장음표시 사용
61쪽
3, DE RE 6vLA Pos ITIONI Ponatur secundo minor 8s; erit igitur maior ille ui , hic in 3 ducatur, producentur 16 ,& 48o;erratum igitur est per exces um, hoc numero go. Summa errorum 2 oo,est diuisor.Si iam per crucem tam Iao in Bo; quam 8o in clo ducantur,o producentur 96oo, &-8oo; quorum summa 1 'o per Diuisorem aco diaetitia, reddit 72,partem primam, & minorem λ qua ex et o subtracta,restat maior I 68:nam tam 72 in 7;quam
Gemma Frisius hanc regulam extendit ad radicum extra ictiones verum cum in multis exemplis fallat, non ducimus pera precium plura deissa dicere.Namsi proponatur talis quasio. Dentur duo numen in duplaproportione, ut inse ducti procreent 98, succedit regula Gemma; si νero talis proponatura Dentur duo numeri, quorum excelsus sit ut in se ducti pνο cantis; astit.Ceterum ilium quaestionums Mi rapetam ἔπι exarsis. p. abi a ANNOTATIO IL
Praxin Italicam, o alia Compendia in regalis hactentu traditis consulto omisiquod Uu melius, quam regulis discantur: multitudine enim regularum obruimur, qua Uu discimus, renacissime harem.Quis n.non videt,si pelmediocriteriscalc Dst exercitatus, posse in regula proportionum pro magnu ho mogeneorum terminu. minores eiusdem proportionis substituistristo Ia ct 36 has 3,3: pro zas ct IV7s, bosad : Si enim talis proponatur quost. Aureis aas emο87νrnius rini Dantam
62쪽
In hoc cap. primo agam de numero absolute considerato. Secundo, de numero relato. NioMe num rogeometrica Ruras repraesentante.
re considerato. Numeri absolute considerati, Primo diuiduntur inpares , & impares.rares sunt, quos binarius numerat; Impares, quos binarius non numerat Species parium duae sunt. Sunt enini, aut pariter pares; aut pariter impares Pariter par est,iquem numerus par per parem metitur,'cuiusmodi est 3. quem a per qmetitur. Pariter impar est,quem par per imparem metitur, ut est numerus Io,quem 2 per 3 metitur.
Impariter impar non est species paris,sed imparis,cusiusmodi est numerus ii,quem impar per imparem metitur, ut 3 pςr l-- Proprietates parium, & imparium sunt. Prima.Patadditus pari facit parm. Secunda, Par additus impari,facit imparem. Tertia. Impar additus impari, facie parem. Quarta. Par subtractus a pari, relinquit parem
63쪽
1 DE NVMEROR. . PROPRIETATIS: Quinta. Par subtractus ab impari, relinquit imparem. bexta.Impar subtractus ab impari, relinquit parem. Primus numerus est, quem sola unitas m*titur, cuius. modi sunt 3 3 Q-II a 3 .Sc. primi inter se sunt, quos sola unitas mctitur , cuius
Num in compositis est,quem aliquis numerus metitur; Cuiusmodi sunt 4.6.8.IO, Ia.&c. Compositi ineer se sunt,quos aliquis numerus , qui munis eorum mensura dicitur, metitur.
Cuiusmodi sunt & 8; si& 12 4 & IO', I ε& χο&c.d os priores metiuntur a & duos sequentes 2. s & 6iduos tertios 2 Duos postremos 2,& q. Numerus persectus est,qui suis partibus est aequalis, iusmodi sunt 6. 28. 96. Abundans est. qui suis partibus est maior. Diminutus. qui suis partibus est minor. Intelligo per partes, partes aliquotas ; seu quotos illorum numeroitum, per quos diuidi possum: Vt 6 diuidi potest per 2 3N 6,quorum quot i s. a.a .faciunt 6. Et:8 diuidi potest
diminutus. . persem inueniuntur ex progressione geometrica duorum parium, , Vtet λ & 4. excl&8; cx Is&sa; ex
64쪽
Pares ct impares inter absolutos, non inter relatos repono, quod eorum definitiones absilatae ct absolutorum sint, non re- Lia Fretitoram.
Huc pertinent proportiones, proportionalitates, &medietares, siue progressiones,de quibus singulis comis, pendio est agendum'.
Proportio triplex est,aequalitat s. maioris inaequalitat:s,& minoris inaequalitatis. Aequalitas est, quando aequalis numerus adaequalem refertur,Vt 4 ad 4. Maioris inaequat itatis est, quando maior numerus adm norem; Minoris, quando minor ad maiorem resertur.Vtrius quinq;sunt species. Prima maioris inaequalitatis dicitiirMultiplex. Sccuda superparticularis.Te tia superpa Hiens.ini arta Multiplex superparticularis. Quinta Multiplex superpartiens. Multiplex est, quando maior minorem aliquoties co- . tinet. Vt bis, ter.quater,decies,centies , &c. Cuiusinodi cernitur inter & a; inter 9 & 3; inter 1 o & s ; interaco & Io &c.quarum prima dicitur dupla, secunda triopia,tertia quadrupla,quarta decupla,&c. Superparticularis est,quando maior minorem semel
65쪽
36 DE NvΜEROR. PROPRIIT ΑΤ IB. continet, & insuper unam eius partem: cuiusmodi proportio est inter 3&2: iriter &3; inter 9&8. Prima dicitur sesquialtera;Secunda sesquitertia:Tertia sesinui. quarta:Quarta sesqui odi aua. Est proportio superparti
cularis inter omnes numeros unitate sese excedentes. &inter eorum ae lde multiplice s. Vt inter I et & II: inter
rum 12 & II aeque multiplices, cum creentur ex ductu ipsorum la, Ir, in I: Similiter , Q,& 3s fiunt ex Is &14, in Φ. Superpὸtiens est,quando maior minorem semel,& insuper aliquot eius partes continet: Cuiusmodi proportio est inter omnes numeros inter se primos, modo eorum excessus sit plus quam unita . Ihem inter eo inrum aeque multiplices: Cuiusmodi est inter 7, S p. interr & a o: inter 27 & I7: inter 8i & 1l. Prirna, & secunda dicitur superquin tu partiens duas; Tertia & quarta super septemdecu partiens decimas &c. Multiplex seuperparticu tris , composita ex multiplici, R superparticulari est, quando maior minorem aliqUoties , & insuper unam eius partem continci; Cuiusmodi est inter 1 & 2: inter is di 6; inter 20 & 7: prima dicitur dupla sesquialtera: Secunda tripla sesquisexta et Tertia quadrupla sesqui septima. - rMultiplexsuperpartitu ex multiplici,& superpartiente composita est,qn maior minore at i quoties,& insuper aliquot eius partes continet; cuiusmodi est inter a dc 7:, inter Io &s prima dicitur quadrupla super septu partiens sextas: secunda dupla superquintupartienS quartas inaequalitatis est, qn minor cuma. iore comparatur. Easdem quas prior habet species; sed
praefigitur illis particula Sub ut submultiplex, su
66쪽
LIB. I. CAP. IV. ART III. 37superparticularis; subsuperpartiens,& l. inc inter 2&. 4 dicitur esse proportio subdupla; inter 2 & 3 subsesquialtera; inter s & Ia sub quadrupla &e.
, Composisione. Proportionum compositio si per ηdditionem subtractionem, mi stiplicationem,& diuisione quam Cla. in fine tibi Euclid.explic t. Cuin enim addit proportionem proportioni, addit inter se denominatores proportio- nis. Vt si addendae sint dupla& tripla , fitqii intupla. quod ex additione denominatorum a & 3, fiant s. Si addenda sir dupla sesqui octava ad triplam sesquiqua tam,fiet a i , scilicet quintupla stupet octu partiens tertias. Naui denominator duplae sesqui octauae est rtriplae sesquiquartae 3α quae inuicem additae, faci Unt 3 Cum proportio proportioni subtrahitur,denomina tor minor ex maiore subtrahitur, ut si dupla ex sextupla. sit subtrahenda, restat quadrupla: si h squialtera ex tri pia .restat sesquialtera: nam denominator sesquialterae est I; triplae a, siue ζ: subtractis autem l ex ζ, restant siue i In multiplicatione proportionis, m se ductan tur denominatores proporti onis, ut si tripla sit ducenialda in quadruplam, gignetur duodecupla. Si tripla sici perseptu partiens tertias in duplam sesquiquartam, hoc - , hoc est, septupla supeT-
67쪽
13 Da NuMEROR. PROPRIETAT. Eodem modo in diuisione diuiditur maior propo tionis denominator per minorem. Vis diuidenda sit decupla per duplam, proueniet quintupla; si quadrupla superquadrupartiens tertias per sesquialteram, hoc est, i per i l, proueniet tripla sesquisexta, hoc est e. vi desergo modo proportionum Multiplicationem,&Diuisionem fieri,quo numerorum fractorum. ARTICVLvs IV.
portionalitate. . Authores plerique analograre Vocant medietatem. Numerantur analogiaelplures; sed ex illis tres sunt praecipuae, arithmetica, Geometrica, & Musica. quas etiam progressiones appellamus. De singulis pauca dicenda
Arithmetica progressio est series numerorum,in quaeres,aut plures numeri per eandem disserentiam progredi untur, ut hic Videre est.
68쪽
LIB. I. CAP. IV. ART. IV. sPrima progreditur per νnitate emper enim sequens numeruS praecedentem unitate superat. Secunda, & temeia per 3. Quarta per s.Omnium sumina faci l l ime habetur hoc modo. Adduntur primus & vltimus termini; summa per semissem numeri terminorum vel semif- sis summae per numerum terminorum multiplicis. tur,& habetur summatomnium. In prima progressio ne primus & vltimus termini faciunt 2 1, quae in Ia semissem numeri terminorum ducta faciunt Ioo, summam omnium. In secunda progressione summa primi,& vltimi termini 46,in I r, semissem numeri terminorum ducta progignit se , , omnium summam. ΕΟ-dem modo reperies summam tertiae 4 ; quarta soso. Habetur quoque summa omnium imparium ab uni late incipientium cuiusmodi est progressio tertia,si nu
merus terminorum in se ducatur: nam si ar, numeruSterminorum tertiae progressionis in se ducatur, procre antur Α . Ut prius. Parium vero a binario incipientium summa habetur,si numerus terminorum in numerum unitate 'maiorem numero terminorum ducatur.
Si enim in secunda progressione ax , qui est numerris terminorum, ducatur in 33, procreabuntur 36O . V
prima. fit numerus terminorum unitate mutilatus, cici.
69쪽
6o DE PROOR AssioNE ARITH ΜΕΥ DC A. quarta, habente zo terminos, Is in s ducantur. & producto terminus primus ade tur,conflabuntur I O ,te
Secunda. Primus terminus habetur, si sublata vestate enumero terminorum ,rcliquum in disterentiam ducatur.& productum ab ultimo termino tollatur. Vt inh cprogressione IO. o. so. o. o. so habente seX terminos, D Vnit3s ex ε tollatur,rcliquum indifferentiam Io ducatur, producentur F o, quibus ex .vltimo termi no so deductis,restant Io. terminus primuS. .' 3Tertia, si primus terminus ab ultimo tollatur, reliquum per numerum Vnitate minorem numero terminorum diuidatur, prodit progressiosis differentia. Vt in progressione proxima,si tollam to ex6Ο, reliquum ueo diuidam per 3 numerum usitate minorem numero terminorum, proueniunt Io, disserentia progressionis. Quarta,si sublato termino primo ab ultimo, reliquuper citfferentiam diuidatur , & quoto Vnitas addatur. prouenit numerus terminorum. V t si in eadem progres. . sione Io tollam ex 6Ο.reliquum per differentiam I o di uidam, & quoto Vnitatem ηddam,ex urgentmnumerus
ainta, si ab ultimo termino primus tollatur,. resi. . duum exit summa differentiarum.
Prima. Datis tribus quibuscunque progressioniserminis continuas , erit duplum medij, aequale ag- ' - grega-
70쪽
pregato extremorum. Vt in his tribus 7. 8.9,est tam d plum medij, quam aggregatum extremorum I 6. Secundari iis quatuor continui Sierit summa medioritum aequalis summae extremorum.
Tertia. Duplum cuiuscumque est: quale aggregato duorum aequaliter hine inde distantium. Vt duplum iis psius 8, est aequale aggregato ex X & Is facto: aequaliter autem, et & Is ab 8 hinc inde distant in prima progreL
Geometrica progressio est series numerorum eadem se proportione superantium,cuiusmodi sunt sequentes. 1.2. q. 8. I 6. 3 2. 64. I 28. 2I 6. 3 1 2. I O 2 q. Q s. 4096.8 I92.3ἰQ. I. s. s. 27. 8 I. 243.729. 218 . 6 scrias K 8 3. 9o49. 177Iq7. Suet qq,. Sc. 1. 6Kk664. 2-IO et . qO26 36 384. r3 3 3 6. δας a mi . I O 8 1 76. dic. Prima est dupla, secunda tripla, tertia quadrupla. summa omnium habetur; si primus terminus tollatur ab vltlino, residuum diuidatur per numerum unitate miris- rem denominatore proportionis est autem denominator duplete χ:triplae 3; quadruplaeq; dic. & quoto ad datur vltimus terminus.Ita inuenies summam omnium primae progressionis esse 16383; secundae 797IGI ; te
Geometrica progressio duplex est, continua, &dincreta. C mima est, lianus omo remini praeter pri-