장음표시 사용
261쪽
PROPOS. 3 . THEOR. 34 si sint quoteunque magnitudines, & aliae ipsis
numero aequales, sitque maior proportio primae priorum ad primam posteriorum, quanil secun s ad secundam: & haec maior, quam tentae ad tertiam: sicque deinceps: Habel bunt omnes priores simul ad omnes post j riores simul, maiorem proportionem, quam; omnes priores, relicta prima, ad omnes pin steriores', relicti partar prima : Minoremi autem , quam prima priorum ad primam' posteriorum di denique maiorem etiam,
i qum visima priorum ad ultimam post
si O Int primo Ioeo tres magnitudines A, B, C, aliae: l o tres D, E, F, fit autem maior proportio Λ, ad D, quam Ε,ad E : Item msor B , ad Ε, quam C , ad F.
Dico portionem ipsatum Α, Β,C, simul ad ipsis D, l . E , F , smul maiorem esse C, proportione B, C , simul. . / ad ipsas E, F , simul: ΜΡ
A, ad Da maiorem denique etiam proportione C , ad F. Cum enim maior sit proportio Α , ad D , quam Maxν..ui. ad E s erit permutando maior Α , ad B, quam D, ad E ι ba isti tir eomponendo , maior erit proportio ipsarum Α, Β, simul, ad B, quam ipsarum D, E, simul exy.ροι. t ad E ; co permutando igitur rursus, maior erit pr : portio A, B, simul ad D, E, fimul, quam B, ad E. Ita que
262쪽
que cimi tota Α , B, ad totam D , E , maiorem habeat proportionem, quam ablata B, ad ablatam E s υ ha- ld33.PLbebit quoque reliqua Α, ad reliquam D,maiorem proportionem, quam tota AE B, ad imam D, E. Eadem ratione, maior eris proportio B, ad E, quam totius BC, ad totam E , F: Multo ergo maior erit proportio Α, ad lD, quam B,C, totius, ad totam E, F. ceJ Permutati, ldo igitur, maior erit proportio Α, ad B, qnam D, lad EJ; f & componendo ergo maior est proportici q' 'inius A,B, , ad B,C, quam totius D, E, F,ad E,F. gal g 7 et M. Et rursus permutando, maior proportio omnium A, B, C, simul ad omnes D,E,F, simul, quani B, C, ad EF. Lod fuit primo loco propositum. Quare cum sit maior proporti6 totius A, B, C, ad totam P E, F, quam ablatae s C, ad ablatam E, F; h erit etiam maior proportio reliquae Α, ad reliquam D. quam totius A, B, C, ad totam D, E, F. Quc. est
Quoriiam vero malos est proportio B, ad Ε, quami C, in F; i erit permutando maior quoque Β, ad C,i qη . quam E, ad F; λὶ Et componendo, maior totius ad C, quam totius E, F, ad F;. ia ruriss permit tando, maior B,C, ad E,F, Guam C, ad F. autem maior proportio A, B, C, ad D, E, F, ut ostendimus, quam B, C, ad E, F; multo ergo maior erit proportio omnium A,B,C, ad omnes D,E, F, quam ultimae C, ad lvltimam F. Quod est tertium. IDeinde sint quatuor magnitudines,& aliae ipsis nu 3
maior est proportio B, ad E, quam BGdε hyi hesi, nenia spe sit maior propo tio tertiae C, ad tertiam F, quam quartae G , ad quartam H Dico eadem consequi . Vt enim iam in
263쪽
Si sint quoteunque magnitudines, & aliae ipsis numero aequales, sitque maior proportio primae priorum ad primam posteriorum, quaest secun s ad secundam: & haec maior, quam tentae ad tertiam: sicque deinceps: Ηab hunt omnes priores simul ad omnes post riores fimul, maiorem proportionem, quam omnes priores, relicta prima, ad omnes ρο- steriores', relicta pariter prima : Minorem autem , quam prima priorum ad primam posteriorum t denique maiorem etiam, quam ultima priorum ad ultimam poste .
Sist primo lam tres magnitudines A, B, C, & aliae tres D, E, F, fit autem maior proportio Α, ad D, quam 13,ad E : Item m*ior Η, ad E, quam C, ad F. R. a i Dico portionem ipsatum r. , A, B,C, simul ad ipsis D, i ' Is -' E, F, simul maiorem esseC-- proportione B, C , simul. ad ipsas Ε, F, simul: Μ,
Α, ad D; maiorem denique etiam proportione C , ad F. Civn enim maior si proportio Α , ad D, quam Maaν.σ.L A permutando maior Α , ad B , qtiam D, b, g. ωι.-Ε ι ba igistir eomponendo , maior erit proportio ipsarum A, B, simul, ad B, quam ipsarum D, E, simuli ad E ; co permutatino igitur rursiis, maior erit prin portio A, B, simul ad D, E, fimul, quam B, ad E. Itaque
264쪽
que clim tota A, B, ad totam D , E , maiorem habeat provortionem, quam ablata B, ad ablatam E s μὴ ha- lbebit quoque reliqua Α, ad reliquam D,maiorem proportionem, quam tota A B, ad totam D, E. Eadem ratione, maior erit proportio B, ad Ε, quam tollux BC, ad totam E,F: Multo ergo maior erit proportio A, ad lD, quam R,C, totius, ad totam E, F. cea Permutan- l exν. - . do igitur, maior erit proportio Α, ad B, C, quam D, ita E,F; f & componendo ergo maior eit proporticitistius A,l , , ad B,C, quam totius D, E, F,ad E,F. gr i g I IN Et rursus permutando, maior proportio omnium A,B, C, simul ad omnes D,E,F, simul, quani B, C, ad EF. Quod fuit primo loco propositum. Quare cum sit maior proportio totius A, B, C, ad emam P E, F, quam ablatae s C, ad ablatam E, F; h arri etiam maior proportio reliquae A, ad resiquanti D. quam totius A, B, C, ad totam D, E, F. Quod est
Quotitam vero malos est Wbporeio B, ad Ε, quam C, in F; erit pei mutando maior quoque Β, ad C, quam E, ad F; λ Et componendo, maior totius BA, ad C, quam totius E, F, ad F:.c l ia riirius pernam tando, maior B,C, ad E,F, quam C, ad F. Est autem maior proportio Α, Β, C, ad D, E, F, ut ostendimus, quam B, C, ad E, F; multo ergo maior erit proportio omnium A,B,C, ad omnes D,E, F, quam ultimae C, ad ἔvltimam F. Quod est tertium. IDeinde sint quatuor magnitudines,& aliae ipsis nu.
pe sit maior propor eio tertiae C, ad tertiam F, quam quarta G , ad quartam Η:Dico eadem consequi. Vt enim iam in tribus est ostensium, maior est proportio B, ad Ε, quam B,C,G, ad E,F ,Η- Multo
265쪽
. t multo erromaior erit Α, ad D, quam C, G, ad P, n γεηε. F, Η m, permutando ero' minor erit Α, ad B, C, G, n 3.Τ- . i quam D, ad E,F, H, cn & componendo ma:or Λ,B, . - C, G, ad B, C, G , quam D, E, F, H, ad E, F, Η:ο ν. P .i permutando A, B, C, G , ad D, E, F, Η, - lior quam B, C, G, ad E, F, H. Quod erat proposi-
t Quapropter eum sit maior proportio totius A, B, i C, G, ad totam*E, quam ablatae B, C, G, ad ablatam E, F, Η. p Erit & reliquae A, ad reliquam D, maior proportio ,quam totius A, B, C , G , ad totam D, E, F, Η, quod est secundum. Quoniam vero, ut in tribus demonstratum fuit,ma-llior est proportio B, C, G, ad E, F, Η, quam G, ad H; ν& maior A, B, C, G, ad D, E, F, H, quam B, C,G, ad E, F, Η, ut ostensum fuit a multo maior erit proportiosiA, B, C, G, ad D, E, F, H, quam ultimae G, ad vitulimam H. Quod est tertium. : Demum eodem modo concludi potest, eadem eon. sequi in quinque magnitudinibus per quatuor ; Se in sex per quinqsse M. quemadmodum ostendimus inquatuoror tres . . re constat totum hoc Thegre .lma di
266쪽
SItalas sunt figurae remineae; hiue & siis. lguris angulos singillis angulis aeq ales hin l
- bent, atque etiam latera , ' qu circum si 'guim aequales, proportionalia. Ρostquam Eliclides in Libro minio explicationem
' proportionum in quantitatibus continuis generICE,nullatenus descendendo ad aliqua speciem quantitatis , abstivit, in hoc ε. libro specifice os radit qlian. nam preputionem inter se habeant lineae anguli, ci cumferentiae circulorum, triangula. aliaeque figurae planae. Quod ut facilius exequatur. In primis dicit quod figurae rectilineae sunt inaei' quae habent antulos in iter se aequales :& insuper latera circa ipses aequale angulos proportioncia. Vt v. g. triangula ABC,
267쪽
DLF , tantummodo fimilia direntur, si fuerint aequia angula. itaue angatus A , angu'o D; & B, ipsi E Jec, ipsi F , aequalis sit : Nec non etiam latera carmi aequ te angustos proportionalia . hoc est ut AB , ad AC, ita DE, ad DF ut AB. ad BC, ita DE, ad EF;
Reciproeae figurae 1lint eum in utraque figura
antecedentes, & consequentes rationum termini fuerint.
Vτ exempli gratia si in parallelagrammis ABCD,
EFGH, latera ΑΒ , BC . ita fuerint proportio nalia lateribus EF, FG , ut in viro que paralleIogrammo sit & antec dens δε consequens diuersarum Prinportionum . hoc est ea fitpreportio AB, ad E F, quae F G, ad BC . In hoc enim casu AB, antecedens Pr,mae rationis est in uno paralles grammo , & E F, consequens in alio ; & rursus F G, antecedens ab terius rationis reperitur in illo p rallelogrammo , in quo posuimus consequentem limrius rationis; & consequens AC, stat in alio parallel γ grammo, in quo stabat antecedens prioris proportio u. Quare an utroque parallelogrammo reperitur aftecedens, εe consequens rationum ac proinde re Nom erunt. Quod ideri etiam valet de trianehiis: nam in . alis figuris reciprocarum figurarum hon est
268쪽
secundum extremam , & mediam rationem lredita linea secta esse dicitur, cum ut tota ad 'maius segmentum, ita maius ad minus se habuerit. SI recta aliqua linea AB, Ita diuidatur in C , inaequaliter ut quemadmodum tota AB, ad maius se mentum A C., ita maius segmentum AC, ad minus C segmentum CB, huttismo. δ ν- - --- -- iB di linea dicetur diuisa se. cum extremam, & media rationem. Hanc diuiso nem exponet Euclides Propos. 3o. huiusque propositit, licet alijs verbis, in secundo ib. Pro- POL II. Innumerae quidem sint utilitaιes lineae tali. ter sectae ut constat ex libris Stereometriae, unde iure. merito haec diuisio vocari solet Diuina proportio. IV.
Altitudo cuiuscunque figurae est linea perpendicularis a vertice ad basin deducita.
λῖC , quanta est perpendicularis A G. JN tria gulo ABC, vertex sit A , a quo ad hasin BC, perpendicularis ducatur AG, dicetiir haec perpendicularis altitudo tria guli ABC, ita ut tantam dicatur habere altitudinem triangulum
269쪽
ή Raso ex rasonibus eomponi dicimr, eum α - , tionum quantitates inter se multiplicitae, alii quam Cerint rationem.
Ovoniam denominator cuiuslibet proportioniam.
primit quanta sit maenitudo antecedens ad eoisis ci aeqlientem ut denominator quadruplae proportionis,l nempe 4. 'stendit in quavis proportione quadruplas Rntecedentem magnitudinem quater continere conis sequentem a denominator vero promitionis sub quadruplae, nempe unum quarti indicWantee mentem e se quartam partem eoni uentis &e. Diei solet denominator a Geometris , seiu quantitas proportionis. Quapropter haec definitio vult, pro monem aliquatit ex dilabus,vel pIaribus proportionibus componi,quando harum denominatores, scii qiiamitates inter se mutatiplicatae effectrine illam proportionem, seu illius pro porti is denominatorem . Utv. g. proportio duod eupla componi dicitur ex dupla, & sextupla s quando. quidem denominator proportionis dilodecuplete, nimiis rum I a. producitur ex multiplicatione denominat ris duplae proportionis, nempe a. in denominatorem sextuplae , hoc est in s. Eadem prorsis ratione proportio trigempla dicit*r componi ex dupla, tripla, Mouintupla. Nam harum denominatores 2. 3. s. interis multiplicati gignunt i .. illius denominatorem &e. Unde quemadmodum in magnitudinibus conmmie proportionalibus c ut dictum est ad defin. ro. lib. s.3proportio primae ad ultimam dicitur componi ex pr portione primae ad secundam ,se , cundae ad tertiana, 8e tertiae ad quartam &e. Sic etiam in quibuscunque magnitudinibus ordine positis proportio primae ad vNtimain dicetur componi ex proportione primae ad se.
270쪽
cuiviam . de iecitndae ad tertiam. & tertiae ad quartam dic. donec proportio extiterit; quoniam denominator roportionis primae magnitudinis ad vitinum consurgit ex denominatoribus propWrtionum intermediarum inter se multiplicatis. Hoc totum eonfirmatur a Clauio in hae Ioca adducendo varias antiquomin demonstrationes circa hanc materiam et Quas demonstrationes apud citatum a therem legere haud inutile erit.
Parallelogrammum seculatim aliquam rectam lilaeam applicatum , deficere aicitur parablelogrammo, quando non occupat totain lineam. Excedere vero, quando occupat m iorem lineam, quain sit ea, sectindum quam applicatur: ita tamen, ut parallelogrammum ι: Mendiens , aut excedens eandem habeat al- .i titudinem cum parallelograinmo applicato,
constituat l, cum eo totum unum parallelin 'grammum . . . Sit data recta linea AB, supra quam constituatur parallelograuimum AC DE, quod non occupet to tam lineam AB,