장음표시 사용
101쪽
L. ipsarum, A; ergo A, sunt aequales plano BD, denomis nata per quadruplum B Q, auctum 8; sed quadruplum BD, auctunt 8 est quadruplumplani R D, aucti a ; vid licet plani E F, ergo A, sunt aequales plano BD, denominato per quadruplum E F: quia etiam B, est numerus inultitudinis A, qu rum ultima C; constat B, else nume rumordinis C;& binario, ac unitate minorem esse numeris,.qui solidum producunt denominatorem C ; ergo
C, est unitas denominata solido sub B,& plano EF, ergo A, ad C, est ut planum B D, denominatum qua druplo plani E F, ad unitatem denominatam solido sub B plano E F ; & multiplicando per planum E F, ut planum B D, denomina tuis per q. ad unitatem denom, natam per B; & iterum multiplicando per B, ut solidum sub quadrato B, & D , videlicet aggregatum ex cubo B,& triplo quadrati B, denominatum per q. ad unitatem;&multiplicando per Α, ut aggregatum ex cubo B, &triplo quadrati B, ad 4. Quod, &c.
Unitatum, qua denominantur solidis omniu
numerorum constνentium ab unitate,
qualibet assumpta ad Iuccedentes in infinia
102쪽
VNitatum, quae denominantur solidis omnium numerorum consequentium ab unitate sit assumptaris cuius ordinis numerus B;& succedentes in infinitum C. Dico A, ad C, esse ut binai ius ad B. Sit D, aggregatum earum, quae praecedunt C, a primat quarum eritri, ultima ;& numerus multitudinis ipsarum D dem, qua ordinis assumptae, videlicet B: ergo Α, ad D, est via. p. ex e bo B, & triplo quadrati Bi sunt pi autem D, ad C, ut planum sub B, & ipso B, ternario aucto; videlicet ut compositum ex quadrato B,& triplo in multiplicando per B, ut compositum
tam .e 'I'ψ-dlatis, ad duplum B; ergo ex
Vnitatum, qua denominantur fluidis omnia
numerorum ab unitate , quotlibet assumpta ποπ a prama ad succedentes in infinitum sunt, ut productus ex numero multis
rem auctus duplo piam sub eodem numero, oe multitudine praecedentium, ad productum ex numero multitudinis praecedem
103쪽
74 Noua . uadraturatium in numerum ternam maiorem a mctum binario. ae
VNitatum, quae denominantur *lidis omniumn
merorum ab unitate sint assumptae H, non a prima in multitudine numeri B; quibus in infinitum sucςedentes I;& praecedentes G, in multitudine numeri A; &productus ex B, in numerum ternario maiorem auctRS
duplo plani BA, sit Κ; sit etiam O , ternario maior A ,&planus Ao, sit C, qui auctus binario fiat L. Dico H, ad I, esse ut Κ, ad L. Fiat M, agoregatum in A, B ; & P, ternario maior M; & planus PM, sit E; cuius quadrupliis
au ctus numero 8. sit F: ergo M. est multitudo ipsarum G, H , & sunt G, H, aequales E, denomin to per F: fiat etiam D, quadruplus La quolsam L , excedit C, per binariam ; etiam D, excedit quadruplum C, per 8; ergo G, sut e quales C, denominato per D; ergo excessus G,&IJ, supra G , videlicet H , sunt aequalas excessui' numeri Γ, denomin ii per F, supra numerum C, denominatum per D quia D. F, excedunt per 8. quadruplos C, E; ergo excessus fractionu E, per F,& C, per D, est octu plus excessus E ,C, denominatus per planum D F : quoniam etiam 3. est idem excessus tum P, M, tumo, At vicissim excessus P, O, est aequalis excessui M, A; videlicet numero B ; ergo excessus planorum PM, OA, videlicet excessus E, C, est aequalis plano sub B, & aggregato A, P; est: autem P, aequalis M,&3;& M, aequalis A , & B ; ergo aggregatum A, P, est aggregatum ex B, 3, & duplo A;& planum sub B, & aggregato A, P, est aggregatum eX
104쪽
.Arithmeti . I quadrato B, triplo B, & duplo fassi 'A B ; videlicet productes A B, n numerum ternario maiorem auctus duinito plani BAit cuiusmodi est numerus Κ; ergo Κ, c st excesiis E, Gι & H , sunt aequales octu plo Κ , denominato per planum DF; ergo H , ad H, G, sunt vi octu plus Κ, denominatus plano D F, ad E, denominatum per F,&multiplicando per F, ut octu plus Κ, denominatus per D, ad E; sunt autem G, H, ad I, ut E, ad a : ergo ex aequo P, ad I, sunt ut octu plus Κ, denominatus per D, ad a;& diuidendo per a. ut quadruplus Κ, denominatus per D, ad unitatem 3 vel ut quadruplus Κ, ad D , ergo quia D , est quadruplus L , diuidendo etiam per H, ad I, sunt ut K, ad L. Quod, &
Vnitates d nominata solidis omnium imparium ab unitate, quotlibet assumpta a prima sunt aquales producto numerι multitudinis ipsarum in numerum binario maiorem,denominato per duodecuplum eiusdem,
Sint A, impares ab unitate; quorum solidis denominata' snt unitates B, quarum multitudo a prima sit numerus C; & C, auctus binario fiat D; & planus CD, sit E; cuius duodecuplus auctus o sit G i& ex dcnominatione E, per G, fiat fractio H . Dico B, csse aequales H. Sint I, Κ, ultimi, qui adhibentur in denominatione
105쪽
C. 3. D. I. E. I y. G. I 89. H. , Prop. .,. B, ercto sunt aequales aggregato ex omnibus dispositis in A , usque ad K, praeter unitatem ,& Κ, denominato per planoplanum sub K, I, 3 , & unitate :& quia terni A, denominant singulas Βι multitudo dispositorum in A, usque ad Κ, binario maior est multitudine B, videt
cet numero C; ergo numerus C, est multitudo omnium A, vsq, ad Κ, praeter duos extremos unitatem, & Κ ; &Prop. 1.2. aggregarum eorumdem, praeter extremos, est dimidium plani sub C,&aggregato extremarum unitatis,&Κ & quoniam inter unitatem,& Κ, tot sunt interinedii, quot unitates in C ι ergo excessus extremorum unitatis,& Κ,ad a. excessum consequentium est ut C,auctus unitate ad unitatem , & componendo. excessus unitatis,&Κ, au ctus binario, vel aggregatum ex Κ, & unitate ad a. est ut C, auctus a, videlicet D , ad unitatem ἔ permutandoq; & conuertendo, D, dimidius est aggregati ex Κ, de unitate; & planum CD, vel numerus E, dimidius est
Prop. I. r. P a ii sub C,& aggregato ex Κ,& unitate; ergo E, esta 'gregatum omnium Α, usq; ad K,praeter extremos uniatatem, & Κ: eadem ratione, quia excessus unitatis, &Κ , ad a. est ut C, auctus unitate ad unitatem ; diuidendo, excessus I ,& unitatis ad a. est ut C, ad unitatem; permutandoque ,& conuertendo, C, dimidius est exce Glusi ,& unitatis;& duplus C, auctus unitate est It&auctus ternario est Κή& compositus ex 3. & quadruplo quadrati C, & octu plo eiusdem C, videlicet compositus
cx 3. & quadruplo E, est planus I Κ, & multiplicando
Per 3. planum unitatis & 3. compositus ex 9, & du decuplo E , videlicet numerus G , est planoplanu in sub Prop. s. i. Κ, i, 3, & unitate : ergo B, sunt aequales E, denominato p et G, videlicet fractioni H.Quod,&c. Theor.
106쪽
'itatum, qua denominantur solidis omnium imparium ab unitate, quotlibet assumpta a prima μαι minores duodecima parte uni
D. q. B. 6. Λ. aq. E. 288. F. 297. SInt quotlibet unitates denominatae solidis omnium imparium :ib unitate sumptae in multitudine numeri D , a prima. Dico C, aggregatas minores esse A. Fiat B, bi nario maior D ; & planum B D. sit A; cuius duode. cupi is Ei quia uetiis wmerno. sit F. Ergo Α, ad F,m norem habet proportionem, quam ad E; & est A, ad E , ut unitas ad ia. ergo A, ad F, minorem habet proporti nem, quam unitas ad ra. & A , denominatus per F, est minor uni autem C,aggregatae aequales A,denominato per Fiergo C,aggregatae sui minores Quod, &c
Unde conflat unitates denominatas solidis omnium imparium ab unitate in infinitum
dispositat, oe aggregata; esse finita exten
107쪽
Pr, . r. Patet etiam, quod unitates denominata Ρο- dis omnium numerorum ab unitate sunt in aliqua multitudine a prima, impleur propositam extensiionem minorem extensione di positarum earumdem in infinitum.
itates denominata solidis omnium impa- ab unitate, disposita in infinitum, cr
res denominatae solidis omnium imparium ab uni- . L s.ftate. Dico A, qualet peisse . . Alias erit A, maior, uel Csty mi , . . . Sit maior is itur in aliqua multitudine sum pigri' '' mra prima unitaths in A,dispositae implent A: sit huiusm0-- di paultitudinis numerus B, qui unitate adiecta fiat C; Des io. ergo aliquot unitates in A, dii positae sumptae a prima in Pti l . 1. multitudine numeri C, sunt maiores A: quod est absurdum:
108쪽
Mrithmeticae. Isdum: non est igitur A, maior Sit minor, di data pro, Pr.11.r. Portione minoris insqualitatis A, ad li, inueniatur altera maior,quae sit numeri I, quem numerus 12. metiatur
Per D, ad Ε, unitate maiorem ;&ipsius D, sit nc nuptusF; & inueniatur numerus G, qui metiatur nues erum non Prop.7 a minorem F, per se ipsum auctum binario,& sumantur unitates in A, ditpositae a prima in multitudine numeri Gi& assumptarum simima sit.H: constat H, esse portionem ipsius A; & aequalem produ isto ex numero G, in se Pr.M.r. ipsum binario auctum denominato per duodecuplum eiusdem producti addito 9: quia autem productus ex G, in se ipsum binario auctum non est minor F; etiam denO- m i. 'minatus per duodecuplum eiusdem producti addito ςarsi est minor F, denominato per duodecuplum F, addito 9; diuidendo utrumq; numerum fractionis per 9. non est minor D, denominato per duodecuplum D , auctum unitate; est autem I, duodecuplus D , & I, auctu. vnitate est E; ergo H, non est minor D, denominato per Esed quia D, ad I, est ut unitas ad Ia uel I ad unitatem, . .& I , ad Ε, maiorem proportionem habet, quam A , ad , ergo ex aequo in perturbata D, ad Ε, uel D, den minatus per E, ad unitate habet maiorem proportione, 'quam Amaaior igitur cst D,denominatus per E,quam A;& non est H, minor D, denominato per E ; ergo H, est maior A, pars toto, quod est absurdum:Non igitur Λ μnor est neque maioriergo A,est aequalis . .Qu9d,&c.
Unitates denominata siolidis Omnium imparium ab unitate, quotlibet assumpta a pri-
109쪽
quadrati multitudinis a mptarum unitate minuto 1n idem quadratum auctum
duplo lateris, ad sexcuplum eiusdem lateras
A ντ vo ουἰου B τ . H. 297. Κ. 8 I. F. I 89. SInt in multitudine numeri E, assumptae A , unitates denominatae solidis omnium imparium ab unitate; quarum ultima B; & sit G, quadratum ipsius E, au ctum duplo lateris eiusdcm; & M, quadruplum ciusdem quadrati unitate minutum ; &L, sex cuplum eiusdem E,auctum 3. Dico A, ad B, esse ut planum G M, ad L. Sit
H, duodecuplum G, auctum novenarior constat A, Pr. ι3.2.
squales esse G , denominato per H : fiat C, unitate minor E; & quadratum C, au dium duplo eiu Idcm sit D; cuius duodecuplus auctus s. sit F.r quia C, est unitato minor E, numero multitudinis A , constat C, csse multitudinem A. praeter B; & Α , praeter B, aequales, esse , Pr. 13. 1. D, denominato per F: tandem fiat Κ, nonuplus excessus G, D; constat etiam B, aequalem esse Κ, denominato per prὴ .i planum F H i & quoniam C, est aequalis E, unitate minuto; quadratum C, est aequale unitati, di quadrato E, dempto duplo E; & adiecto communi duplo C, uel dupla E, binario minuto quadratum C,una cum duplo C, uides icet numerus D, aequalis est quadrato E , unitate minuto . est autem C aequalis eidcin quadrato aucto duplo E; igitur excessus C, D, est duplus E, auctus unitate cuius triPlu eu icΣcuplus E, auctus 3; huiusmodi est numerus L ; ergo L, est triplus excessus C, D; I cxcessus G, D , est nona pars nu incri Κ; ergo ex aequo I. , ad - . V L Κ,
110쪽
Κ, est ut 3. ad 9.& conuertendo Κ, triplus est ad L: quia diximus D, aequalem eine quadrato E, unitate minuto, duodecuplus ipsius D , est aequalis duodecuplo quadrati E, minuto Ia, & adiecto communi ρ.) duodecuplus D, auctus 9. videlicet numerus F, est aequalis duodecuplo quadrati E, minuto 3 ; cuius tertia pars est quadruplus quadrati E, minutus unitatei huiusmodi est numerus M, ergo M, tertia pars est ipsius F ;& conuertendo F, irruptus est ad M ; videlicet, ut Κ, ad L permutandoq; Scconuertendo Κ, ad F, est ut L, ad M; ergo Κ, denominatus per F, aequalis est L,denominato per M: quia etiam diximus A, aequales eme G, denominato per H , & B, aequalem Κ, denominato per planum FH ; ergo A,ad B, sunt ut G, denominatus per H, ad Κ, denominatum per FH; & multiplicando per H, ut G,ad K, denominatum per F; videlicet ut G, ad L, denominatum per M; ergo
multiplicando per M. Α, ad B, sunt ut planum G M, ad L . Quod, &e.
Unitatu,qua denominatur solidis imparium ab
unitate , qu et assumpta ad succederes in infuitum ea, ut octu plus numera oriunis ampla auctus . ad quadruplum qua