장음표시 사용
21쪽
s De Infinitorum Spirat umgradus cum spirali supra similem potestatem A C, ad similem potestatem A C.
Sed cum, ut potestas FA, eiusdem gradus eum spirali ad similem potestatem CA, sic FA, ad ultimum rei minum proportionis FA, ad CA, Continuatae ad tot term nos quotus est numerus spiralis unitate maior: erit & arcus Nos R, ad arcum OSR, ut F Α, ad hinc vltimam proportionalem. Nempe in lineari ut FR, ad CR. In quadratica, ut FA, ad tertiam proportionalem minorem ipsarum F A, C A. in cubica ad quartam: Et sic in infinitum. Et diuidendo, erit No, ad OSR, ut excessus F A, supra ultimam minorem proportionalem ad ipsam .
Si in quamcunque infinitarum spiratam ex alys reuolutioniis bus geuitam, inivsibi circumscriptum circulum incidant duabneae, it prius. Fotestates incidentium in Diralem tu em gradus oωm spirali erunt ad inuicem, qui arcusprs icti, ina cum tot lutegri per beriis, quotus es
numerus reuolutionum multate mInor .
SEd sto est te semidiametri AR, congruente Girali, si 'ata, triplata,&c, in G, ut explicatum suit supra,intelligamus continuatis motibus, spi
22쪽
Spatiorum Mensura. 7ralem AC FR, continuatam fore in ΤVM G,&c. cui AC, AF, incidant in V, M. Dico in prima spirali, esse δε M, ad A V, Vt tota circumferentia circuli RSOR, tot vicjbus accepta, quotus est
numerus reuolutionum Vnitate minor, una cum a cu NOS R, ad eundem numerum totius circumferentiae RSOR, una cum arcu RSO. In secunda, sic esse quadratum AM, ad quadratum AU. In tertia, sic cubum ad cubum. Et sic in infinitum. Dix imus autem AM, A U, esse in praedictis rationibus cum circumferentijs circuli cuius semidiametero R, quia isti arcus sunt in eadem ratione cum similibus arcubus circuli cuius semidiameter A G, ad cuius peripheriam intelligendae sunt extenta AV,
AM; quia sunt concentrici. . .
Haec propositi osten ictu rad modum superioris,& ad modum Archimedis in proposit. I F.
Ergo conuertendo, & diuidendo,erit excessus potestatis A M, eiusdem gradus cum spirali supra similem potestatem AR ad potestatem A V, viam 'cus NO, ad arcum OSR, una cum tot integris peripherijs RSOR, quotus est numerus reuolu
23쪽
Si a taliametra primi circuli circumscriptistatio rasi ab-fisaeatur quaelibet linea , y centro initio ,semidiametro abscissa describatur circuli peripheria. Erit tota circumferentia primi circuli, aΜperiphmam descripti circuli comtentum inter lineam initium reuolutionis, m spiratem, in praecedentia , mi pote Has radii primi circuli ino gradu
altior potestat piralis, a similempotentatem absisse. IN schem. seq. abscissa AV, ab AE, semidiametro primi circuli circumscripti primo spatio
cuiuscunque spatij spiralis AI EA, centro Α, interuallo AV, describatur circulus VTIV. Dico Iotam circumferentiam E M S E, esse ad circumferentiam VTI, ut potestas EA, uno gradu altior potestate spiralis, adsimilem potestatem A V. V. g. in lineari , ut quadratum ad quadratum . In quadratica , ut cubus ad cubum. Et sic in infinitum. Namque, ratio circumferentiae EM SE, ad U s I, componitur ex ratione ipsius ad totam circumferentiam VTI V, &huius ad VTΙ, inempe circumferenti et E M S E. ad E M S Sed uti E M s E, circumferentia ad totam VTIV, sic EA, ad A V; &vt eadem EMS E , ad E M S, sic ex proposit. pri. potestas EAE, eiusdem gradus cum spirali, ad similem potestatem A I, seu A U . Ergo & ratio circumferentiae ad circumferentiam componetur ex hiis
24쪽
duabus rationibus e nempe circumferentia ad cis,cumferentiam erit, ut potestas EA, uno gradu altior potestate spiralis, ad similem potestatem AR
Si in exce semidiametri circuli circumscripti cuil bet spatia Hebco a prima , supra semidiametrum circuli initate minoris , sumaturpunctum s γ' centro initis , interuallo Usμ copuncto, describatur circuli peri eris. Erit uis B ta
25쪽
ea eircumferentia maudiris circuli, ad portionem circumferentia descriptae, contentam inter spiralem, sty lineam initium reuolutionis , eetit factumsubsemidiametro circuli maioris, in excessum potestatis ipsius eiu em gradus eum spirali, supra similem potestatem minoris circuli, ad factum siub femidiametro descripta circumferentiae , in sub excessu potestatis ipsius eiu radus cum Ipirali , supra similem potestate emidiametri circuli minoris.
IN schem. seq. supponamus G M SIB G,
quodcunque spatium cuiuscunque spiralis a primo , nimirum vel secundum, vel tertium, vel quartum ,&c. & circulus radis AB, sit circulus eiusdem numeri spatio circumscriptus, ut circulus radi j AG,
sit ipso unitate minor: nimirum s ipse sit secundus, sit circulus radi j A G, primus: si tertius, secundus:&c.& inter GB, accepto puncto E, intelligatur circulus radii AE. Dico peripheriam radii AB, esse ad periplici iam E M. contentam inter Α Β, &spiralem in M, ut factum sub BA, in excessum pG eslatis BA, eiusdem gradus cum spirali, supra similem potestatem A G, ad factum sub si Α, in excessum potestatis ipsius eiusdem cum spirali gradus , supra similem potestatem o G. v. g in prima spirali , ut rectangulum ABG, ad rectangulum. AEG. In see. ut factum sub AB, in disserentiam quadratorum AB, o G, ad factum sub ΑΕ, in excessum quadrati ipsius supra quadratum Λ G. Et sic in infinitum in altioribus spiralibus . .
26쪽
Ratio enim circumferentiae radii A B, ad circumferentiam EM, de foris sumpta circumferentia ra dis ΛE, componitur ex ratione ipsius ad circumse rentiam radij A E, α huius ad circumferentiam EM. Sed ut circumserentia radis AB, ad circumferentiam radij ΛΕ, sic radius o B, ad radium, Λ Et &vt circumserentia radij A E, ad arcum EM, sic circumferentia radj AB, ad arcum B F. Quare ratio circumferentiae radii AB, adareum EM, componetur ex rationibus AB, ad OE, & circumferentiae radij AB, ad arcum B F. Verum, quom niam ex proposit. secund. est ut circumserentia radii AB, tot vicibus accepta quotus est numerus spatij, ad eandem acceptam secundum numerum unitate
27쪽
a x De Infinitarum δρὶ alium minorem, simul cum arcu B F, sic potestas B Aeiusdem gradus cum spirali, ad similem potestatemAM, seu A E : ergo & ut unica peripheria radii AB, ad arcum solum B F, sic excessus potestatis AB, eiusdem gradus cum spirali, supra similem potestatem A G, ad excessum potestatis A E, itidem eiusdem gradus eum spirali, supra similem potestatem AG ex genesi enim spiralium, potestatis AB,
eiusdem gradus cum spirali, potestas AG, continet rot partes, quotus est numerus spatij unitate minor,& differentia potestatum,unicam. Ergo ratio peripheriae radij A B, ad arcum E m componetur quoque ex ratione AB, ad AE, & ex ratione excessus potestatis ΑΒ, eiusdem gradus cum spirali, supra similem potestatem A G, ad excessum similis potestatis A E, supra eandem potestatem Λ G. Nempe erit ad ipsum, ut factum sub ΑΒ, in priorem excessum, ad factum sub Α Ε, in posteriorem excessum. Quod erat ostendendum.
Quae sint infinita.trilinea pat abolica explicatum fuit initio prurilibri eorum, quos de infinitis par bolis euulgauimus. Diximus enim ibidem , nos pro talibus trilineis intelligere spatia, quae sunt excessus paralleIogrammi circumscripti infinitis semipar holis supra ipsas. De infinitis trilineis in proposita as. & αε. eiusdem libri ostendimus duas proprieta-
28쪽
ς t. i spatiorum Mensura. IItes, quae, quoniam statueramus ab initio cum opere de infinitis parabolis edere etiam hoc opusculum de infinitis spiralibus, in harum gratiam explicatae fuere. Verum, quoniam multa nos coegerunt absoluere quamprimum opus illud , citatae propositiones tunc temporis proprium finem haud fuerunt consecutae. Cum autem sint in praesentiarum necessariae, determinavimus, ut cuilibet sint in promptu, ipsas ex citato opere transcribere; sed nunc vigesimamteretiam,infra suo loco, vigesimamquartam. Sit ergO
. Si amertice cuiusiunque tritaei a primo aeucatur linea in bas secans curuamparabonicam: ω per puncitam ibis . cat curvam ducatur et que ad diametrum parallela iam Erit basis tri ei ad sui partem interceptam inter ductam , ω diametrum, it potentis diametri tritae: πιποgradu inferior potessate trilinei,a similem potestatem divi
SIt quodlibet trilineum a primo nempe Primo
excepto, quod est triangulum, CB A, cuius Vertex B, diameter B Α, & a vertice B, ducatur BD, in basim secans curuam in E M per E, ducatur EF, parallela C A. Dico CA, esse ad AD, ut potestas AB, uno gradu inferior potestate trilinei, ad fimilem potestatem BF. U. g. in trilineo quadratiaco, erit CA, ad AD, ut AB, ad BF. In cubico, ut
29쪽
quadratum AB, ad quadratum B F. In quadrato- quadratico, ut cubus AB, ad cubum B F. Et sic in infinitum. Quoniam enim proportio CA, ad AD, componitur ex propoitione C A, ad EF, & huius ad DA: ex genesi autem parabolarum, est ut C Α, ad EF, sic potestas A B, eiusdem gradus cum trilineo, adsimilem potestatem BF: Sut EF, ad DA, se B F, ad B A . Ergo ratio C Α, ad A D, compo netur ex rationibus potestatis AB, eiusdem gradus cum trilineo adsimilem potestatem BF, & ex rati ne BF, ad BA. Sed ex istis duabus rationibus componitur ratio potestatis AB, uno gradu inferioris pol. state trilinei, adsimilem potestatem BF. Ergo patet propositum,
30쪽
Excessus primi circuli supra quosibet spirale spatium ex
prima reuolutione, est aqualis trilineoparabolico evnogra
du altiori spatio spirali , cuius diameter sit equalis semia
diametro circubi basis Nero circumferentiae.
Se quaecunque spiralis ex prima reuolutione AI E, A E, vero sit linea reuolutionis initium, sitque etiam semidiameter circuli primi s pariter esto parallelogrammum rectangulum Z Q, circumscriptum semiparabolae ZOR, cuius basis TR, vertex Ο, quae sit gradus unitate altioris gradu spiralis: v. g. si spiralis sit linearis, parabola sit quadratica: si spiralis sit quadratica, parabola sicubi ca: &c. insuper ZR, seu O in sit aequalis semidiametro E A, ZO, ve: b, seu R , sit aequalis circumferentiae E M S E . Dico excessum circuli supra spatium spirale i qui deinceps breuitatis gratia vocabitur excessus absoluteὶ aequalem esse RGO , trilineo. Accipiatur in A E, arbitrarie punctum V, & centro A, interuallo A U, describatur circulus secans spiralem in I, & ducatur AIS: deinde fiat OX, aequalis A V, seu AI, & ducatur X GΥ, parallela RQ,& per G, ipsa G B, parallela R Z. Quoniam enimcx natura palabolae explicata initio lib. pri. de infin. parab. cst ut potestas RZ, seu OQ, congruens parabbiae ad similem potestatem BG, seu OX, sic