장음표시 사용
41쪽
ωι De Inmiserum Distis trianguli diuidatur bifariam in Π, & partes rudum bifariam in P, r, & hoc semper fiat, donec avertia ce F, ductis FV, FH, FP, tandem deueniatur ad triangulum FyG, quod sit minus spatio &per
puncta I, h, L, ubi ductae a vertice F, seeant curvam parabolicam, ducantur parallelae ipsi HG, ut in schemate. Habemus ergo trilineo circumscriptam figuram constantem ex triangulo FI Q, & ex tr pezijs kQ, LT, HU, & alteram inscriptam con- flantem ex trapegijs N Q, OT, PU; & excessus circumscriptae lupra inscriptam minor est spatio 'rquia excessus praedictus ut consideranti patet in a quatur triangulo FVG, quod ex constructione, est aequale Ergo trilineum superabit figuram sibi inscriptam multo minori quantitate quam sit '. Ergo triangulum H FG, ad talem figuram in trili-- neo inscriptam adhuc erit in minori ratione quam circulus ad excessum supra spatium spirale. Quod
Tunc AB, diuidatur similiter in 3, q, , sicuti
diuisa est FG, in Q, T, V: α centro A, interualis lis H 3, A q, A 7, describantur circumserentiae I S, 'R, 789M, secantes spiralem in S,R,M, per quae transeant A SD, ARC, A ME, productis ad
moniam ergo circumserentia BD C E B, ad circumferentiam 7 8 9 M, est ex proposit. s. ut potestas B A , uno gradu altior potestate spiralis, adsi-- milem potestatem Ara, & AB, GF, se ne sunt pror
42쪽
portionaliter in 7, Vs unde est ut potestas B A, uno gradu altior potestate spiratis,ad similem potestatem A r, sic similis potestas G F, ad similem potestatem. FV; ergo & circumferentia BDCEB, erit ad circumserentia 78 9 M, ut potestas GF, uno grada altior potestate spiralis c nempe eiusdem gradus cum trilineo, quod supponitur unoigradu altius spirali ad similem potestatem FV. Sed ex natura trilinei, est ut praedicta potinas GF, ad potestatem FV, D a sie
43쪽
cumferentia BD CEB , ad circumferentiam . 8sM . Eodem modo probabimus, circumferentiam BD CEB, esse ad circumferentias 4 R, 3 S,
ut HG, ad Κ Γ, Lin idemque probabimus de
alijs circumferentijs inscriptis in excessu, si adessent. Cum ergo sq, sit proportionalis ipsi QTs ci cumserentia 3 S, ipsi I in & circumferentia 4 . ipsi N Tt Ergo fiscia circularis 3 S R4, erit proportionalis trapezio N ex luculenter explicatis in proposit. 7. lib. a. de infinit. parab. & in scholijs eiusdem; unde erit circulus totus ad fasciam praedictam, ut triangulum H FG, ad traperium IX. Eodem modo probabitur esse circumferentiam ad fasciam q*R9 8 7, ut H FG, triangulum ad trape-Zium k V; N eirculum ad fasciam νους MECDB, ut triangulum ad trapezium LG; & sic probaretur de alijs. Ergo circulus erit ad omnes fascias inseriptas intra illum excessum, ut triangulum ad omnia trapezia inscripta intra trilineum. Sed triangulum probatum est supra, esse ad omnia trapezia inscripta in trilineo, in minori ratione, quam circulus ad excessum illum. Ergo circulus ad omnes fascias inscriptas intra cxcessiim , erit in minori ratione, quam ad excessum ipsum. Quod implicat. Qua κ&c. Sed nec etiam erit triangulum in maiori ratione ad trilineum, quam circulus ad excessum. Nam sic, triangulum ad aliquid maius trilineo erit in eadem rationi cum circulo ad excessum. Sit excessio rursual
44쪽
Spatiorum Mensura. as , ut triangulum sit ad trilineum cum R, in eadem ratione cum circulo ad excessum. Dividatur iteru aa
H G, bifariam, & partes iterum bifariam, & con stituantur triangula, ut factam est prius, ut unum triangulorum v. g. F G, minuS sit spatio R. Ergo triangulum ad trilineum simul cum triangulo FVG, erit adhuc in maiori ratione quam circulus ad excessum. Si ergo factis circumscriptione , &inscriptione ut in schemate et patebit triangulum. IF Q, cum trapezijs kl, LE, HL, quae sunt aequalia excessui figurae circumscriptae supra trapeZia N OT, P V, inscripta, aequalia esse triangulo FVG. Ergo figura circumscripta superabit inscriptam spatio minori Ergo figura circumscripta superabit trilineum multo minori quantitate. Ergo triangulum ad figuram circumscriptam crit in multo maiori ratione, quam circulus ad excessum. Sed e dem modo, quo factum suit supra, probabimus, circulum ad sectorem SA 3, esse ut triangulum ad triangulum IF Q: & circulum ad fasciam 34 R'S3, ut triangulum H F G, ad trapezium kQ: &sic de alijs fascijs,& trapezijs circumscriptis excessui prae- . dicto, & ipsi trilineo. Ergo circulus ad totam figuram excessui circumscriptam, erit ut triangulum ad figuram circumscriptam trilineo. Ergo circulus erit in maiori ratione ad figuram circumscriptam excessiij, quam ad ipsum excessum. Quod iterum implicat. Ergo m. Quod Sc. . ,
45쪽
Ergo per conuersionem rationis, erit circulus ad ipsum spatium spirale, ut triangulum ad excessum. ipsius supra trilineum. Cum ergo ostensum sit in schol. I, proposit. I.lib. a.de Infinit. Parab. esse triangulum H FG, ad excessiim ipsius supra trilineun , ut numerus trilinei unitate auctus, ad numerinii tritunei unitate minutum: erit & circulus ad spatium spirale, ut numerus trilinei unitate auctas, ad ipsam Vnitate minutum: nempe ut numerus spiralis binario auctus ad ipsum numerum spiralis numerus enim trilinei superat semper numerum spiralis unitate .9Brit ergo circulus ad primum spatium spirale,ut 3. ad i. Adsec. ut 6. ad L. Ad tertium, Ut s. ad 3. Et ficin infinitum, auctis semper antecedente, &cos sequente unitate.
Si in spiralem quamcunque ex prima reuolutione ortam ducatur linea, ω centro iniris, interuallo illa linea describatur circulus. Erit primus circulus stirali circumscriptus, adsectorem circuli deseripti contentum duora linea se egrportione absisse a linea , qua es mitium reuolutionis ιup cedentia, mi potestassemidiametraprimi circuli dupliaci gradu altior pote fiat poralis,adsimilem potestatom. radii alterius circisti .. Esto
46쪽
Spaturium Mensum, at E to quaelibet spiralis ex prima reuolutione orta Al E, in qua ducta ubilibet ab initio A, linea Al, centro A, interuallo At, sit descriptus circulus VIT U. Dico circulum radii A E, esse ad foectorem A V TIA, ut potestas E A, duplici gra.du altior potestate spiralis , ad similem potestatemAI , sed A V. Nempe in lineari, ut cubus ad cubum . In quadratica, ut quadratoquadratum ad qua iratoquadratum &c. Nam circulus radij A E, adsectorem AVTIA, habet rationem compositam ex ratione ipsius ad circulum
47쪽
11 De Infinitorum Spiralium culum radii A V, & huius ad lectorem. Sad ut circulus radij A E, ad circulum radij A U, sic quadratum A F, ad quadratum A Vr & ut circulus radii A V, ad scoorcm A V TI A, sic peripheria VTIV, ad peripheriam VTI; ncmpe se peripheria EM SE, ad peripheriam EMS: & ut peripheria EMST ad EMS, sic potestas E Α , eiusdem gradus
cum spirali, ad similem potestatem AI, seir AU, ex proposit. 2. E igo circulus radii A E, adsectorem A V T IA, habebit rationem compositam ex ratione A E, ad quadrati quadratum A V, & ex ratione potestatis AE, eiusdem gradus cum spirali, ad similem potestat ira A V. Sed ex his duabus rationibus componitur ratio potestatis A E, duplici gradu a litoris potestate spiratis,ad limitem potestatem A V. Quare patet propositum.
Cum in si hol. propc sit. 6. probatum sit, esse e cessum circuli radij A si, supra spatium spirale, ad sat partem continiam recta AV, & curui, Aa, a T V, ut potestas pariter E A, duplici gradu altior potcstate spiralis, ad similem potestatem A V. Erit etiam praedictus excessus ad talem sui partem , ut cim cuius radij A E, ad sectorem A V TIA. Ex qua analogia, seu similitudine proportionum licebit varia veluti corollatia deducere.
48쪽
Deducemus enim primo, quod intellecto trilineo parabolico RGO uno gradu altiore gradu spirali, , cum sibi circumscripto triangulo R U Q; eritti iangulum ad trilineum, ut sector AVTIA, ad excellum ipsius supra portionem spatij spiralis eo prehensam recta,& curua A I. Quod patet, quia cum ii otus circulas radi Α Ε, ad sectorem AUTIA, ut excessus circuli radij AE, supra spatium spirale E ad
49쪽
34 De Infimostrum Spiraum ad partem ipsius comprehensam recta AV, &curis uis UTI, IAr erit etiam permutando, circulus radi j A E. ad excessum, ut A Vmi Α, ad illam partem excessus, quam comprehelidit. Sed ex proposis. est circulus ad exccssum, ut triangulum ROQ, ad trilineum. Ergo vitam sector ad illum excessum erit,ut triangulum ad trilineum.
Deducemus a. csis etiam per conuersionem rati nis, sectorem AVTl A, ad partem spatij spiralis Contentam recta, & curua AI, ut triangulum ad excessum ipsius supra trilineum. Nempe iuxta e plicata in schol. eiusdem proposit. ut numerus spiralis binario auctus,ad numerum spiralis.
Deducemus etiam armillam circularem cuius latitudo SI, vel VE, una cum sectore A VIA, essead spatium comprehensum rectis AI, A E, &εitrua El, ut numerus binario auctus, ad numerum. Cum enim probatum sit, esse ut totum ad totum, ita ablatum ad ablatum, nempe ut totus circulus adtotum spatium, sic ablatum sectorem A VTl Α, ad ablatum spatium: erit & reliquum ad reliquum ut to
tum ad totum. 1Diuitigoo by GO le
50쪽
Deducemus A. esse totum spatium spirale ad portionem sui contentam recta, & curua ol, ut poteris A E, duplici gradu altior potestate spiralis, ad similem potestatem AI, seu A U. . Cum enim probatum sit, sic esse totum circulum ad totum spatium, ut sector AU Γ IU, ad partem clausem. recta. , ω curua AI. Erit etiam permutando, ut totus circu- Ius adsectorem, nempe ex praesenti proposit.'pOE a testas