatis ipsi hs: erit cy reliqua m h reliqua b d aequatis; O propterea m d; hoc es on dupla inius h d.
D Manifestum est, omnia spatia , quorum unumquodque maximo est aequale ad alia omnia minorem habere proportionem, quam x n ad lineam &c. J Ex tertia huius. E Quare constat spatia eadem ad omnes gnomones maiorem proportionem habere , quim x n ad lineam &c. J Vam si a linea n X auferamus dimidiam no, est tertiam parrem xo: relinquentur omissia no, OV ea tertia i us x o.
I P RO P O S I T I O PLE M XXXII. A Et erunt uertices portionum coniuncti ducta linea bs.' Et ipsam lineam bf. Ollonius uocat ellipsis diametrum ex generatione . quare, quam Archimedes sthaeroidis portionum uertices ιungentem appellat, liccat nobis deinceps breuitatis caussa oesthaeroidis axem appellare.
TR OPOPITIO V. EM X, X X I I I. A Dicta autem portio dupla est coni basim habentis ipsi eandem, & axem eundem;
haec iam demonstrata sunt. J In vigesima nona huius. B At uero hic conus ad conum habente pro basi circulum circa diametrum a c &cd Ex undecima huius, nam circuli inter sese eandem proportionem habent, quam quadrata diame-rrorum t O quam irem quadrata sie diametrorum. C Proportio autem,quam liabet quadratum k h ad quadratum ea, eadem est illi &c.JExule ma prima primi conicorum Apollonu. D Habebit igitur rectangulum contentum x d, bli ad rectangulum b h d eam proportionem , quam di, ad de .J Cum enim pintum sit xd ad b d habere eam proportionem, quam db ad d e: rectangulum aero contentum lineis xd,bh ad rectangulum bhd, ea prima sexti ha at
223쪽
. C O M M E N T I I U S. uti habeat eum, quam x d ad b de habebit res angulum x d, bb ad ipsum b bd eam, quum d h ad de . Eam proportionem liabet, quam rectangulum b e d ad re tangulum se di hoc est Equam be ad es. J Ex prima sexti Euclidis . , Conus igitur, qui est in dimidio sphaeroide &c. J Per aequam rationem ex uigesima Ffecunda quinti. Vtrunque enim quadruplum est. J Ex prima stati. nam linea si quadrupla est lia Gneae bb. Quare &maior portio sphaeroidis ad minorem eam habet, quam excessus, quo Hrectangulum fg, x d , excedit rectangulum fed. J Ter diuisam rationem ex decima septima quιαι. maior enim portio sphaeroidus est exce)bus, quo totum excedit portioncm minorem. Rectangulum autem fg, x d ipsum sed excedit, rectangulo xd, eg;& rectangu IIof ex J Nam restantissum fg,x d; ex prima secundi elementorum. aequale est duobus a Iangulis; QIangulo scilicet eg, x d, or tangulo se, x d. At ucro res angulum se, xd, eadem , aequale est item duobus restinguiu ; rutangulo uidelicet sexi O MI angulo sed .rmangulum igitur is, xd aequale est tribus res tangula. restangulo es, xd , langulo sex; infe d. quare resiangulum fg,xd excedit in angudum fed, duobus rectangulis: res languis sciliceteg,xd ; O restangulo sex , ut proponebatur.
Quam rectangulum sed ad rectangulum b e d; habet enim eam,quam f eadbe. 4 Κcorrigendus boc loco graecus codex.
Et conus, qui est in minori portione, ad conum, qui in maiori eam habet, quam Lrectangulum b e d ad quadratum b e. nam coni altitudinum proportionem habent,
cum in eadem sint basi. J Ex decimae quartae undecum Lucticis . conus enim in minori portione constri utus ad conum, qui in maiori, eum habet proportionem, quam de ad b e. quam autem proportionem lubet de ad be, eandem iniangulum deb habet ad quadratum b e; ex lemmate uix sima hecundae decimi Euclidis . quare conus, qui in minori portione , ad conum, qui in maiora habet eam, quam inrangulum deb ad quadratum be.
Quoniam reliangulum x d, e g ad rectangulum x d e eam habet, quam e g ad c Md. J Ex prima sexti.
Et rectangulum se x ad rectangulum seli eam,quam eg ad ed. habet enim x ead . iii e proportionem eandem, quam e g ad ed &c. J Rectangulum enim sex ad re langulum feb habet eam proportionem, quam x e ad h e. O quoniam es ut x d ad bd, ita b d adde: i. sexti. erit ex decima nona quinti xh ad b e , ut xd ad h d umc es m bd ad de: est coniungendo xe adhe, ut hd O de; hoc G ut eg ad de . res angulum igitur se xad QIangulum se hiabet eum
Quoniam quadratum b h est aequale rectangulo x d e. J Nam cum si it tres lineae pro- ο portionales xd, bd , de , ut dictum es; sitq; bla aequalis ipsi h d: erit qκadratum b b aequale ei, tr. sexti. quod fit in x, de . Et excessus, quo quadratum b e ex cedit quadratum b h, est aequalis rectangulo Pseli; quod b h, b f sunt aequales. J Ex sexta secundi Euclidis .c O R O L L A RI V M. Ex hac, S trigesima prima colligitur , cuilibet portioni sphaeroidis, secti plano
super axem erecto, non autem per centrum transeunte , conum illum rectum esse
aequalem, qui basim habeat eandem portioni,& exem, lineam habentem ad axem Portionis proportionem eam, quam utraque linea; dimidia aris sphaeroidis, & xis reliquaeportionis habet ad reliquae portionis axem.
axem erecto, neque centrum transeunte, coni portionem illam esse aequalem, cuius
224쪽
basis eadem portioni & axis eum diametris basis aequales angulos continens, qui ad axem portionis eam proportionem habeat, quam habet utraque linea ἐ& dimidia eius, quae iungit uertices portionum factarum ,&axis reliquae portionis ad eumdem reliquae portionis axem. His igitur positis nos augendae, amplificandaeq; doctrinae gratia, nonnulla theorema aet pria addemus 2 re non aliena; quorum cognitionem, neque in Mil prorsus , neque studiosis tum fore istimavimus.
P 'o P O S I T I O I. Sphaeroidea similia inter se se, & portiones sphaeroideon similes,o pariter eonoia
deon, triplam eius, quae est suorum axim proportionem habent. Sinisthaeroidea similia; abed quidem, cuius aras bd, centrum e ; fgh uero, cuius axisgh, centrum l. Dico
sphaeroides ab c d ad sthaeroides O b L proportionem habe , re triplam eius, quae ea aris b d ad axem g h. .secetur enim forum utrimque plano per centrum ducto, O erecto super axem roe sit statio sphaeroidis a b c d , linea a et sphaeroidis autem fgh L, linea fh. erit ex uigesima nona linius portis sthaeroiissis ab e dupla covi, qui basim habet portioni eandem , O eundem axem; hoc est conia b ci e simuler portio sphaeroiis. quinti. EVI h dupla erit coni fib. quare a b c portio ad porti nem fgh babet eam proportionem , quam conus a b e ad conum fg h: er eorum dupla ; hoc est conrides ab c d ad c noides fgh . habet eam, quam conus rectus, cuius basis ac, raris bd, ad conum ei modi basim habentem D, Oaxem s L. QΘod cum liares a similia sint; erum ipsi
ra.duode. coni similes: Ohabebit conus ad conum proportionem tr Apiam eius, quae est diametri basis a e ad diametrum basiis fh. haec autem eadem est proportioni axis bd ad axem g h. concides igitur ab ed ad conoides fgh triplam proporti nem habet eius, quae es bd axis adaxem I , Sint portiones lybaeroideon similes; O sint primum ab scissa piam per centrum ducto, O super axem erecto; cu- nodi sunt in priori distotione, portiones abc, fgh a iduntur enim fmiles portiones a figuris similibus, quod ex ea rum di itione apparet. Dico D rtionem ab e ad irsam fgh proportionem habere triplam eius, qua est axube ad axem II. monstratum nanque anica est portionem ab c ad portionem lab esse .sicut contis ab e ad conum fgh. qui conicum similes sint . habent inter se si proportionem triplum eius, quae es diametri bos ae ad diametrum basis H; hoc est axis be ad em g t. quare er portis abe ad portionem fgh habet proportionem triplam eius , quae est axis be ad axem χι. t portiones Damiciora similes, abscissae plano per centrum quidem ducto, non autem ere . cto super em; a b c , cuius axis bd; eis, cuius axis D. Dico portionem sthaeroidis abe, ad in m eis habere proportionem triplum eius, quae est axis b d ad axem 1 h. es enim portiost mi is abc, ex trigesima huius, dupla portionis coni ab c : O portio obaeroidis eis item dupla portionis coni eis. Quare 'haeroidis portis ad portionem sthaeroidis o , ut coni portio ad pomtionem coni. sita com portio a b c ad coni portioncm en proportionem habet triplam eius, qua est iamriri basis ac ad diametrum basis es, si retondentem, ut nos monstravimus ad undecimam Dius, propositisue p. haec autem eadem est proportioni axis bd ad axem fbax dimitione similium coriportionum quaseupra attulimus erra Osthaeroidis portis abc ad sthaeroidis portio Ea ela
225쪽
fg b portiones iles, absillsae plano
non per centrum ducta , sed erino super axem, quae sint maiores Amudio sybaeroide; a b c quidem uius axis , seis uero , cuius axis I l. Dico portionem abe ad portionem e fg pro mtionem habere triplam eius, quae es axis b had axem 1 l. Sint siphaeroideon centra mn: producuntur bd, Dro adduntur utrinque lineae aequales dimidio axis; ad ipsam quidem b d , t neae bo ,dρ, aequales b mr ad ipsum
uero fh ipsae f q, br, aequales D. habebit iam portio 1'haeroidis ab cadeonum ab c proportionem eamquam
linea his ad lineam hd , ex trigesima
tertia talus roe eadem ratione portio
sphaeroidis ela ad conum ela proportionem habebit, quam linea trad sin am tb. Sed linea is ad lineam ho est, ut linea trad Deum t hi quod sic patet. secentur sthaeroidea abcd, elah plano ducto per axem. fient stati
nes, ellipses similes inter se se; quὀdsthaeroidea similia sint erit ellipsis ab c d diameter bd: O ipsius e fibdiameter D. ducuntur secundae diametri s mi , unx . quadratum igitur sm ad quadratum b m eam habet proin portionem, quam quadratum un ad quadratum 1 n. ut autem quadratum sm ad quadratum b m, ita quadratum a L. ad rectangulum bhd: exu gesima prima primi conicorum ;Ocadem ratione, ni quadratum unad quadratum ID, ita quadratum et ad rectangulum fib. ergo quadratum a L ad rectangulum b d eam habet proportionem, quam quadratum et ad rectangulum H b. sed proportio quadrati a Lad re Iaugulum b d composita est ex proportione a Lad b , O ex proportione a D ad k d. O itidem proportio quadrati et ad rectangulum flh composita est ex proportione et ad n , O et ad I b. quarum proponi num, quae est a L ad b c eadem est proportioni ei ad fricum similes raportiones. reliqua igitur proportio a Lad V eade est reliquae elud th. ex quo sequitur. portlan 'haeroidua de similem esse portimiebg. Et quoniam b had a hesi, ut si ad e l: O a Ud cd , ut e lia ibi erit ex aequati b had h
226쪽
dis a b c ad conum ab ceandem habet proportioncm , quam ortio sth. roidis e fi ad conum e fg: Opermutando portio
ad portionem eam habet, quam conus ad conum. sed conus ad conum proportionem habet tripla eius, quae
est diametri basis a c ad diametrum basis ear hoces eius,quae o arisb L ad axem s l. portio igitur abc ad portionem ess proportionem habet triplam eius, quae est axis b ad axem l. Iisdem manentibus O portiones lyhaeroideon similes ad e, ehg, qua sunt minores dimidiosthaeroide Abebunt inter se proportionem tripla eius, quae est suorum axium; hoc est axis stad axem l b.monstrabitur enim eade ratione, lineam h o ad lineam h besse, ut linea
I qad lineam l f quare ex trigesima prima huius, portio a d c ad conum a d c erit, ut portis e hgad conά ebg: ct permutando portio ad portionem, ut conus ad conum . sed cum contra ad conum triplam habeat proporti nem eius, quae G diametri basis a e ad diametrum basis eg; hoc est axis L d ad axem l hi habebit portio a d e ad portionem ebg triplam eius, quae est d adib. Sint denique spharoideon ab e d, e labportiones similes ,abscissa plano, neque pocentrum ducto, neque erecto super axem,
quae sint maiores dimidio sthaeroide; ab equidem , axem habens bH e si autem axem habens 1 l. Dico portionem a b c ad porti nem efg triplam propoletionem habere eius,
qua est axis b L ad axem si . simi sphaera
deon centra m , n : O producantur, ut superius, lineae bd, sh; ita ut simi bo,dpaequales dimidis lineae b d: O f q , br aequales dimidio fh. erit ex ultima huius, portio sphaeroidis ab e ad portionem coni abe, ut linea
p adlineam had: similiter portio βω- εraiis e fg ad coni portionem e fg, ut lineal rad tineam th. Sed cum linea kρ adta am kd si, ut linea ir ad ipsam th; quodeodem , quo scperius modo demorabimus;
227쪽
erit portio sphaeroidis abe ad portionem coni abc, ut portio sphaeroidis ela ad coni portionem e fg : O idcirco portio sphaeroidis ad sphaeroidis portionem, ut coui portio ad coni portionem. portionis autem com ad coni portionem proportio tripla es eius , quae est axu ad axem. ergo portionis sthaemissis abe ad portionem bismidis ela proportio tripla est eius, quae axis b ad axem s l. Et similiter demonstrabimus portiones sphaeroideon similes ad e, e h g minores dimidis sph miti proportionem habere triplam eius, quae est suorum axium 4 d, I h. qua omnia demou-strasse oportebat. Sint portiones comideon rectangulorum similes, siue abscissae plano superaxem erecto, siuemnerem; abc , cuius axis bd; erela, cuius axis ib. Dico portionem ab c ad portionem e fgproportionem habere triplam eius, quae est bd ad fb. Erit nanque ex uigesima tertia , O uige ma quarta huius, portio comidis abc fiesquialtera coni, seu portionis com ab c : Oportio comidis ela itemsesequialtera coni , seu coni portiorus ela. quare portio conor dis ad conoidis portionem ea proportionem habet, quam conus ad conum , seu coni portio ad coni portionem; γ propter a triplam
habet eius, quae est axis bd ad axem D. Sint rursus portiones consideon obtusiangulorum similes, uel abscissae plano super axem erecto, uel non erecto ; a b equidem, cuius axis bd; est uero, cuius axis ib. Dico portionem ab c adprotionem rex proportiouem habere triplam eius, quae est bd ad I b. adiiciatur ad lineam bd produr iam, linea b , quae sit aequalis triplae lineae ad axem ad Mae: sit autem bl aequalis duplae eiusta: ad lineam ID adi Diatur linea se, aequalis triplae lineae ad axem adiectae r sit se, aequalis e
228쪽
pla eiusdem. habebit ex vigesima septima, O vigesima octaua huius, pomo comissis a b c ad c num, seu portionem coni ab c eam proporticnem, quam habet linea O ad lineum id. oe similiter portio comissis efg ad conum, seu com porrionem efg habebit eam, quam linea m h ad irimam n b. sed Gad id habet eandem , quam mb ad n h, ob similitudinem portionum, ut monstrabitur . secentur enim comidea plano per axem ducto. erunt sectiones, sperbolarum porri nes similes, a similibus sperbolis abscisse . O quoniam similium perbolarum latcra figura eandem habent inter se proportionem : eiq; quadratum ad adria Iungulum bdi, ut figurae rectum latus adtra iseueritum , ex uigesima prima primi conicorum: O ita quadratum eb adret angulum fhn, ut figurae rectum latus adtransuersum: habebit quadratum ad ad rectangulum bdi eandem proportionem, quam quadratum eb ad rectangulum fh n. Sed quadrati ad ad rectangulum bdi proportio composita est ex proportione a d ad bd, ex proportione ad addLOsi literproportio quadratι eb ad rectangulum Ion composita es ex proportione eb ad sh; O eh ad bn. quarum proportionum ea, qua es ad ad bd, eadem est proportioni eb ad sh; qu)d portiones miles sint . reliqua igitur ad addi, eadem es reliquae eb ad bu . at bd ad ad habet eundem proportionem, quam fla ad eb. quare ex aequali bd ad di proportionem habet eam, quam Ib ad bn conuertendo di ad bd , quam h n ad D: O demque diu dendo Ib ad bd , quam nI ad fiues autem hi ad ι b , ut mn ad ns; utraque eiam utris ue dimidia es: O bd ad di, ut Ibadhn. ergo exaequali V ad id est, ut mn ad n b: ct componendo h d ad id, ut m h ad n h. Portio
igitur comidis ab c ad conum, seu ad portionem coni ab c eundem habet proportionem luamportio concidis ela ad conum, seu coni portionem ela: O- permutando portio comissis ad portionem comissis, quam conus ad conum, si portio coni ad com portionem: oe ob id proportioncm habet triplum eius, quae s axis bdadaxem Io: quod propositum fuerat demonstrandum. P RO P O S I T I O II.
Sphaeroideon aequalium quadrata diametrorum ex contraria parte respondent iPss axibus, & quorum quadrata diametrorum ex contraria parte respondent ipsis a xibus, sphaeroidea aequalia sunt. Sint sphaeroidea aequalia ; ab c d quidem, cuius axis bd, o diameter ae; elah uero, cuius axis D, O diameter es. Dico quadratum ae ad quadratum es, tam habere proportionem, quam habet sh ad bd. Secetur enim eorum utrunque plano per centrum ducto. O super axem erem. erit ijs , qua monstrata sunt, portio sthaeroidas abc ad portionem sphaeroidu ela, ut conusa b c ad conum e R. quare γ' tionibus aeqratibus existen ftibus C sunt enim aequa
lium sphaeroideon dimidiae P erunt O ipsi coni squales : σ aequales item
eorum dupli; hoc est m-nus , qui basim habet cim
o conus, qui basim ha - ' θbet circulum eg, axemis. duode. ID . Sed conorum aequalium bases ex contraria parte restondent suifax bus ; hoc es, circulus a ead circulum e I proportionem habet eandem tua
duodec. tam eg, ita quadratum diametri circuli a c ad quadratum circuli eg. quadratum igitur diametriae ad quadratum diametri eg; hoc in quadratum diametri sphaeroidis ab ed ad quadratum diametri sthaeroidis elabes, ut axis In ad axem b de quod primum fuit demonstrandum . Sed iam ipsorum
229쪽
0siorum sphaeroideon ab ed, e gh quadrata diametrorum ex eontraria parte re*ondeant ipsis axibus, ut sit quadratum diametri ae ad quadratum diametri eg sicut aris Dadaxem bd. Dico Damictu abed, elab aequaba esse. Iisdem nanque manentibus, quoniam ut quadratum Lam tri ac ad quadratum diametri eg, ita circulus ac ad circulum eg : erit circulus ae ad circulum V, utaris D ad axem b d. quare conus, cuius quidem basis est circulus ae; arisautem bd, squalis tam , cuius basis circuius eg, axis ID: rarumsubdupli, hoc est conus ab e est aequalis cono e g. sed ut conus a b c ad conum eis, ita portio sthaeroidu ab eis portionem si haeroidis
est. ergo er portio sthaeroidis a b e es aequalis portioni Maeroidis est: er propterea sthaeroides a b e d aequale sthaeroici efg h: quod secundo loco demonstrandum fuerat. PROPOSIT IO III.
Datis duobus eo nis , siue cylindris quibuscunque, tertium constituere conum, siue cylindrum, qui sit alteri eorum aequalis, alteri uero sinulis.' Sint prius dati coni a b c .ela, e recti utrique, sue scalem ,siue alter rectus , adrer scalamu; ab equidem, cuius basis sit circulus circa diametrum ac, crestitudo bd; eis uero cuisu basis cirtalus circa diametrum eg, altitudo De O oporteat conum constituere cono ab c aequalem , Ommilem in efg. fiat sicut fra ad ea, sic bdad q: in lacer duas rectas tineas a e,oq fluta media proportionales sumatur,mst, ν:isa ut sit, secut ac ad m o, ita mo . f
pra circulum, cuius diameter sit linea mo, fatconus m no, similis e no e fg, cuius altitudo np. Dico eum aequalem esse cono ab e . est enim ut fb ad e g, ita nρ ad mo: quod in rectis corus est manifestum , ex eorum
douitione; in his enim fh nρ axes sunt: in scatenas autem monstrabitur hoc pacto. per lineam fh, axem comi e fg, qui sit D, ducatur planum secans conum, quod faciat sectionem triangulum os: er eodem modo per lineam np, e li
n o ducatur aliud plania secans conum, quod faciat sectionem triangultim npt. erit triangu . tum n pt aequiangulum triangula fh s. nanque
angulus nip est aequalis angulo si h x dismii
ne conorum scalmorum si lium: angulus uti est aequalis angulo fhs ; cum uterque sit renisu. reliquas igitur anguias reliquo angulo es qualis: o totum triangulum
230쪽
isti triangulo aequiangulum . quare ut fb ad D, ita npadnt. ut autem D ad eg, sta ut admo, ex di nitione eadem, permutata ratione. ergo ex aquati ut fh ad eg; hoc diui b d ad q, ita n pud mo: O permutando, conuo tendoq; ut np ad bd, ita mota q. Itaque cum quatuor lineae proportionales sint ac, mo ,r , q: erit sicut quadratum a e ad quadratum mo, ita mo ad q. sicut autem mo ad q , ita πρ ad bd. sicut igitur quadratum ac ad quadratum m ο; hoc titsicut circulus circa diametrum ac ad circulum circa diametrum mo , ita np ad bd. quare ex decima quinta duodecimi elementorum , O ex ra, quae d nobis demonstrata sunt ad undecimam huius, propositionc decima, conus m no est aequatis com abc, simus ipsi elat quod feciste oportebat. Et cum sit cylindrus ad cylindrum, sicut coras ad conum: eodem faciemus modo ,si sint dati cybricti abc, e fg: O oporteat cylindro quidcm ab c aequalem, ipsi uero e si s sim consit -- re cylindrum. T - P RO T O S I T I O I I I I. Datis duabus coni, aut cylindri portionibus, tertiam constituere coni, aut cylindri portionem, quae alteri earum sit aequalis, alteri similis Sint datae cons portiones; abc quidem basim habens statium contrarium ellipsi a c, cuiuima ior diameter sis ac recta linea, O altitudo bd; e fa uero basim habens statium , eg et Isi c. tentum , cuius diameter maior sit recta linea e I, coe altitudo I b: oporteatq; aliam coni portio nem inuenire , qua sit aequalis portioni abe, O simvlis ipsi e g. constituatur ex diametria cilis