장음표시 사용
31쪽
ZO, seu R i ad BO, seu GXr &cum vitalis potestas QO, ad similem potestatem OX, sic inspirali similis potestas' ΕΑ, ad similem potestatem A V quia QO, OX, sunt aequales ipsis EA, AU. Ergo ut R ad G X, sic potestas EA, congruens parabolae , nempe uno gradu altior potestate spiralis, ad similem potestatem A V, seu AI. Sed ex Proposit. 3. ut talis potestas E A, ad potestatem . A I, sic circumferentia EM SE, ad circumferentiam VTI. Ergo&vt RQ1 seu YX, ad G X, sic circumserentia LM SE, ad circumferentiam VTI. Ergo & permutando, ut XY, ad EM SE, sic G X, ad UTI. Sed ex constructione, ΥX, seu RQ , est aequalis circumferentiae EMSE. Ergo etiam G X, erit aequalis UTI. Cum ergo puncta V, X, sumpta fuerint arbitrarie, ergo omnes lineae trilinei RGO , parallelae RQ, erunt a quales omnibus circumserentijs excessus circuli EM SE, supra spirale spatium; quae circumserentiae sunt concentricae ipsi EMSE. Ergo & trilineum erit aequale praedicto excessui. Quod Sc.
Notetur autem, quod stipradicta propositio non
soluin verificatur secundum totas magnitudines,sed etiam secundum ipsarum partes proportionales.Nimirum, non modo totus excessus circuli erit aequalis
toto trilineo ROOQ, sed etiam si AU, OX,
32쪽
sint aequales, pars excessus clausa circumferentia
EM SE, spirali EI, circumserentia i TV, &recta EV, erit aequalis trapezio parabolico RG X in Idem intelligatur de alijs partibus, dummodo semper A E, do, aequaliter secentur. Ex hac doctrina, & ex schol. r. propositi s .Lb. l .de Infinit. Parab. deducemus, quod si centro Α, inte uallo A V, describatur quaelibet circumferentia V TI: erit totus excelsus ad partem sui cIausam cur
vis A l, l T V, & recta A v, ut potestas E A, duplici glada altior potestate spiralis, ad similem po-
33쪽
as Da Infinitorum SyrHum testatem Av. V. g. in lineari, ut cubus EA, adcubum AU. In quadratica , ut Madratoquadra- tum ad quadrato quadratum, &c. Ratio est, quia excitat. schol. trilin cum RG C Q. est ad trilineum ad verticem GOX, in praedictis rationibus. Quae doctrina diligenter notetur, ex ipsa enim non pauca faciliter in posterum deducemus.
Si intra circulum circumscriptum primo patio hebco ducatur
circulus concentricus. Erit armilla, excessus ἰprimi circ
byupra ductum, a partem excessus quam comprehendit,
Ut tot medietates amborum radiorum circulorus, qaotus est numerus gradusspiratu binario auctus , ad tot numerotcrmiuos proportionis, continuata ratione radii maioris ad minorem, quorump rimus sit radius maior.
IN eodem schemat . centro A, radio AU, sit
quili et circulus concentricus ipsi EM SE, &apso minor, secans excessum, & spatium, ut in scheia latu. Dico armillam circularem cuius latitudo UE, quai cst disserentia circulorum, esse ad partem excessus, quam continet, nempe illam, quam claudunt
peripheria E M SE, spirali EI, circumferentia V TI, &rect a UE, ut tot medietates ipsarum EA, Α V, quotus est numerus gradus spiralis binario auctus, ad E A, A v, cum tot continue proportionali bus proportionis ΕΛ, Λ V, continuatae, quotus
34쪽
Spatiorum Mesera est idem numerus gradus spiralis hinario auctus'. V. g. inspirali lineari, ut 3. medietates ipsarunx EA,
A V, Ru ut E A, A V, sesquialterae, ad EA, A R
cum tertia proportionali - in quadratica, Vt q. m dietates EA, A V, seu ut ipsarum duplar, ad EA, A V, cum duobus aliis terminis continue proportimnalibus. Et sic in infinitum. i . iTrilineum parabolicum anteced. proposit. sit se ctum cum triangulo sibi circumscripto linea NG X, RQ, parallela, Vt QR aequetur E U. Patet faci-- liter ex propositi anteced. & ex eius Rhol. sicuisti
35쪽
ao M l ni πω. Spira umtum triangulum ROQ, est aequale toti circulo ra- dij A E, & totum trilineum RGOQ, est aequale toti excessui, sic trapezium RNXQ, esse aequale armillae latitudinis UE; re trapezium RGXQ, esse aequale excessui ab armilla comprehenso. Ergo armilla ad excessum , & trapezium triangulare ad trapezium trilineare, habebunt eandem rationem . . Iunc , ratio trapezij RNX Q, ad trapezium
componitur ex ratione illius ad parallelogranimum, & huius ad trapeetium RGXQ. ost ex α. parte propolit. s. lib. pri. de Infinit. Parab. est trapezium
Sut OX, OQ, seu viduae medietates ΟX, O in ad duplam QO, sic tot medietates OX, OQ, quotus cst numerus gradus spiralis binaria auctu , ad tot numero QO. Ergo R NYQ, erit ad YG, ktillae tot medietates ad tot QO. Sed Υ in est ad RGXQ, ex loc. eitata mea QO, quotus est nu- in erus trilinei unitate auctia I s nempe quotus est numerus spiralis binario auctus ad QO, OX, cum ali, terminis proportionis dis, ad OX, coni,nuatae ad tot terminos, ut Dum ruS ς rum e cedat
Bumerum uiuo ei unitate i nempe spiralis binario .PErgo ratio trape Zij triangularis, ad A si X eon, ponetut ea ijsdem rati0nibus. Sed ex ipsis componitur etiam rario tot taedietatum O, OX, quoius est a merus spiralis binario auctus, ad QO,.OX, cum illa tot numero tetmiuis. Ergo etiam
36쪽
Spatiorum Mensera. 2 IirapeZiu ix ad trapeae iam , & consequenter armilla Iatitudinis U E, erit ad partem eineessus dictara, quam comprehendit, ut illae tor medietates ad illas proportionaleS. Nempe, ut tot medietates ipsarum EA, AV, quotus est numerus hiralis binario auctus, ad EA, AV, una cum totalijs proportionalibus , quae sitimi adaequene eundem numerum spiralis binario auctum. . 3
Ergo per conmersronem rationis,erit armilla radii VE, ad partem spatij hclici quam claudit, nempe ad illam, quae clauditur recta V B, & curvis IE, IU, ut illae medietates ad excessum ipsarum supra illas proportionales. Nempe in lineari ut sesquialtera EA, AU, ad excessum unius medietatis EA, AV, supra tertiam minorem proportionalem. In quadratica, ut excessus EA, AV, supra tertiam, &quartam minores proportione'&c.
circulus ductus concentricus, erit ad parum excessus, quam continet, qui potestas radii circuli maioris eiusdem radus
cum spirali, ad talem partem similis potestatis radV aeum,
quae se haseat ad totam, mi Mnarium adnumera spira-hi binario auctum, Ia
37쪽
IN Eodem schemate . Dico circulum radii
AV, essem ad AIT VA, partem excessus quam claudit, ut potestas EA, eiusdem gradus cum spiraIl, ad partem similis potestatis A V, qua se habeat ad totam potestatem A U, ut binarium ad numerum spiralis binario auctum. Nempe in luneari, ut EA, ad A V. In quadratica, ut quadratum EA, ad ἰ quadrati AU. In cubica, ut cubus EA, ad cubi AU. Et sic discurrendo. Triangulum enim No X, est aequale circulo radii, AU, & trilineum GOX, aequale excessui A s T V; ergo triangulum ad trilineum, & circulus ad excessum erunt in eadem ratione. Sed intellecta recta G o, triangulum N O X, est ad triangulum GOX, ut NX, ad G X inempe ut tota circumferentia UTI V, ad circumserentiam UTI NX, enim, x GX, sunt aequales illis circumserentiis: & triangulum GOX, est ad trilineum GOX,
ex schol. pii proposit. I. Iib. t. de Infinit. Parab. numerus trilinei unitate auctus nempe ut numerus
spiralis binario auctus in ad binarium, nempe , Ut G X, ad talem sui partem; seu ut circumferentia IT V, ad talem sui partem. Ergo ex aequali, erib NOX, ad trilineum, & consequenter circuluS ra- dij E A , ad pat tem excessus A I T V, ut tota ci cumferentia radii AV, ad talem partem UTI, quae se habeat ad ipsem, ut binarium ad numerum binario auctum . Sed ut circumferentia radii A V., ad dictam partem circumferentiae. UTI, sic circum se
38쪽
rentia radij E A, ad similem partem cireumferentiae EMS: & cum sit ut circumferentia radij A E, ad EMS, sic potestas EA, eiusdem gradus cum spirali , ad similem potestatem AI, seu AV; unde est etiam ut circumferentia radii A E, ad talem partem E M S, quae se habeat ad ipsam, ut binarium ad numerum binario auctum,sic potestas ΕΛ, eiusdem gradus cum spirali ad talem partem similis potestatis A V, quae se habeat ad ipsam, ut binarium ad nummrum spiralis binario auctum . Ergo a primo ad ultumum, erit circulus radij A V, ad excessum AITV, ut dicta potestas EA, addictam partem similis potestatis AU. Quod erat Ostendum.
Per conuersionem ergo rationis erit circulus radii A V, a i partem spatij , quam claudit , nempe ad AIVA, ut dicta potestas EA, ad excessirin ipsius supra dictas partes potestatissimilis A U.
Vt imitaremur Caualerium in lib 6. Geom. Indi. ostendimus 6. propositionem per indivisibilia r v sum ipsum omnimode insequentes,illam ostendemus ii odo Archimedeo, & ipsam demonstrabimus uniuersalius: non modo quia agemus de infinitis spirat Lbus, cum ipse de unica egerit dumtaxat, sed etiam a quia
39쪽
a 4 De Insinuorum Epiratium quia aemumsiditer considerabimus trilinea , &no praedictis tricossibus aequalia tantum , ut fecit Caualerius . Modus iste ostendendi Λrchimedeus non modo potin seruari in ista propositione, sed etiam in omnibus alijs sequentibus, in quibus particulariter in spirali lineali ipso utitur Caualerius; & quidem semper duplici de causa uniuersalius. Uerum nosip-siam non adhibebimus nisi in ptiesenti propositione. In alijs etenim Vae mur regali,& facili indivisibilium
via relinquentes illam archimedeam ijs, qui in rebus geometricis cupiunt excluciari. Verum tamen est, quod si quis optabit ostendere illas propositiones Ar-i hinae loe, id ei lici bit perficere, attente consideratas: qi emzi pro postic ne, & ad ipsus instar, sed congru- crati ni Odo, operando, & discurrendo.
Circulus ad excelsum fia Fupra quodbbet spatium spirae exprima resvolutionc cum baίδι proportiouem , quam b-bet triangulum circum sirpium trann Uno gradu altior pi . rati, ad ipsum.
Sit quac iique spiralis ex prima reuolutione iaASRMB, curia sibi circumscripto circulo BD CE, & sit quodlibet triangulum reaingulum cum sibi inscripto trilineo FGH, uno gradu altiori gradu spiralis, ut dictum fuit supra. Dico circuli indictum, esse ad excessum ipsius supra spatium
40쪽
Spatiarum Mensum Pspitale A S R M B A . ut triangulum F G H, ad trilineum FGH, sibi inscriptum.
Si triangulum non est ad trilineum in eadem ratione cum circulo ad illum excessum,vel est in maiori, vel in nunori. Sit primo in minori. Frgo trianguli. m ad aliquid minus illo trilineo erit in eadem ratione. Sit excessus quo trilineum se perat magnitudinem, ad qVam triangulum est in eadem ratac ne cum circulo ad illum excessum. HG, basis