장음표시 사용
101쪽
' segetitorum Spinabum tum CBI, ad spatium CB GC. Cum ergo ex proposit. t ε. sit triangulum C Bl, ad spatium, ut factum sub quadrato A B , in differentiam potestatum AB, Bo, unius gradus inserioris potestate
trilinei nempe eiusdem gradus cum spirali j ad dis-
ferentiam potestatum AB, B Ο, unius gradus f
perioris potestate trilinei cnempe duplici gradu altioru n potestate spiralis; sic.etiam erit sector RAI, ad spatium spirale. Nempe erit ad ipsum, ut factum sub quadrato R A, in differentiam potestatum RA, Α S, eiusdem gradus cum spirali, ad differentiam potestatum RA, AS, duplici grada altiorum potestate spiralis., Cum ergo proportio reperta inter sectorem, & spatium, sit lina ilis aliqualiter supra repertis, patebit omnia compendia varijs vicibus supra explicata, posse etiam assignari in praesenti. Verum ergo erit etiam in presenti, quod in spirali lineari, erit sector ad spatium, ut qaadratum R A, ad rectangulum
RAS, cum ἰ quadrati RS. Item in spirali quadratica, erit sector ad spatium, ut quadratum RA, ad rectangulum RAS, cum ἔ quadrati RS. P riter uniuersaliter poterimus pronunciare. Esses
ctorem ad spatium, ut sactum sub quadrato R A, in omnes singulares partes adgregati potestatis RA, A S, unius gradus inserioris potestate spiralis, ad tales partes omnium singularium partium potestatis adgregati R ', 'S, uno gradu superioris potesta te spiralis, quae se habeant ad ipsas, ux numerus labralis,ad numerum binario auctum. PRo-
102쪽
Mia spatia spiralia successive inscripta in Pibuslibet cireulis simultu ta , mna eum quolibet segmento spatij
reuolutionis initate maioris inscripto in infectore , sunt ad tot integros circulos sectoris quotus est numerus spa- morum ιntegrorum, ina cum imo sectore, it numeruι gradus spirans ad numerum binario auctum.
IN schematibus proposit. anteced. supponamuScirculum radij AG, esse circulum circumscri-lptum spatio spirali cuiuscumque reuolutionis, v. g. secundae, ita ut intra ipsum intelligendus sit circulus primus circumscriptus spatio primae reuolutionis: sit ctiam circulus radij A B, circumscriptus spatio tertiae reuolutionis: & centro A, interuallo quolibet AE , intelligatur sector MAE, circumscriptus M AG, sigmento spatij tertiae reuolutionis. Dico omnia spatia spiralia successive s nempe in casu nostro priua ae , & secundae reuolution:s una cum segmento MAG, esse ad tot intcgros circulos radii A E, quotus est numerus spatiorum integrorum . nempe in casu nostro ad duos in una cum sectore M A E, ut num eius gradus spiralis, ad numerum hia
. Supponamus enim trilineum saepe dictum CBA,& C. esse talis indolis, ut AB, sit aequalis A Ε, inspitali, & BF, sit atq alis A G: ilcm AD, sit aequa
103쪽
lis duabus circumferentijs radij A E, & CD, sit
aequalis circumferentiae EM. Facile patebit, triangulum CBD, aequale esse sectori MA E; & totum triangulum C BA, aequale esse duobus circulis radii A E, & sectori MAE: item ex proposit. ante cod. f cile patibit, in trilineo trilineum mixtum CGED, aquale esse in spirali trilineo G ME: & CBEC, in trilineo, aequale esse MAG, insectori. Pariter ad modum proposit. I 8. patebit, spatiuin EB, in trilineo aequale esse alijs duobus spatijs spiralibus in-iau lis intra circulum radi j AG,&alium ipsi inclusum licet enim schema non exprimet, facile hoc percipietur si consideremus circulum radij A G, in pra lenti gerere vicem circuli radij AM, in dicta propositi i8.ὶ Quare manifeste patebit, duos circulos radi j A E, una cum sectore A ME, esse ad primum, re secundum spatium spirale , una ct m segmento
MAG, ut triangulum C BA, ad excessum ipsius supra trilineum. Nen pe ex saepe dictis, ut numerus gradus spiralis binai io auctus, ad numerum. Nempe ut circulus circumscriptus primo spatio ad ipsum . . Quare conuertendo, patet propositum. inod &c.
Si in spatio anteced proposit. semidiametro minori linea in-Fribatur pector S A X. Erit R I S, trilineum, excessuesectoris maioris seupra spatium, ad S I X, trilineum,excessum spatij supra minorem sectorem, mi excessus facti
104쪽
Spatiorum mensura. RI sub asserent opotestatum M S, eiusdemgrai cum Dirali, in quadratum R A, supra talei partes d Grentiae pol statum EA, SA, dupίcι gradu altiorum potestate Diratis , qtiae se habeant ad dictam disseremtlaw , it numerus spiralis ad eundem numerum binaris auctum , ad exc um praedictarum partium disserentiae potestatum EA, S A, duplici gradu altiorum potestate
Dir bi, seupra factum sub inferentia potestatum RA, AS, eiusdem gradus cum spirali,in quadratum SAEC
HAEc demonstratio erit similis traditae in proia
posit. i quae ideo ex ipsa petenda est. uio Omnia conpendia deducta in schol. eiusdem, poterimus deducere etiam in praesenti. Verum ergo L etiam
105쪽
81 1De Infinitorum Syrallam etiam erit nune , esse in spirali lineari, RIS, ad SI X, ut RA, cum ' RS, ad SA , cum ἰ RS. Item in spirali quadratica, RIS, SI X, ςqualia esse. Et in alijs spiralibus poterimus forsitan reperire alia compendia , quae lector poterit proprio Marte en
Primi circulo spatium belicum cuiusunque gradus, a spatium hebcumsecundi circusi, erit m actum Fub tali parte quadrati radii primi circuli, quae se habeat ad ipsum, et tnumerus stiralis, ad numerum binaris auctum , ω subdisterentia potestatum radiorum primi, ω secundi circi li, eiusdemgradus cum spirali, ad tales partes differentia potestatum harum radiorum dulici gradu altiorum potestate spiralis, quae se habeant ad sam, mi numerus spl-ralis ad numerum binario auctum. Spatium mero secun-
di circuli ad patium tertium, es Di factum ex hoc Acundo facto, εν ex disserentia potestatum radiorum ter iij , G secundi circuli eiu em gradus cum pirali, ad mmiis factum Fub simili partae disserentiae potestatum radiorum secundi, sit terti, circuli, duplici gradu altiorum
potestate spiralis, ire seb disserentia radiorum primi, eae Su primum spatium helicum cuiuscunque gradus AGH, cum primo circulo radij AH:
106쪽
Spatiorum Mosero. item secundam spatium H R P M H, cum secundo. cireulo radii A M: item tertium cum tertio circulo radij AB. Dico primum spatium AGH, esse ad secundum spatium H R P M H, ut factum sub tali pane quadrati A H, quae se habeat ad ipsum, ut numerus spiralis, ad numerum binario auuam, & subdifferentia potestatum M Α, A H, eiusdem gradus eum spirali, ad talem partem differentiae potesta-- tum M A, ΛΗ, duplici gradu altiorum potestate
107쪽
s De I uitarum Dirasium spiralis, quae se habeant ad ipsam, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum. Spatium secundum ad spatium tertium MN Z LSBH, ut factum sub hoc secundo facta, & sub differentia potestatum B A, A M, eiusdem gradus cum spirali, ad factum sub simili parte differentiae potestatum B A, A M, duplici grada astiorum potestate spiralis, & sub dita ferentia potestatum M A, AH, eiusdem gradus, cum spirali. Et sic in infinitum . v. g. in spirali lineari erit primum spatium ad secundum, ut factam sub qiadrati AH, in F M, ad ἰ differentiae
cuborum A A, A M. Secundum vero spatium ad tertium erit, ut fatun sub ζ differentiae cuborum
ΑΗ, AM, &sub M B, ad factum sub differentiae cuborum A M, A B, & sub H M. In labrali quadratica, erit primum spatium ad secundum, ut factum sub ' quadrati AH, in differentiam quadratorum AH, AM, ad i differentiae quadrato quadratorum AH, A M. Secundum spatium erit ad tertium,ut factum sub dicta parte differentiae, &sub differentia quadratorum AB, AM, ad factura sub ἰ differentiae quadrato quadrarorum A M, A B ;& sub differensia quadratorum M A, A Η; &sic in alijs. Prinium enim spatium A. GH, ad se- eundum spatium H RPMH, habet rationem compositam ex ratione ipsius ad primum circulum radi jAFI; huius, ad secundum cseculum radii. A M; Mhuius, ad sesundum splitium Primum spatium ad Primum circulum est, ut numerus gradus spiralis ad
108쪽
Spatiorum Mensura . numerum binario auctum ex coroll.propositis. nempe ut talis pars quadrati AH, quae se habeat ad ipsum, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum , ad ipsum quadratum AH. Circulus radii AH, ad circulum radij A M, est ut quadratum AH, ad quadratum radi j A M. Circulus radij AM, est . ad spatium feeundum helicum, quod comprehendit, ex schol. t. ptoposit. II. ut fastum sub quadrato. 6M, indifferentiam potestatum eius
109쪽
m . . De Infinitorum Spiralium
Etiam ergo in praesenti propositione licebit colligere ea Omnia, qaae supra varijs vicibus fuerunt col. lecta. N mirum in spirali lineari, esse sectorem ad spatium, ut q radiata n E A, ad rectangulu n EAG, cum ς quadrati EG. in quadratica , va quadratum E Α, ad rectingulum E A G, cum t quadrati GE. Et uni ieri alter , esse sectorem ad spatium, ut factum subqiadrato E A, in omnes singulares partes adgregati potestatis EA, A G, unius gradus inserioris potestate spiralis, ad tales partes omnium singularium partium potestatis adgregati EA, AG, Vno grada superioris potestate spiralis, quae se habeant ad ipsas, ut numerus spiralis, ad numerum binario auctum.
Si in schematibus proposit. anteced. 4AB, BF, in tritaeo sint aequales Κ A, AG, in spirali ; in circumfrentia IR N , sit aequalis C D, ru tritaeo, item circumferentiam re, linea CI, in tritae', DA, in trιlineo aequalis tot integris circumferentqs rasi AA quotus ect -- merias reuolutionum mnitate minor. Tritaeum LG I, in tritaeo, erit aequale tritaeo R IS, inspirali, quo ess. excessuffectoris RAI circumscriptisatio SAI, δε- raesum. Etenim
110쪽
Spatiorum Mensuri. IVETenim, cum Ct, linea in trilineo sit aequalis
circumferenti e IR, in spirali, & AB, in tri. lineo aequalis semidiametro K A, seu RA, in spirati : triangulum C BI, erit aequale sectori R A I. Tunc in RS, accipiatur quodlibet punctum α, &describatur circumferentia a I, semidiametro A a, occurrens spirali in & facta in trilineo BQ, aequali A a, sit MN PQ, parallela GA. Ad modum dictorum in proposit. i 7. deducemus, MN , in trilineo aequalem fore circumferentiae I a 4 3, inspirali. Cum verbetiam N P, in trilineo sit aequali Scircumserentiae a s, in spirali quia ex laypothesi, ID, est aequalis circumferentiae R h. in Ergo M N, in trilineo, erit aequalis circumferentiae a s, in spirali. Quia vero RS, est aequalis O As expertis in methodo indivisibilium patebit , omnes ci cumferentias trilinei RIS, in spirali concentricas circumferentiae R I, aequales fore omnibus lineis trilinei CGI, parallelis C I. Ac proinde trilineum ipsum RIS, aequale sore trilineo CGI.
Cum vero supra probatum sit, ii iangulum C B I, aequale esse sectori R AI; ergo triangulum B Ct, erit ad trilineum CGI, ut sector R AI, ad trili-ncum Ris. Quare per conuelsionem rationis, erit sector ad spatium S AI, quod includit, ut triangu-