Institutionum arithmeticarum libri quatuor. In quibus, regulis et exemplis practicis breuissimè & clarissimè explicantur quatuor numerorum genera. ... Cum appendice fractionum astronomicarum et indice capitum, articulorum & rerum praecipuarum. à R.P.

31쪽

cere,vitam numerator, quam denominator minores quidem fiant, eandem tamen, quam prius, proportionem inter se conseruent: ita ex hac fractione cl. potest&haec fieri l, &haec , siquidem in Omnibus tribus

denominator est duplus numeratoris,omnesque dimidium significant. Rςducturus ergo magnam aliquam fractionem ad

minores tςrminos, subtrahe tamdiu minorem terminuexm iore,donec subtrahendus,&residuus, aequales fi- . ant. Aut diuide tandiu maiorem per minore, donec nia hil remaneat; tunc enim uterque Denominator,& Nu-

merator diuidendus erit per residuit illud,aut ultimum diuisorem. Sit haec fractio ad minores terminos reducenda: subtrahe 63 ex 91, restant 18. Deinde subtrahe 2 8 ex 6s,restant 3 3: rursus siubtrahe 28 ex , s, si rersunt 7. Item subtrahe 7 ex 28, restant a I; iterumque subtrahey ex g I, restant I ;ac deniq; subtrahe 7 ex I , supersunt 7,quae est utriusq; numeratoris & deno prinatoris mensura maxima, per quam si tam 6s, quam 9r,diuisieris, prouenientu,& Is, erit igitur haec fractio

l, ad hanc liis reducta. Vel diuide 93 per s3, restant deinde divide a per 28,restant 7: deniq; divide 28 per 7,restat nihil: erit igitur vltimus hic divis r 7, numerus per quem tam 9 I, quam is 3 diuidendus est. Quod si in hac mutua subtractione, nunqua subtrahe dus residuo aequalis farr& in mutua illa diuisione, semper aliquid supersit, donec ad unitatem perueniatur,n Opoterit ill fractio ad minores tarminos reduci, Vt Via de re est in hac fractione quae ad minores terminos

reduci nequit. Dicitur numerus, per quem Vterq; , tam Numerator, quam Denominator diuiditur, communis

32쪽

LIB. I. CAP. II. Aa T. IL ax Numeri vero.qui eiusmodi mensuram habent , dicuntur numeri inter se compositi; qui non habent, di-euntur inter se primi, ut videre licet in septimo Elena torum Euclidis.

DUAS AVT P LU RES FRACTIONES.

ad eandem denominationem reducere. Reducere fractiones ad eandem denomnatiotiem.

est emoere . ut eundem Denominatorem acquiranti. Duas ergo fractiones ad eandem denominationem reducturus, multiplica inter se denominatores, ut habe tur communis denominator. Pro numeratoribus vero nouis, duc denominatores in numeratores per crucem . Exemplum. Sint hae duae fractiones , ad eandem denominationem reducendae. Duc dehominatores in se, & fient r4, communis Denominator.Pro

Numeratoribus duc per crucem. . γέ l .pro

primo 3 in pro secundo F in q, ut fiant I8 &χo,ut in exemplo apparet.Valent igitur idem tam 4, n, quam ἔ, ael Reducturus tres. quatuor aut plures fractiones ad eandem denominationem, duc primae Denominatorem in Denominatorem secundae ; productum iri Denominatorem tertiae ', & hoc productum in Denoominatorem quartae &c. Et erit postremum productum, Denominator comunis.Pro numeratoribus nouis, duQnumeratores reducendos in denominatore iam inuentum; productu diuide per Denominatores reducedos

33쪽

a DE Nuria ars FRACTI g.& erunt quoti numeratores noui.Exemptu.sinthi quatuor fractiones h ad eandem denominationem rad-ndae, Duci enominatores in se, hoc est, et in 3,&sent : foc productum in 4, fiemque 2 , hoc in ,& fient Iro, communis Denominator. Pro primo nouo Numeratore due I in iso.productum diuide per Σ& prouenient 6o. Pro secundo duc 2 in Iro , produ-

. . c

sed obseruandum, denominatorem' communem seri posse minorem;si productum praecedentium den Minatorum,& denominator sequentis fractionis,habeant communem mensuram. Ut in his Di, habent productum duorum priorum denominatorum, quod est 6,& denominator sequentis fractionis,qui est 4,hac mensuram z; per quam si tam 6 quam diuiseris, prouenient 3 & 2. Si rursus,aut in quotu aut A in qu tum 3 duxeris,producetur trium priorum fractionum

communis denominator I r. Hic in denominatorem quartae ductus,producit communem omnium Denois minatorem 6o. Si iam porro per regulam traditam operatus fueris, inuenies has fractiones Z, ., I, ad

Item si hae fractiones fi ad eandem denominationem sint reducendae, ita agito. Denominat res primae & secundae fractionis, nempe & ia, habent communem mensuram q, si ergo iam Α, quam 1δ, Per

34쪽

LIB. I. CAP. II. ARτ i I. is diuisoris , prouenient I &3. Rursus siuera inue ins duxeris.reperies n.lam quia I 2. denomina tor primae & secundi fractibnis,& 38 denominator ter tiae , habent communem mensura in f, si per eam tam Ia,quam I 8 diuidas prouenient a & 3; quare si vel 38 in et, vel 32 in η duxeris, prouenient 3 denominator communis . , ὲ, z. Numeratore, nouos facile,per supra dicta uiuentae. ARTICvLut ΙΙΙ.

DE -DDITIONE ET SUBTRA,

. . . .. . . . t

Nihil est Acilius, qtam duas,aut plures fractiones inis uicem addere,aut minorem ex maiore jubducere.Nam si duae , aut plures, eundem habeant denominatorem, adduntur inuicem Numeratores , & suponitur illis communi4 denominator. Vtii haesta iones , φeundem habentes denominatorem addendae iant., a duntur 1,s, & conflantur 34, quibus supponitur conis munis denominator 7, hoc modo ' j. 4lia per diuiseris,prouenient et, summa dictarum fractionum. . Si habeant diuersos denominatores,reducuntur prius ad eandem denominationem; ac deinde. Vt prius numeratores inuicem adduntur. Sint hae Damones Z,gi addendae; reductae faciunt has summa numeratorum eli 9 ,qua per 3 6 diuisa,proueniut a G, siue 2 N, in minimis terminis. Hae vero', , . ad eandem denomillationem.

35쪽

minor ex maiore sit subtrahenda, agendum est. Et si quidem eundem habeant denom inatorem,subtrahatur minor numer tor ex maiore,residuo supponatur communis denominator. Ut si haec fractio; ex hac ἔ , sit iubtrahenda, subtra hantur 1 ex s , restant I, quibus si supponantur 7, het residua haec fractio A.

Si non habeant eundem denominatorem, reducantur ad eunde; deinde subtrahatur minor numerator e maiore, residuo supponatur communis denominator.' Vt si haec ri ex hac lῆ, sit subtrahenda reductae ad eandem denominationem, sicium e et, in minimis termini si , Ο:; & 1 1 subtracta ex s ,relinquunt Is, quibus si supponatur communis denominator 36, fiet

reliqua haec tractio n. Contingit interdum,ut maior fractio ex minore sit subtrahenda, quando nimirum fractis integra adhaeret.

Exempli causa,sint Ix ἱ ex a subtrahenda, quia fractio haec I maior est, quam haec ν; siquidem in s ducta phas iaciunt, quam 6 in a semper autem illa fractio

maior est, cuius numerator in' alterius denominatorem ductus.plus facit, quam alterius Numeratqr ductus in denominatorem ipsius si inquam I 2I ex χη , subtrahenda proponantur, frangatur Vnum integrum,hoc est, addantur ad Numeratorem fractionis' septem, di tollatur unum ex integris, hoc modo 13 . Iam si subtrahantur IaeX 23;&ου ex , restabunt Iidr Nam Zad eandem denominationem reductae, faciunt&33 ex 3 4 subtracta, relinquuntd: ergo si .I2 ἱ ex 2 Φ subtrabantur. restant I 1 .

36쪽

uisione fractorum. Multiplicatici & diuisio fractorum faciles stini: nam si in Multiplicatione,iam Numeratores,quam denomi natores in se multiplicentur,perfecta erit multiplicatio. Sit haec fractio ζet in hanc ἔ multiplicanda . duco tam superiores 7, 3,qua inferiore I, 2, 8 in se. & produco , ἔ. Si una per alteram sit diuidenda, inuertendus est diuisor, & postea ut in multiplicatione operandum. Si ehaecnper hanc' diuidenda. Inuerto diuisorem sic ἔ; quo facto, duco tam II in 7, quam I a iri Α,& produco hane fractionem --; siue faeta diuisione hanc Isemper enim,quando superior maior est inferiore diutisso fieri potest, licet non semper sit necesse; imo interis, dum commodius est, si non fiat. Quod si,ut saepe contingit fractis adhaereant integra, rangenda prius sunt integra,hoc est, multiplicanda per denominatorem & productum Numeratori addenduis

bini haec Ir ἔ per multiplicada: duco I 2 in 7, & pr duco 84 quae addo Numeratori,& cocto δ' ductis iam tam D in q,qua 7 in troduco 'M, &, facta diuisione,3 l . Igitur si multiplicentur Iet per producutur s

Sisint Ix si per l, diuidenda,inuerto diuisorem sic&diurdendum, ut prius,resolvo, stabuntq; sic numerit;ductis igitur ram superioribus,quam inferioribus in se, pro ducuntur In , siue facta diuisione . 28-: si ergo Irue per diui claritur proueniunt 28M Cur autem cu integer perfractu multielicatur,minus integro;

37쪽

Da NuME iras FRACTrs cum verδ integer per fractum diuiditur plus integro

proueniat,dicetur. lib. I.cap. 4 art. 6. Annot. z.

Si virique fractioni adhaereant integra,vtriusq, integra resoluta,numeratoribus addi debent. ac deindet iuxta tradita regula gendum.Sint enim It per 3 l multiplicanda;resolutabc habent l, i ductista n stipe

rioribus,qua inferioribus in se, hc l facta divisi ne sic 28 li; siue sic Σ3 i. si vero sint per 3 diuidenda, inuerto diuisor stabitque sic exemplum ' , &faeta multiplicatio. ne sic diuisione sic 2 h. Deniq; si integer per fraetiim sit multiplicadus,su pono integro unitatem. Vt si velim it per imulti. plicare, stabit sic exemplum ', l; facta multiplicati

ne sici 1; & diuisione sic 7 1

Eodem modo, si velim ιδ peri diuidere, suppono integro unitatem,& inuerto diuisorem hoc modo S, facta igitur multiplicatione producuntur diuisone, o. Ergo si r a per i dividantur, proueniunt do. ARTICULUS V.

DE FRACTIONIBUS FRACTORUM

numerorum.

Occurrunt i sterdum fractorum fractiones , quod quando fit, duc tam superiores,quam inferiores in se,&habebis illorum valorem.Vt si sit huius fractionis uefractio i reduces eas ad hanc ἰ . siue ad hanc Φ. Si huius ,haec ue,reduces eas ad hanc Ol siue ad is, siue ad letnam sqέ ponaturuiginti una texagesimae unius florem, erunt viginti unus cruciferi ac proinde tres septimae

38쪽

Lis L CAp. III. Ait T. I. 29 viginti unius cruciserorum, erunt s cruciseri, siue tres

DE REGULIS, ET EARUM. VS V. Multi multas triaunt regulas, su quilibet iusti

ruto aceommodatas. Ego quatuor saluo aliorum is dicto,suspeere iudico, Auream nimirum sitim κο- portionum regulam:Regulas item consor , AEgationis opostιonum.

ut fisc regula melius intelligatur,aliquid de proportionibus dicendum est.Scire ergo oportet,iunc quatuor numeros apud Arithmeticos dici proportionales,si primo, & tertio in quemcunque numerum multiplicato; Item secundo,& quarto, in eundem,aut alium que-cunque , temner quando productiim primi maius est producto secundi , etiam productum tertii maiussit producto quarti . Et si productum primi sit aequale producto secundi , etiam producitum tertij aequale sit producto quarti. Ac denique si productum primi minus sit producto secudi ,etiam productu tertij minus sit producto quarti. Si inquam hoc semper contingat, tunc quatuor illi numeri dicuntur esse proportionales: si vero non semper contingat, proportionales non di

39쪽

DE REGULA' PROPORTto Nu, cuntur.Item per I in sexti,& I9 sept.tunc demonstrin, tur quatuor numeri esse proportionales, quando geni tus ex primo,& quarto, aequalis est genito ex secundo, Stertio.Vnde constat in Multiplicatione productum, duos multiplicantes,& initatem, esse proportiona Iest imitum productu, ω Vnitas extremas rimultiplican tes medias sedes occupent. Eodem modo in diuisione proportionales erunt. Numerus diuidendus. Diui O quotus,& unitas; si diuidendus,& unitas extremas, Guisor,& quotus medias sedes occupent.Sed cum de proportione plura dicenda sint cap. q. resulam ipsam ag gredimur. I Regula proportionum ,etsi unica est; quadrimembris tamen,facilitatis gratia, esto. Di recta simplex, R ciproca simplex,Diretia composita,Reciproca compinsita. Dicitur haec regula, etiam regula Trium, quod ex tribus numeris notis,quartus ignotus per illam eruatur. Dicitur quoque, proprer praestantia qua reliquas superat, regula aurea.

DE REGULA pstopo RTIONUM D rectasimplici.

in hac regula semper bant tres numeri cogniti, quo rum duo homogenei inter se sunt, tertius homogeneus numero inueniendo.In collocatione primo loco ponitur ille homogeneus, qui quaestionem annexam non habet, seu cuius Valoriam cognitus est. Reliqui duo noti, ponuntur secundo & tertio loco, secundo quidem homogeneus inueniendo, tertio homogeneus primo

loco ponendo. Quod etsi in directa us non est, in re

40쪽

, LIE, I. CAP. DI. ART. i. 3 teiproca tamen necessarium prorsus est. Facta collocati one ducitur fecundus in tertium ι productum diuidit ut per primum,&prouenit quaesitum. ANNOTATIO. - nimar in exemplis maneta in Romana impeνια Utatisre, nimirum aureis,tνιariis,cruciferis .ct obolis. Aureus habet aci riarios Mo cruciferos, χο obolos.Triariin habet 3 truciferos, at obolos, crucifer babet 7 obolos.

Exemplum imir. 2o aureis emo Is ulnas pani,quot vi nas emo&que aureis ἰHic vides homogeneos esse Eo,&- 1 aureos quaestionem anneXam habere 4s aureos. Primo ergo loco pono xo.au. secundo, i s ulnas. Tertio 4s aureos,hoc modo. 2oau.lI6. Vt .l 3 au. Facta ope ratione iuxta regulam, reperio 36 Vinas. Nam I 6 in Asducta gignunt 71o,quae per xo diuisa, reddunt 3 s. Secundum exemplum. Quidam dat pro mensa uno die s cruciferos,quaero quid uno anno dare d ebe4t Sciendum hic est, unum annum habere dies 3 6 s. itabit ergo sic exemplum et D. l 9 eruc. t 36ue D. Facta ope ratione reperies cruci feros 3 28s, quibus diuisis per Coc quod unus aureus so cruciferos habere ponatur repe , ries aureos Α, eruciferos s. Atque tantum Vno anno dare debet. Tertium exemplum. Vna libra carnis venditur teruciferis, obolis,quanti venduntur Ioo librae ' Reis solue cruciferos in obolos, hoc est, duc in ; producto

adde Α, fientque aue oboli. Quo facto sic habet exemplum. I lib. t asob. ltoo lib.Operatione facta reperies 3Ioo obolos, quibus per qro diuitis c quod unus au-