장음표시 사용
51쪽
De Infinitorum Spiralium testis A E, duplici gradu altior potestate spiralis, ad similem potestatem Al, seu A U, sic totum spa-uam spirale , ad sui partem clausam recta , &cur
Non diuerso modo quo factum est in coroll. s. deducemus s. in schem, proposit, sequen. ductis ab A , initio spiralis A XC DB, duabus lineis AC, AD, intercipientibus spatium intermedium spirale C AD, ac semidiametris AC, AD, descriptis circulis , esse sectorem O AD ,. simul cum fascia CO G EU , ad spatium C AD , venumerus binario auctus ad numerum . Ex dictis enim , est in dicta ratione tam totus sector A D O GEA, ad totum spatium ADCX6, quam ablatus sector A CNVA, ad ablatum spatium AC X. Ergo & reliquum ad reliquum erit, ut totum ad totum: nempe in dicta ratione.
Si ab iuitis cuiuscunque spiralis ducantur duae linea terminais Φa ad suo puncta lutermedia spiralis, centro initio , im te alti mitora duo arum describatur circulas . Setrarcircuu scriptus spatio spirab a duabus ductis clause , erit adesem , it factum sub quadrato maioris ductae in disserantiam potestatum ductarum eiu sum gradus cum ipse
52쪽
Spatiorum ruensura. 3Trali, a sui tales paries, c ampis ae ferentia quadratorum Astarum in potestatem minoris eiusdem gradus c. pirat, quaese habeant ad ba acta ut numerus spi
ratis adnumerum auctum binario,
Eixo qRaelibet spiralis A X C D B, & ab initio
A, sine ductae AC, AD, & centro A, interuallo AD, maiori sit deseriptus circulus, &c. Dico sectorem O AD , esse ad segmentum spirale CAD, ut factum sub quadrato OA , in differentiam potestatem o A, AC, eiusdem gradus cum spirali, adfui tales partes, & facti sub differentia quadratorum Ο Α, AC, in potestatem AC, eiusdem gradus cum spirali simul, quae se habeant ad haec facta, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum. U. g. in lineari , ut factum sub quadrato o A, in O C, ad: ipsius, &facti subdisserentia quadratorum OA, A C, in A C. in quadratica, ut factum sub quadra
53쪽
38 D. I nitorum Spiralium to O M in disserentiam quadratorum o A, AC, ad huius, &sacti sub eadem differentia in quadratum C A. In cubica , ut factum sub quadrato O A, in differentiam cuborum OA, AC, ad y huius facti,& facti subdifferentia quadratorum O A,
CA, incubum C A. Et sic in infinitum. Centro etiam A, interuallo AC, describatur alius circulus. Quoniam sector OAD, est adsectorem C A M, ut qaadratum OA, ad quadratum C A: ergo per conuersionem rationis, erit ad fasciam MDOC, ut quadratum OA , ad disserentiam quadratorum, ori, A C. Quoniam vero ex coroll. proposit. prim. est circumferentia D O, ad circumferentiam OGE
nempe fascia circularis MDOC, ad fasciam C OG E V, in ut differentia potestatum AD, seu O',& 6 C, eiusdem gradus cum spirali, ad similem potestatem AC: & sector OAD, ad fasciam COGEU, habet rationem compositam ex ratione ipsius ad fasciam M D O C, & huius ad fasciam. C OG E V. Ergo sector ad fasciam OBG E V, erit in
ratione composita ex ratione quadrati, OA , at disserentiam quadratorum O A, A C, & ex ratione differentiae potestatum OA, AC, eiusdem gradus cum
spirali, ad similem potestatem C A . Ergo sector erit ad talem fasciam, ut factum sub quadrato OA , indifferentiam potestatum OA, CA, eiusdem gradus' cum spirali, ad factum sub differentia quadratorum o A, CA, in potestatem Co, eiusdem gradus cum spirali. Et conuertenda, & componendo erit Δ-
54쪽
scia cum sectore ad eundem sectorem , ut factum subdisserentia quadratorum OA, C Λ, in potestatem C A, eiusdem gradus cum spirali,cum facto sub quadrato OA , in disserentiam potestatum OA, CA, eiusdem gradus cum spirali, ad hoc secundo lactum.
Et rursum conuertendo, crit sector ad fasciam cum lectore, ut secundo factum ad ambo saeta. Sed ex coroll. s. proposit. anteced. sector DA O, cum fa
scia COGEU, cst ad spatium spirale Co D, ut
numerus spiralis binario auctus ad numerum spira- lis; nempe ut a bo illa facta ad tales partes ipsorum, quae sint ad ipsa facta, ut numerus spiralis ad num rum binario auctum . Ergo ex aequali, sector OAD,
erit ad spatium spirale C 4 D, ut factum sub qu drato Ois, indifferentiam potestatum OA, CA, ciusdem gradiis cum spirali, ad tales partes ipsus, es facti sub differentia quadratorum O8, Cδε, &sub
55쪽
o De In inrum lura mpotestate C A, eiusdem cum spirali gradus, qua se habeant ad haec facta, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum. Quod&c.
Notandum tamen est, quod quamuis supradicta propositio propossita sit de segmento intermedio CAD, & de sectore EI, circumscripto, hoc tamen non est ita intelligendum, quasi non veri ficetur etiam in signaciato D AB, & insectore EI circumscripto. Simili cnim discursu obteniretur in
sed in prima, & secunda spitali faciliorem rati
nem sectoris ad spatium possumus, ex dictis, assignare. In prima enam spirali, ς rit sector ad spatium, ut quadratum AD, seu OA, ad rectangulum OAC, chim quadrati O C. In secunda autem , erit ut idem quad satum O A, ad rectangulum OAC, cum, scii cum dimidio quadrati O C. Primum patet: quia cum ex rogula generals deducatur, sectoi cm cse ad spatium, ut factum sub OC, in quadrati m . OA, ad ' huius .facti sub differ c ntia quadratorum OA, AC, in AC; nempe facti sub OC, incompositam ex OC, & dupla C A, &Iub CA:&cum in Omnibus praedictis solidis sit unum commune lati's, nempe o C: sequitur sectorem esse ad ι patrum, ut quadratum OA , ad ' ipsius,&rcctanguli sub C A, & sub composita ex OC, & di pia
56쪽
CA. Cum vero hoe rectangulum sub CA, &sub composita ex OC, &dupIa C A, sit aequale duplo
quadrato C A, α rectangulo OCA. Sequitur sectorem esse ad spatium, ut quadratum OA , ad ἔeius lena, simul cum ἰ duorum quadratorum C Α,& rectanguli OCA. Sed ἰ horum planorum est rectangulum P ΑC. cum ἰ quadrati O C. Quia quadratum ΟΛ, diuiditur in quadrata OC, CA,& iii duo rectangula OCA. Colligendo ergo omnia haec plana, habebimus tria quadrata CA; tria rectangula OC As &quadratum P C. Quorum est unum rectangulam OCA, cum vno quadrato CA nempe rectangulum OACὶ eum ἀ quadratio C. Quare patet primum. Fere eodem modo patebit secundum. Quia cum sector si ad statium, ut factum sub O C, in compositam ex OC, S dupla CA hoc enim rectangu-
57쪽
a De In isdrum syralium tum est differentia quadratorum OA, AC &subquadrato DA, ad dimidium huius facti,&facti sub
eodem rectangulo in quadratum C A: & cum haec omnia facta habeant commune planum rectangulum sub OC, in eompositam ex OC, & dupli C A : sequitur sectorem esse ad spatium, Ut quadratu m O A, ae dimidium quadratorum OA, AC Sed dimidium horum quadratorum est rectangulum, o AC, cum dimidio quad rati OC, ut consideranti patebit. Quare secundum est manifestum.
Ex dictis ergo in superiori scholio,paterin prima, S sec ada spirali, sectorem ad spinum sertis relumcordinem, ut sit ut quadratum maioris duci ἡ; ad rectangulum subductis , una cum tali parte quadrati differentiae ductarum, quae sit ad ipsum, Ut numerus spiralis ad numerum binarib auctum; nempe ad ἰ, &ad dimidium, nempe ad '. Forsitan ergo quis posset cogitare talem proportionem sectoris ad spatium seruare hunc pulcherrimum ordinem, ut in tertia sit, ut quadratum O A, ad rectangulum ' O A C, cum: quadrati O C. In quarta cum quadrati O C. Et sic in infinitum. Sed qui sic putaret nimis a se PO aberraret, sicuti patebit in numeris experienti in tertia spirali, supponamus enim facilitatis gratia, O A, esse duplam A C. Quoniam cubus OA , esset η , & cubus C A , I: ergo differentia cuborum
58쪽
austrum Messura OA,. AC, esset 7. tam ergo quadratum P Α, sit . Ergo factum suti quadrato o A, &subdifferentia euborum i OA ,s AC, effet 18. Patiter factum sub differentia quadraeorum O A; A C, nempe sub 3.&subcino Cis, nempe sub i, esset g. Ergo sector
esset ad spatiani vi 28. ad tria quinta 3I. nempe ad nempe, Ud 6. ad 2. & v. Cum tamen quaadratum OA , sit ad rectangulum OAC, cum iquadrati OC, ut A. ad 2, Cum ' nempe cum ii r
59쪽
D Litorum θω lium ad tales partes differentia potestatum ductarum duplici gradu altiorum patectate spirassis, supra similem potest rem minoris, qua se habeant ad totam dictam disseremtiam, ut numerus spiriasis ad numerum spiralis binario auctum.
Eodem enim modo, quo supra factumsuit,oste
demus , circumserentiam DO, esse ad eircumferentiam DSGE, vidisserentia potestatum DA, AC, eiusdem gradus cum spirali , ad similem potestatem DA, seu O Cum autem sit, Vt circumserentia DO, ad circumferentiam DOE, sesector A DO, ad sectorem A D. DER; -&paritet
cum sit, ut praedacta differentur ad Taedictam pol statem O A , sic factum ex dicta differentia in quadratum o Α , ad potestatem, o A p da plici gradu altiorem potestate spiralis . Ergo feracis D A o, etit adsectorem AD O EA, Vt factum fab dicta differentia potestatum o A, AC, eiusdem gradus cum sp, rati, in quadrarum o A , ad Mestatem so A, d plici grada altiorem potestate Upiralis). Aesector
A D O E A, est ad spatium spitale A X C D A M
numerus spiralis binario au ctus, ad numerum, ex coroll. 2. pr pom. O ncmps ut potestas o Α, dupli
ci gradu altior potestate spiralis, ad tales partes sui quae se habeant ad ipsam, ut numerus ad numerum binario auctam. Ego exaequali, sector D A O, erit ad A X C D A, ut factum sub praedicta disserentia in quadratum QA, addictas partes potestatis . A.
60쪽
Spatiarum Mensura; η 3Rursvin , cum spatium spirale A x C D A, sit ad spatium A XCA, ut potestas DA, o A, duplici gradu altior potestate spiralis, adsimilem pote
itatem CA, ex coroll. . proposita o, nempe ivt tmies partes talis potestaris OA , quae ur habean adipiam, ut numerus spiralis ad nil erim3 binario auctum, adsimiles partes potestatis CA: et it per conuersionem rationis, A X COA , ad AC D, urtales partes potestatis O', adeacessum ipsarism supra similes partes potestatis C A. Quare rursum ex aequali, erit sector DA ad segmentum C AD, vefactum subdifferentia potestatum O , C o, elusidem gradus cum spirali, in quadratum OA, ad tales partes differentiae potestarum OA , AC, duplici gradu alitorum potestatς spiralis, quae se habeant ad totam differentiam , Ut numerus spiralis, ad num e riinibiturin auctum. &c.
Ex hac proposit - & ex anteced. quamuiS extra H. tentum, colligemus, differensiam potestatum o Α, AC, euius liber gradus, aevalem sore facto sub qua draici OA , in differentiam potestatum O A, A C, dupli gradu inferiorum ,&facto sub differentia quadratorum O o, 6 C, in potestatem C A, itidem duplici gradu inferiorem. v. g. disserentia quadrat quadratorum OA, AC, erit aequalis facto sub quadrato oo, & sub disserentia quadratorum BA,