장음표시 사용
31쪽
s Id a. teuictam AB U) extendantur ; DB, quidem opposituri
pulicto dato A usque ad circum. 'serentiam in E; DA, verooppo sitim centro B, qua iritim libet in '' F. Deinde centro D, interuallo' lineae DE per centrum B transe- tintis se alter circulus describa s. tiir FE, secans rectam DP, in F. Dico rectam A F , positam ad punctum datum A, aequalem esset clatae rectae BC. Prcbatur. Quoniam DE, DF, ductae sint ex centro D, ad circumse. rentiam FE ipsae inter se aequales erunt: Abia tisioitur DA, DB, aequalibus, cum sint latera tria o guli aequilateri ADB, remanebit AF, aequalis iras.def. . rectae BE . Sed eidem BE, ha aequalis est recta B l cum ambae cadant ex centro B, ad circumferentiam, EC. Igitur rectae AF , BC, quandoquidem utraque kr quales erunt.' i Ad datum igitur punctum dic. Quod erat iaciendum.
Datis duabus rectis lineis inaequalibus, de maiore lineam minori aequalem detrahere. SInt duae rectae Iineae inaequales C, minor, & ΑΒ
maior,oporteatque ex maiore AB detrahere lineam aequalem minori C. Ad alterutrim extremorum lineae
maioris AB, nempe ad punctum A, a ponatur aliqua linea,quae sit AD,aequa Iis minori C. Deinde Cen tro A , interuallo AD bcirculus describatur secans AB, in E ; Dico AE detractam esse aequalem ipsi C. Probatur. Quoniam AE,
c aequalis est ipsi AD , de eidemi h. pH.
32쪽
eidem AD per constructionem aequ ilis emlaea C; d) l d r.pum erunt AD, 8e C, inter aequales. Duabus ireitur datie 'dic. Quod erat saetendum.
Si duo relangula duo latera duobus lateribus aequalia habeant, utrumque utrique; habeant vero, εe angulum angulo aequalem Iub aequalibus rectis lineis coalentum : Et basiin basi aequalem habebunt: eritque triangulum ltriangulo aequale; ac reliqui anguli reliquis a gulus aequales erunt, uterque utriqu*sub qu, bus aequalia latera sirbtenduntur.
Sut duo eriagula ABC DEF,& vnias utrumq; latus AB,AC,aequale sit alterius utrique latera DE, DF, hoe est AB ipsi DF , & AC, 'ipsi DF ; angillusque Α, contentus lateribus AB, AC, aequalis angulo D, con
Dico basim BC, aequa lem quoque esse basi EF,& totum thiatigulum ABC, riangulo D E F ι&utrumque anetulum B, &C , utrique angulo E ,&' , F, idest , angulos B,& E, qui opponuntur lateribus aequalibus AC, DF inter se ; & angulos C. & r , qui opponuntur aequalibus lateribus ΑΒ . DE , inter se quoque esse aequales . Probatur : Quoniam enim recta AB, rectae DE, ponitur aequalis, fit. ut si altera alteri superponi intelligatiir , collocato puncto A, in Puncto D, a) ipsae sibi mutuo congruant,punctumqxist i a sva inpuneto E, cadat. Neque elum dicere quas Pa- '
33쪽
a. teu letam AB d) extendantur ; DB, quidem opposituri
pulicto dato A usque ad circum. serentiam in E; PA, verooppo sitim centro B, qtrantumlibet in 'F. Deinde centro D, interuallρ' lineae DE per centrum B transeuntis e) alter circulus describas . tur FE, secans rectam DF, in F Dico rectam A F , positam ad punctum datum A, aequa lem esset datae rectae BC. Prcbatur. Quoniam DE, DF, ductae sint ex centro D, ad circumse.
I rs.ris i rentiam FE. ipsae inter se aequales erunt: Abi Di tis ioitur DA, DB, aequalibus, cum sint latera tria H guli aequilateri ADB, g) remanebit AF, aequalis A I s. f. . rectae BE . Sed eidem BE, ha aequalis est recta BC. cum ambae cadant ex centro B, ad circumferentiam EC. Igitur rectae AF , BC, quandoquidem utraque aequalis est ostense rectae BE,inter se sy squales erunt. Ad datum igitur punctum &c. Quod erat saciendum.
PROPOS. 3. PROBL. Datis duabus rectis lineis inaequalibus, demaiore lineam minori aequalem detrahere. SInt suae rectae Iineae inaequaIes C, minor, & ΑΗ
maior,oporteatque ex maiore AB detrahere lineam aequalem minori C. Ad alterumim extremorum lineae
circulus describatur secans AB, in E ; Dico ΑΕ detractam esse aequalem ipsi C. Probatur. Quoniam AE,
s c aequalis est ipsi AD, Neidem
34쪽
PROPOS. q. THEOR. Si duo triangula duo latera duobus lateribus
aequalia habeaut, utrumque Virique; habeant vero, 3c angulam angulo aequalem Iub aequa- Iibus rectis lineis coalentum : Et basim basi aequalem habebunt: eritque triangulum ltriangulo aequale; ac reliqui anguli reliquis a gulus aequales erunt, uterqlle utrique,sub quibus aequalia latera stibaend untur. SInt duo eriagula ABC DEF,& vesas utrumq; latus
AB, AC,aequale sit alterius utrique laterr DE, DF,
hoc est ΑΒ ipsi DF , & AC, 4psi DF ; angillusque Α, scontentus lateribus AB, AC, aequalis angulo D, con- Φ.. tento laterabus DE, DRDico basim BC, aequa lem quoque esse basi EF,& totum triangulum ABC, Friangulo D E F ι&utrumque angulum B, de C , utrique angulo E ,&F, idest , angulos B,& E, ' qui opponuntur lateribus aequalibus AC, DP Inter se a & angulos C. & r , qui opponuntur aequalibus lateribus AB DE , inter sexoque esse aequalcs . Probatur : Quoniam enim re -- AB, rectae DE, ponitur aequalis, fit, ut si altera alteri superponi intellieatur , collocato puncto A, in puncto D, aὶ ipsae sibi mutuo congruant, punctumquς l a in puncto S, cadat. Neque eitim dicere quin po-B terit,
35쪽
terit, partem rectae AB, rectae DE, congruere partem non, quia tii duae rectae baberent idem segme .
tum commune, b quod est impossibile. Quod si qui.
dicat posito puncto A in D, cadere quidem punctiim B, in E , sed rςctam AB , cadere . vel ad cie stram , vel ad sinistrim, claudent duae rectae lineae lapei ciem, c) quod fieri non potest . Quare recta AR , rectae Di Εκongratet ut diisum est .: Cum ergo angol in A,an hgulo D. ponatur aequalis , d congruet quoque alter alteri, Nic est recta AC , rectae DF , congruet, punctumque C, in punctum F, cadet, ob aequalitatem re-etariim AC, DF ; Basis igitur BC bas EF , congruet quoque t alias fi rςeta BC, caderes supra. vel infra EF, cum punctum B, cadat in puncto E, & punctum CWadat in puncto F . duae rectae clauderent spatium e qiuri est absendum . Quo circa basis BC, cum bali EF congruit; ac proinde aequalis f) eri . Et triangulum ABC, triangulo DEF ; de angulus B , angulo E. &angulus C , angula F, δε eandem causa me: iastet aequalis. Quam si duo triangula &c Quod erat
demonstrandum. 'PROP. s. THEOR. a. Hostesium triangulorum, qui ad basim sum: anguli, inter se sunt aequales: Et profluetis aequalibus rectis lineis, qui sub basi sunt, anguli,
inter se aequ*les erunt. .. SΙe triangulum isosceles ABC . in quo latera ΛΒ,
AC, inter se sint aequalia. Dico angulos ABC, ACB, supra basim BC , aequales inter se esse Item si latera aequalia AB, AC, producantur quantum libum rit usque ad puncta D; & E , dico angulos quoque DEC, ECB, intra eandem basim BC , esie aequales. Pr
batur . Ex linea enim AE , infinite producta sa) ab
36쪽
stidatiir AF, aequalia ipsi Al , b) &dueantur re-l b I. periciae BF , CD. Considerentur deinde duo trianeula ABF, AC D. Quia
ergo duo latera ΑΒ , Α F, trianeuli ABF, aequalia sunt duobus lateribus ΑC, AD, trianguli ACD, utrumque trique, nempe A
Α D, ex construis ctione; angulusque Α , contentus lat
ribiis AB , Ατι aequali, est aneulo Α , contento late ibu AC , AD ; immo anzulu, Α , communis est virique triangulo : c erit basis p p, aequalis basi CD s &Rngulus F, anguIo D, &aneuhis ABF, angulo ACD, di priores duo, &postgiores opponantur aequali- s lateribus in dictis tria naulia,w patec. sursus con iderentur duo triangula ADC . CFB. Quoniam vero stae Aia, AF, aequa Ies fiunt per constructionem,fit ut M userantur ex ipsis aequale, AB, AC, cd &reliquae t , CF, sint aequales. Quare duolatera BD , DC, ;'3' ν' trianguli BDC, aequalia sunt duobua lateribus CF, FB, lxi nguli CFB , utrunque utrique, videlicet i D, ipsi l F, & DC, ipsi FB, vi probatum eit: Sunt autem, & ngui D,& P, dictis lateribu, aequalibus contenti lRqu.les, ut ostensim etiam fuit 3 ipiti r erit an lusi ς J DBC , angulo FCB , aequalis ; & angulus BC , t e .γι-hgulo CBF. Tam enim priores, quam posteri re l RQ aequalibus opponuntur lateribus, eximuntque su-l pra communem basim B C . Quod si ex totis angulis Rqualibus ABF, ACD, cduos aequales esse iam demon Grauimus in prioribus trianstulis) detrahantur anguli quales CBF, BC D, quos itidem in polierioribus
37쪽
anguli ABC, ACB supra basim BC , aequases tollena lx sum est autem inpollariorabiis triangulis, &anoidos lDBC, FCB , qui quidem sunt infra eandem basim BC, esse aequales. Igitur & anguli supra basim inter se, Manguli iusta eandem inter se sunt aequa less ac propte realii scelium tria i gulorum, qui ad basim sunt angi, lii &c. Qiiod erat demon strandum .
Ex hac propos s. liqueb omne triangulum aequila- iterum esse qtioque aquiangulum: hoc est, uta assul lo, trianstuli aeqtillateri esse inter se aequales, nam sem- jlper duo latera quomodocumque sumpta sunt attalia, siccue aneuli ad basin uni aequales.
Si trianguli duo anguli aequales inKr se fuerintr& sub aequalibus angulis subtensa latera aequalia inter se erunt . IN triangulo ABC , sint duo anguli ABC, Acri, Q.
per latus BC, aequales. Dico duo latera illis opposita AB, AC, esse quoq; aequalia. Probatur . Si enim , non credantur aequalia stante suppositione, erit alterum maius 1ltero sit igitur AB, maius quam
m. Λ AC . si fieri potest: Et ex Ali . a ' abscindatur in D , recta B D, I V , atqualis rectae AC , quae minor i dicitur este quam AB, duc turn a C quae recta C D . Confiderentur
modo duo triangula ACB, DBC, in quibus cum duo latera AC,
CD trianguli sintduobin lateribus DB,
38쪽
BC, trianguli DBC, utrumque utrique ipsi DB. abscidimus enim eκ AB , ipsi AC, aequalem DB a Se CB, ipsi BC, cum sit unum, & idem s sint autem & anguli ACB , DBC, dictis lateribus contenti aequales per hypothesim: b) erunt triangula ACB, DBC , aequalia , totum , & pars , quod fieri nequ t. Non igitur erunt latera AB, AC, inaequalia, si angu li B, & C, super latus BC,aequales, sunt, ne rutum parti aequale esse concedamus: sed aequalia existent. ia- re si trianguli duo anguli &c. Quod demonstrandiim
Sequitur ex hac propositione, omne triangulumae ii iangulum, idest , cuius omnes anguli iunt aeqvis te , esse aequilaterum . Quod quidem conuersum Corollari j Propos. ut patet ; & suadetur, quia I 1 triangulo aequi angulo duo anguli quomodocumque sumpti inter se sunt aequales, ynde & latera subtensa aequalia erunt . .
Super cadem recti linea ad unum punctium d istis duabus rectis lineis, duae aliae rectae lineae utraque utrique iam ductis aequales, non constituennir ad aliud punctum, ad easdem par res, eosdemque terminos cum duabus initiod ' ductis habentes . Super recta AB, ad quoduis punctum nempe C, d cantur duae retiae AC, BC. Dico super eandem B s
39쪽
rectam AB, versus eandem partem C. non posse ad aliud punctum, ut ad D,constitui duas alias rectas, lineas, qtiae sint aequales lineis AC, BC, utraque utrique, nempe AC, ipsi AD, quae eundem habent terminum A, & BC, ipsi BD, quae et n. dem etiam possident termiis mim R. Prob. Sint enim ,
si fieri potest, rectae AC, AD, inter se,& rectae BC, BD, inter se etiam aequales, quo stante a puncto C, ad punctum D d ina recta CD,triangillum C A D, a 3 erit isisseeles, ac proinde anguli ACD, ADC,supra basimi bin inter se aequales erunt: Ac proinde c) cum angulus ADC. minor sit angulo BDC, pars toto,erit & angulus ΑCD,minor eodem angulo BDC. Quare multo minor erit Angulus BCD, pars anguli ACD. angulo eodem BDC. Rursus , cum in trianguinto BDC, i atera BC, D, ponantur aequalia, d) erunt anetuli BCD, BDC, super basim CD, aequales; Est autem lain ostensum, angulum BCD, multo esse minorem angulo BDC. Hem igitur angulus BCD , &minor est anguIo BDC, & eidem aequalis. quod est absilrdum . Non ergo aequales sint inter se AC, AD, sieuti neeetiam BD,&m. Quare silper eadem recta linea duabus, &c. Quod erat demonstrandum .
ΡROPOS. s. THEOR. I. Si inio triangula duo latera habuerint duobus t
iuribus, utrumque utrique, aequalia, habuerine vero & basim basi aequalem ; Angulam qu que sub aequalibus rectis lineis contentum a gulo aequalem habebunt.
40쪽
SInt duo latera AB, AC, tria nouli ABC , duobus lateribue DE, DF, trianguli D EF, aequalia virumque utrique, nempe AB. ipsi DE, & AC, ipsi DF, sit autem & basis BC, basi EF, aeqitalis. Dico angulum
Α, aritualem esse angula D, qHorum uterqite di chis Iateribus aequalibus continetur. Probatur. Si enim mente intelligatur
EF, a) neutra excedet alteram, sed punctum B, ' congruet cum puncto E,' - . .. & punctum C,cum pun cto F, viandoquidem istae bases ponuntur inter se aequalesia Dein se si triangulum ABC, cogitetur cadere super triana ulum D EF, vel punctum A,cadet inpulicto D, vel alao. Si punctum Α, in ipsum pun-lctum D, cadat congruent sibi mutuo triangulorum Iiatera, cum ponantur aequalia Ac propterea cb) an-l bΩuius A, aequalis erit angulo D, cum neuter alterum excedat. Quod si punctum A, alio dicatur cadere, quomodocumque postea id contingat, hoc est siue inlatiis ED, siue intra triangulum EDF , siue extra , ut lxonsideranti patebit; erit perpetuo B A, aequalis ipsi . EO, &CA, erit aequalis ipsi FD, propterea quod latera unitis trianguli ae litalia ponantur lateribus alte- autem succedere non potest , cum in ant cedenti fuerit demonstratum versiis eandem partem ad literi a puncta non posse duci duas lineas sc) iam du-i c 7. eLctis aequales, elindem cum primis initium habentes. Non igitur punctum Α, cadet alioquim in ptinctum Uz ac Propterea angulus Α, angulo D, aequalis erit. JQuare si duo triangula duo latera habuerint duobus llateribus aequalia, &c. Quod erat demonstr3ndum.