장음표시 사용
61쪽
disserentiae, εὶ similis erit ambarum progressio. in Quo demon-
st ato, consequens est etiam ut
areae his lineis descriptae sint in progressione consimili cum spatiis quae velocitatibus describuntur. Ergo fi velocitas initio primi temporis AK exponatur per lineam AB, dc velocitas initio secundi x L per lineam Κώ, dc longitudo primo tempore descripta per aream AKkB; velo-
Citates omnes subsequentes exponentur per lineas subsequentes Ll, Mm dcc. & longitudines descriptae per areas κι, Lm, &c. Et composite , si tempus totum exponatur per summam partium suarum A M, longitudo tota descripta exponetur per summam
partium suarum Aum B. Concipe iam tempus A M ita dividi in partes A XL, L M, &c. ut sint CA, CH, CL, C M, Sc. in progressione geometrica ; dc erunt partes illae in eadem progressione, & velocitates AB, Kk, LI, Mm, &c. in progressione eadem inversa, atque spatia descripta A k ,
62쪽
DEΜo- Corol. I. Patet ergo quod, si tempus exponatur per asy Tu C R toti partem quamvis AD, & velocitas in principio temporis y0RV per ordinatim applicatam AB; velocitas in fine temporis ex-sgeus, per Ordinatam DG , dc spatium totum descriptum. per Silcr. II. aream hyperbolicam adjacentem ; necnon spatium , PROP. V. quod Corpus aliquod eodem titempore AD, Velocitate prima AB, in medio non resistente de scribere posset, per rectangulum A B κ. A D. Corol. . a. Unde datur spatium in medio resistente descrip
tum, capiendo illud ad spatium quod volocitate uniformi A B in
scribi posset, ut est area hyperbolica ABG D ad rectangulum
C-oy in 79. 'ν rectangultim Α B M A D. sunt etiam aequalia , liquet spatium in me-Si enim velocitas A B, manet eadem, tem- dio resistente deseriptum tempore quovis pote ΑΚ, describet corpus spatium Α BκΑΚ, Α D , esse ad spatium eodem tempore dum in medio resistente deitaibit spatium in medio non resistente deleriptum velocita- Α Β k Κ , tempore Κ L velocitate ΑΒ te Α B, tu est area h)verbolica Α C G Ddescribet spatium A B κ Κ L, dtim in meis ad tectangulum Α Β κ A D. dio resistente describit spatium Κ h l L, & so. corollario primo sequitur , te ita deinceps 14. lib i. ; Quare tempore pore infinito spathiari insi .litum describi in ΑΜ velocitate prima Α B in medio non medio quod resistit in ratione quadrati vel resistente describet corivis spatium A Bκ citatis. Non enim evanestet GD, hoc est, ΑΚ Φ ΚL I. M) α ABκΑΜ , Sc velocitas tota extincta non erit, nisi infinita tempore Α D . spmium ABNA D. Et evadat recta A D , hoc est nisi tempus quoniam ipsis ino u initio, est area ABkK, motus sit infinitum , tuneque infinita fit aequalis rectangulo A B κ Α Κ , atque spa- area A B G D , leu spatium desciiptum est tia in medio resistente dc in medio non insinuum. resistetite descripta temporis momento A K,
63쪽
ciret. 3. Datur et lam resistentia medii, statuendo eam ip- DEM so motus initio aequalem esse vi uniformi centripetae, quae in cadente corpore, tempore A c, in medio non resistente , generare posset velocitatem AB. Nam si ducatur B T quaes Leuso. tangat hyperbolam in B, 6c occurrat asymptoto in T; re-SE . u. cta aequalis erit ipsi AC, & 'ὶ tempus eXponet, quo sistentia prima uniformiter continuata tollere postet velocitatem
Corol. H p datur etiam proportio huius rei stentiae ad vim gravitatis, aliamve quamVis datam vim Ce Cora
resistentia prima temporis momento Α Κ, tollit velocitatem AB - Κλ, seu Be, Meadem uniformiter continuata i mporis momento K L, sive Α Κ , tolleret etiam voloe tatemhωBe, bc temporis mome in I. M, seu AK, velocitatem g h α B M atque ita deinceps Quarε resinentia prima uniformiter continuata tempore ΑΤ
tolleret velocitatem totam Α Β , quia est vi unitaria centripetae qim in rade A B aequalis est omnibus differentiis ae eo ore, tempore A T sive AC, inmuB ς, k f, g h, Sce. usique ad T ; via autem dio non resistente generare posset veloci centripeta quae tem re A Κ, producit ve- tatem A B. locitatem B e , aequὼis est vi quae eodem p inti datur etiam p oportis.
mPori. momento eandem velocitatem Sunt enim viris centripetae unitor nici ut
B e e tinguit, seu aequalis est resistentiae veta: itates quas dato tempore producunt prin M, di illa vis centripeta uniformis ma- iι. lib. r.)δc ideo erit resisten a primandi s toto tempore ΑΤ, totam velocita- ad gravitatem ut velocitas quam producito e )AB , produceret, quam resistentia pri- vis centripeta uniformis cui resistentia il-ma uniformis manens eo em tempore ex- la aequalis supponi potest , ad velocitatem
64쪽
DE M 3- Corol. s. Et vice versa, si datur proportio resistentiae ad da-TU CQR'tam quamvis vim centripetam; ' datur tempus AC, quo Vis centripeta resistentiae aequalis generare possit Velocitatem quam-skeos n. Vis ς α inde datur punctum B per quod hyperbola asymp- Secr. CH, CD, describi debet ; ut & spatium A B G D,
P De. V. quod Corpus incipiendo motum suum cum velocitate illa A B ,διδ tempore quovis A D , nn medio similari resistente describeret potest.
semia aeqvalis generare possi v citarem A B. Si enim detur vis quaedam centripera, dabitur tempus quo uclocit tem A Bgenerare potest. Tempora autem quibus dis versae vires centripetae eam lim velocitatem sent rare possunt, iunt iiiverse ut illae vires ; Ergo si datur ratio vis centri petae cui resiliemia est aequalis ad aliam vim datam , dabitur ratio temporis quo haec vis velocitatem A B generare potest ad tempus quo vis, cui resistentia est aequalis eam velocitatem generat , hoe est datur tempus A C.
anim datis, datur tum area AB G D , iumrectaragulum ABκΑD , ilim spatium quod Uu'us tempore AD, cum data velocitate in i firmi A B , describeret in medio non resistente , ide Rue eum sit A B κΑD, ad Λ B G D , ut spatium tempore AD N velocitate A B in medio non resstente descriptum ad spatium eodem tempore descriptum in medio resistente precer . a. hoc spatium dabitur. 8 r. Scholiιim. Hujus propositionis constructio ad Logarithmi eam reduci salit E posiset ; sed id relinquimus lectoris arbitrio , generalis problematis quod sequitur, soli - ioiaem analyticam tradituri, ut inventi nis sons ipse aperiatur.
gr. Definire motnm eorporis seu vitilia lati in medio quod resistit in rati ne compolita ex simplici ratione deustatis medii, & quavis ratione multiplicata celeritatis mobilis. εἰ loco A egrediatur celus cum velocitate data e & tempore t describat rectam AMαι, sitque eius velocitas in Μαι densitas medii in eodem loco α λ , & resiste ita ν erit II. )rdsα -vd D. Ponatur. it, a resistentia r α , sitque a quantitas data , & habebitur λυ . dr
M , erigatur ad Α Μ, perpendiculum N Pquod exponat medii densitatem , in loco Μ, sique D Pp curva quam punctum P perpetu. tangit, dc erecto altero perpendiculo m P priori M P infinit ἡ propinquo ut sit Μ m md 3 , erit elementum ΜΡpmmhda α- sumptitque fluentibus, area
nescente area Α D P Μ, evanescit quoque
65쪽
Hypoclicii dato spat Io desertino , dabitur posito tempore imo, fiat υ α e & proiadE DE Μο- per quadraturam arcae A D P M , Velocitλε, ἁγώας TU COR-8s. Si mr, & is 1, erit c 8 )i re contra data velocitate dabitur area a D P M , & hine dabitur spatium descrip tum AM, inde etiam s r 4. likli., data velocitate aut spatio dabitur tempus 1, dccontra.
quae est quantitas negativa, ex pressio n- quae est positiva , sustitui possit, fiet s
rus positivus binario minor , descripto sp tio Aiquo finito velocitas omnis extinguitur; at si n biliario aequalis est vel major, spatium infinitum conficitur , priusquam
88. Si in aequationibus temporis & ve-d a locitatis , velocitas υ evadat o , erit
I. Quapropter si numerus positivus quia posito mo, n unitate minor , vel oritas tempore finito extinguitur, spatio etiam finito descripto 8 3. Si ii in unitati aequalis vel
λ ω α e , & proind8 R.' a e ε - .. 8 . si mr, & κα t, hoc est , fidem illna major, velocitas nonnisi tempore in as est uniformis 3c resistentia ut veloci- finito extineui potest, & spatium finitum tu erit 8 a m ae -a υ; & quia cibid. est, si n et, numerus binario minor, instas est uniformis 3c resistentia ut vel iad υ . finitum verb , si a binario aequalis vel
66쪽
Lia ER Corpora sphaerica homogenea er aequalia, resistentiis in duplicata ratione SLCUND. υelocitatum impedita , edi solis viribus insitis incitara, tempora'ux p., vi. reciproce ut velocitares sub initio, describunt semper aequi. TMoa.iv. iiaspatia, ct amitunt partes υelocitatum proporrionales roris.
Asymptotis rectangulis CD, CHAdescripta hyperbola quisis B b E esecante perpendicula AB, ab , D E, de , hi B , b, E, e,
exponantur Velocitates initiales per
perpendicula AB , DE, dc tempora per lineas A a, D d. Est erago ut A a ad D d ita per hypothesim ) D E ad A B, & ita ex natura hyperbolae C A ad CD ;& componendo, ita Ca ad Cd. v Ergo areae Adba, D Eed hoc est, spatia descripta aequantur inter se, 6c velocitates primae A B , D E sunt ultimis a b , de , & propterea dividendo
partibus etiam suis amissis AB ab , DE- de proportionales. E. D.
Corpora spiramica quibus res litur in duplicars ratione υeheirarum, temporibus, quae sunt ut morus primi directe di retensiae primae inmerse, amittent partes motuum proportionales toris, ct sparia describent remporibus istis re velocitaribus primis conjunctim proporris lia. Namque motuum partes amissae sunt ut resistentiae &
67쪽
tempora conjunctim. Igitur ut partes illae sint totis propor- DEΜ0 tionales, debebit resistentia & tempus conjunctim esse ut mo- C R ius. Proinde tempus erit ut motus directe & resistentia inverse Q late temporum particulis in ea ratione sumptiS, Corpora amit. s Ecutio. tent semper parili uias motuum proportionales totis , ideO- SE . II. que retinebunt velocitates velocitatibus suis primis semper Droportionales. Et ob datam velocitatum rationem , describent semper spatia, quae sunt ut velocitates primae & tempora conjun Sim. s. E. D. - Corol. r. Igitur si aequivelocibus corporibus resistitur in duplicata ratione diametrorum: globi homogenei quibuscunque cum Velocitatibus moti, describendo spatia diametris suis proportio ν
y iamque retirisbum vehetrauer in ratione prima, ob datas corporum missast ε. lib. I. et Er a dasam velocitatum rasi nem ra. 19. Tota propositionis huius demonstratio per Analytim hoc modo exponitur. Sis globi cuiusvis massa m , velocitas data initio motiis e , in fine temporis i sit v , reiastentia data initio motus ν, dc quia Husidem corporis resistentiae in divertis locis sint in velocitatum quadrata per Hyp. erit ec, ad τυ, uir, ad resiste amelay
so tempore 3, quae proindὸ erit --. Sed
cx resistentia- est ut motus deer
dilectἡ & resistentia prima ν, invers 1, hoc
Iocitas prima e , ad residuam υ , in rati ne dat E Iam si spatium tempore ε derueriptum dieatur ι, erit i 3 dr v d ι,& quia υ est ut datae, erit d 3 ut eda, sumptisque fluentibus ob datam ea sim a ut e s. Q. E D. m. Quoniam spatiums est ut et ,&r ut
erit euam 3 ut λ globa cui massa m diameter sit D , & daia globi densirete erit massa m, ut volumen c a. lib. x. hoc est, ut diametri cubus D 3 3 -- re erit 3 ut - Si praeterea data v
a r. r. Nam in Hypothesi to. tollarii hujus est n m a. adeoque ι ut
68쪽
DE - tionalia , amittent partes motuum proportionales totis. Μotus Tu COM enim globi cujusque erit ut eius velocitas & massa conjunctim, est, ut velocitas oc cubus diametri; resistentia per hypothe- saeutis quadratum diametri oc quadratum velocitatis coniun SEcr. II. μῆ & tempus per hanc propoDionem) cst in ratione priore P op. VII. directh & ratione posteriore inverse, id est, ut diameter directo x dc velocitas inverse; ideoque spatium, tempori dc velocitati proportionale, est ut diameter. Corol. a. Si aequivelocibus corporibus resistitur in ratione sesquiplicata diametrorum: globi homogenei quibuscunque cum velocitatibus moti, describendo spatia in sesquiplicata ratione diametrorum , amittent partes motuum proportionales totis.
Corol. 3. Et universaliter, si aequivelocibus corporibus resistitur in ratione dignitatis cujuscunque diametrorum: spatia quibus globi homogenei, quibuscunque cum velocitatibus moti , amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut Cu-hi diametrorum ad dignitatem illam applicati. Sunto diametsi D oc E ; 6c si resistentiae, ubi Velocitates aequales ponuntur , sint ut DR dc En : spatia quibus globi , quibuscunque cum velocitatibus moti, amittent partes motuum proportionales totis, erunt ut D & E Et propterea globi homogenei describendo spatia ipsis D 3 - 'oc EI proportionalia , retinebunt velocitates in eadem ratione ad invicem ac sub initio. .
ς Ora . Quod si globi non sint homogenei , spa
tium a globo densiore descriptum augeri debet in ratione densitatis. Μotus enim, sub pari velocitate , major cst in ratione densitatis , dc tempus per hanc proposilan auge
natur resistensia r , ut D . e e, erit a ut a ' , hoc est, spatium 3, quod dasa densitate δ, erat in D 3 - . , augeri debeti rati me de aut h
69쪽
tur in ratione motus directe, ac spatium descriptum in ratio- DE MO.
4 Corol. s. Et si globi moveantur in mediis diversis ;tium in medio, quod caeteris paribus magis resistit, diminuem se iii,
dum erit in ratione majoris resistentiae. TempuS enim per SE . II. hane propositionem diminuetur in ratione resistentiae auctae, oc Psor. VII. spatium in ratione temporis. THLoa.
Momentum genitae aequatur momentis laterum singulorum generantium in eorundem laterum indices dignitatum di coefficientia continuὁ ductis. Genitam voco quantitatem omnem, quae ex lateribus vel terminis quibuscunque in arithmetica per multiplicationem, divisionem, & extractionem radicum ό in geometria per inVentionem vel contentorum & laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium, sine additione & subductione generatur. Eiusmodi quantitates sunt ficti, quo i, radices, rectangula , quadrata, Cubi, latera quadrata , latera cubim , & similes. IIas quantitates, ut indeterminatas & instabiles, & quasi m tu fluxuve perpetuo Crescentes vel decrescentes , hic considero; & earum incrementa vel decrementa momentanea sub nomine momentorum intelligo : ita ut incrementa pro momentis addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro sui ductitiis seu negativis habeantur. Cave tamen intellexeris particulas finitas. Particulae finitae non sunt momenta, sed quantitates ipsae ex momentis genitae. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Neque enim spectatur in hoc temmate magnitudo momentorum : sed prina nascentium propor-
minuendam est in ratione maioris resistentiae. ce Lem. a. Totum istud Lemmanum. 13 7. & sequentibus Lib. I. iusta e positum videat te r.
70쪽
De Μο-tio. Eodem recidit si loco momentorum usurpentur vel velo- τυ CoR-citates incrementorum ac decrementorum quas etiam motus, mutationes oc fluxiones quantitatum nominare licet vel finitae secuso quantitates Velocitatibus hisce proportionales. L SEcr. II. teris autem cujusque generantis CoeisCIens est quantitas, quae .LLMMA II. Oritur applicando genitam ad hoc latus. Igitur sensus s lemmatis est , ut, si quantitatum quarumcunque perpetuo motu Crescentium vel decrescentium A, B, C, &c. momenta, vel his proportionales mutationum Ue Iocitates dicamur a , e, dcc. momentum vel mutatio geni
Et generaliter , ut dignitatis cuiustunque Απ momentum fuerit
--.A is , Item ut genitae Α B momentum fuerit a a Α Β
ium 3 a Α B - a b Α 3 B- : S sic in caeteris. Demonstratur vero lemma in hunc modum. Cas. r. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum ΑΒ,
s Lainis ainem. Sie lateris x , In quantitate genita x u possit, coinciens
tallina A , B, C in mema euantur a, b, caita ut dum A fit A - - a , B evadat B - - b, C evadat Cin e e c., in mentithn tes minratio geniti rectanguli AB, reis aB-Fb Avel si loco litteraruiti Α, Β, C, Stautamur litteris minusculis D r , Edce. qui hin variabiles quantitates consuevimus Ggnifieare, & Ioco. b. &e. sermamus d x,dν,dE 6ce. sensus Lemmatis est mometis tum suu fluxionem rectar Pli xν, esse ν daexds , fluxionem 1 lidi xν x, esse raedae in x ady--xyda, oc genitarum quanti-