Sex priora Euclidis geometrica elementa, denuò clarioribus auctorum demonstrationibus, ... eddita , H.R. ..

61쪽

EVCL. ELEM.

enim non sint parallelae coibunt, si produeantur ia- finite . Si autem nunquam coirent Iarallelae essent, ut abetur ex definiatione parallelarum. Conueniat ereo ad

partes B , & D, in puncto G Quoniam igitur triano ulum est EGF, cum ΑΒ,& CD, continistiatae sint rectae usque ad punctum G: & angulus AEF , positus est aequalis .ingulo EFD; erit externus angulus A EF, aequalis interno , & opposito EFD; quod est absirdunt. Hoc etiam inconueniens demon strabitur , si dicatur lineas coire ad partes Α,& C ; non igitur coibunt lineae AB, CD. Quare parallelae erunt. Eodem prorsiis modo , si ponantur anguli alterni BEF, EFC,aequales, demonstrabitur lineas AB.C D , esse parallelas a Si igitur in duas restis Quod ostendendum erat .

PROPOS. 18. THEOR. I Si in du vectas liueas recta incidens linea exae num a trium interno, & opposito , & ad' easdem partes, aequalem erit : Aut inter, nos & ad easdein partes duobus rectis aequa Ies a Parallelae erunt inter se i liae recta lineae. N duas rectas AB, GD , recta incidens EG, saciat

primo externum angulum EFB, aequalein angulo interno, & opposito, & ad easdeni partes FGD. DLeo rectas ΛΒ ι GD esse parallelar. Probatur. Quo uiam

62쪽

tilam enim angulo E FB , aequalis ponitri r angulus F G D : & eidem angulo lΕ F B, caa aequalis est an

Ditis AFG; erunt cbo angu li alterni A FG, FGD, aequales. Quare lineae AB, GD, c parallelae erunt. Deinde si saciat recta EG, angulos interlios, de ad easdem partes, nempe BFG, FGD, duobiis rectis aequa-Ies. Dico rursus, rectas Ar 3 GD, esse parallelas. Probatur. Quoniam enim anguli BFG, DGF, duobus rectis aequales ponuntur ; sunt autem & anguli BFG, AFG, cdo duobus rectis aequales; erunt duo anguli A FG, BFG,duobus angulis BFG, DGF, aequa Ies : ablato igitur communi angulo BFG, remanebunt duo anguli alterni A FG, DGF, inter se aequales. Quare ce parallelae erunt rectae AB, GD; Si igitur in duas rectas recta incidens, &c. Quod erat ostendendum.

b r. ντωc27.ρr . 13.r 4 Vsque ad hile prontinciatiim r3. a principiorum nu mero reicimus. Utrum quia sequens Propos. 29. Cum alijs multis illi ita innititur, ut sitne eius auxilio demenstrari nequeat, opere pretium erit illud hoc loco demonstrare, ut in expositione dicti axiomatis pollicitisiimu S. Quia vero demonstratio ra. theorematis: dependet a nonnullis aliis theorematibus a Proclo, & aliis adductis, bonum erit ipsa in medium afferre ; relinquendo tamen breuitatis gratia demonstrationes, quae vi,

deri possunt apud Clauium, qui exactissime post xv. Propos primi libri hanc materiam proponit . F

63쪽

Si ab uno puncto duae rectae linae angulum iacientes infinite producantur, ipsarum dista tia omnem finitam magnitudinem excede: THEO REM A a. sisi duarum parallelarum rectarum linearum aseterani secet q aedam recta linea, reliquam quoque productam secabit.

Si ad rectam lineam duae perpendiculares rectae

lineae eligantur inter se aequales, q iarum ex trema puncta per lineam rectam coniunga tur, essiciet haec recta cum utraque perpendi culari angulum rectum.

Demonst rationes istorum Theorematum ommittun-tiir breuitatis gratia; cum videri possint apud citatum CIauitim in hoc loco. Pro nunc vero uti demonstrata, habeantur.

Si in duas rectas lineas recta incidens linea inter dinos, ad easdemque partes angulos duobus rectis minores faciat, duae illae icctae lineae in infi

t nixum proa cis sibi mutuo incident ad eas

partes, ubi sunt anguli dirobus rcctis minores.

64쪽

Hoeest axioma 16quod taliter demonstratiir. I cidens recta AB, in rectas AC , BD, faciat internos , & ad easdem partes angulos ABD, BAC, duο-bus rectis minores . Dico rectas AC , BD, ad partes C, D, prodiictas coire .

Probatur. Sit enim primum alter angulorum , nempe ABD , rectus .&alter BAC, acutus. Sum

pto in recta AC, quolibet puncto F, ca) ducatur ex eo ad rectam ΑΒ, perpendicularis EF . Et rectae ΑF, aequalis accipia tur FG . & GH , aequalis

AH, dupla sit. Et quoniam si rectae AF, abscindantureontinue aequales rectae ex ΑΒ , aliqua tandem pars vltra B, punctum cadet, quod finita recta AB, per comtinuam ablationem unius, eiiisdemque quantitatis a

sumatur tandem , quandoquidem linea AF , ita multi plicari potest , ut tandem aliquando finitam lineam AB, superet. Id quini Euclides frequenter assumit in libro s. & alijs inuentibus; ubi datis duabus magnitudinibus inaequalibi is proportionem inter se habenti bus iubet plerumque minorem ita multiplicari, donee maiorem superet. Fit ut multo magis, si im AE, aequalis abscindatur FG, & toti deinde ΑG , non au tem soli AF, aequalis auferatur GH . Item toti ΑΗ, non autem soli ΑF. vel AG, aequalis dematur HI, &scdeinceps, cadet tandem pars aliqua ultra punctum B. Statuatur ergo aetiim I , terminans tertiam duplam in dato exemplo existere vltra punctum B. Ac

cipiatur quoque in recta AC , recta ΕΚ , ipsi AE, &x L , ipsi AK, & IC, ipsi A L, alipialis, ita ut tes sint

partes in recta AC, quot sunt in recta AI ι ducantur que rectae ΚG,LΗ, CI, producanturque una cum EF,

65쪽

8 EVCL. ELEM.

tandem rectae iuno antur MΚ,NL, C. Itaque quoniam duo latera KE , & EM, trianguli KEM , duobus latoribus ΑΕ, EF , trianguli AEF, per constructionem utrunque utrique siιm aequalia , angulosque a) coni, i nent ad verticem aequales, erit & basis MK , G basi AF,&angulus M , angulo F , aequalis. Est autem &FG, eidem Ap, aequalis. & angulus F, rectus per comstriictionem. Igitur & MΚ , FG , c aequales erunt inter se, & angulus M, quoque rectus. Quare cum ad F M, excitatae sint duae perpendiculares aequales FG,&MΚ., erit per antecedens theorema angulus G , rectus. Rursiis quia duo latera Lx , KN, trianguli IX N, duobus lateribus AK , KG, trianguli AKG , aequalia sunt ex constructione, cd 3 angulosque comprehendunt aequales ad verticem Κ, ce terit & basis N L, basi AG.& angulus N , angulo G , aequalis. Est autem & GH, ex constructione eidem ΑG , aequalis, & angulus G, I rectus, ut proxime demonstratum est: igitur & NI, GH, ta inter se aequales erunt, &angulus N , quinque rectus. Quocirca per praecedens theorema erit etiam angulus A, rectus. Eadem ratione ostendemus angulum I , esse rectum, atque ita deiyceps , si plures essent partes rectae ΑΒ .. Est autem re angulus B , per hypothesim uetus t igitur rectae etC , BD , e g I p rallelae sunt ac propterea per secundum theorema BD, producta rectam AC, secabit supra punctum C , atque adeo in puncto illa sectionis reuae AC, BD , coibunt. Quod erat demonstrandum. Maillem neuter angulorum ABD, BAC , rectus sit, at quidem ABD, ac tus , & BAC , vel ac tus etiam, vel obtusus. Quia igitur duo angu

bus rectis ponuntur

minores h suntauic duo anguli ABD, DBE,

66쪽

DAE , duobus rectis aequalest erunt hi duo illia duo. Ibus maiores a ablato ergo erimmuni AR m ms-- ABD, maior.

erit reliquus . D R E , reliquo BAC. Constituatur in l. Α, i ad rectiin AB, angulus B AF , angulo DAS,

aequalis . cadetqtie recta AF, se ora reclam AC , cum AF, maiorem angulum cum AR ,contineat quam AC.

Quia igitur externus angulus DBE , interno B AF , ex eadem parte opposito aequalis est, ch erunt rectae A P. BD, inter se parallelae . Demittatur quoque ex Α, ad BD , la perpendicularis AG, quae ex Coroll. 3. Prop. ar. huius libri ad partes acuti anguli ABD , cadetr Meritque angulus GAF , rectus. Nam si acutus esse di- , eatur emciet recta AG , in rectas AF , BD , incidens angulum AGD , rectum, & G AF, aclitum s ac proin de ut proxime demonstrauimus , rectae AF , BD, ad Partes F, & D , tandem productae coibunt. Quod est absurdum rostensae enim sunt parallelae. bi autem angulus GAF . dicatur esse obtii sus erit GAH , acutus; quare ex proxime demonstratis coibunt rectae AF,BD, ad partes H, & B, productae, quod est absurdum, cum parallelae sint ostenta. Non est ergo angulus GAF,

acutus, aut obtusus. Igitur rectus , ac proinde eis Pars acu.us. Quoniam igitur recta AG,in rectas AC, BD. incidens facit angulum G, rectum , & GAC,acu tum, conmirrent rectae AC, BD, ad partes C. & D, ut proxime demonstrauimus. Si igitur recta AB, in rectas AC, BD, incidens iaciat duos angulos minores duobus rectis. quorum neuter rectus sit, ipsae rectae productae tandem coibunt ad illas partes, ad quas sunt anguli duobus rectis minores. 4od erat ostendendum. Quod si quando accidat, rectam AC . existere inter AB, AG , clard conuat rectas AC, BD, coire, quod tunc AC, basim BG , trianguli BAG, secaret.

ibus positis ad seriem propos. Euclidis reuert

67쪽

In parallatas rectas lineas recta inci ens linea; Et alternatim angulos inter se aequales e ficit;& externum interno, & opposito, &adeas . dein partes aequalem ; & internos& ad casedem partes . duobus rectis aequales facit ...

IN parallelas AB, CD , incidat recta EG. Dico primum , angulos alternos A FG, FGD, inter se esse aequales. Probatur . Si enim non sunt aequalos sit alter nempe AFG, maior . Quoniam igit r angulu AFG , maior est angulo FGD, si addatur communisi angulus BFG, c aa erunt duo A FG, BFG ,maiores

i aequales duobus rectis : igitur duo BFG , FGO , Mori bus rectis minores erunt : Quare cum sint interni . t ad easdem partes B; & D, c) coibunt lineae AB, CD, ad eas partes , quod est absurdum , cum ponantur esse parallelae. Non igitur angulus A FG, maior est am

gulo F G D ; sed neque

in ines. Eadem enim ratione ostenderetur, rectas

coire ad partes A, & QIgitur aequales erunt anguli alterni ΑFG , FG D. Eademque esciat o de ano tu iss alternis BFG, FGC. Dico secundo, angulum externum FB, aequalem esse inter , Se ad easdem partes opposito FGD. Pr batur . Quoniam enim angulo DGF . aequalis est an. gulus alternus AFG.ut ostensum est a & eidem ΑFG, i id in aequalis est angulus EF B ; erunt anguli EFB,l DGF. ea inter se a quales. Eodem modo demonstruis: ditur angulum E FR, aequalcm esse angulo FGα

ι Dico

68쪽

Dico ertio, angulos internos, easdem partes BFG, FGP, aequales esse duobus rectis. Prob. Quoniam enim ostensumi fuit, angulum externum ' FB,αqualem esse angulo interno,& opposito FGD 1 si addatur communis BFG, D erunt duo EFB , BFG aequatis duobus BFG , FGD r Sed duo EFB , BFG , sunt aeuuales ce/ duobus rectis sigitur & duo anguli BFG, FGD, duobus rectis aequales erunt. Eodem modo anguli ΑFG , FG C, erunt duobus rectis aequales. In parallelas ergo rectas lineas recta incidens linea , &alternatim &α erat demonstrandum .

. Ex hac propos. sequitur, quod si in parat Ielogram mo unus angulus sit rectus, etiam reliqui recti si int. Cum enim lineae oppostae in para l-lelogrammo lint parallelae , ut BD, CE , & in ipsas incidat recta BC , ca erunt duo anguli DBC, ECB, aequales duobus rectis a sed unus , nempe DBC , supponitur rectus ;. igitur & ECB. recti is erit. Rursus quia in parallelas BC , DE , incidit recta BD , b erunt duo anguli interni CBD , RDE, duobus aequales ue sed B, sipponitur rectus igitur &D, rectus erit, quod idem demonstrabitur de angulo E. ergo &ς.

SInt sectae AB, CD, eidem rectae EF, parat Ielae. Dico, & ipsas AB , CD , esse parallelas . Probatur. Qioniani enim omnes hae linae in eodem ponuntur e L. D a se

69쪽

st plano , cham in propos9. undecimi agitur de liueis in diuersis planis ducta Λ Ys recta HG , secabit Onitie, -- in punctis ΗΙ, &G. Quin I igitur ΑΒ , ponitur parau F tela ipsi Es a) erit ahqu- ὁ lus ΑΗΙ, aequalis angulo I C .s D HIF. Rursus quia CD, i ponitur parallela ipsi Ep,l erit angulus externiis HI F , cb aequalis i nterno.&opposito GD. Quare anguli AHI, I GD, coqtioque inter se aequales eriint. Cum igitur sint alterni ; cda erunt rectar AB ἰcD , parallelae inter se . oeae igitur eidem rectae lineae dec. Qiiod erat ostendendum .

Α dato pulicto, datae rem , lines parallelam

rectam lineam ducere

Ex puncto C, ducenda sit linea parallela ipsi M.

Ducatur ex C , ad AB, linea CD, ytcunque sa- ciens anguluia, qtiemcunqueCDA , cui ad C; c a I aequalis constituatur angulus DCE. Dici E co rectam EC, extensam quantumlibet parallelam esse ipsi ΑΒ . Probatur. Cum enim anguli alterni CDA, DCE, aequales sint per constructionem cclerunt rectae AB, CE , parallelae. Α'dato igitur punctosatae rectae lineae &c. Quod faciendum erat .

70쪽

PROPOS. z. THEOR. 22. Cuiuscunque trianguli uno latere producto:

Externus angulus duobus interius. & προ- sitis est aequalis. Et trianguli tres interni anguli duobus rectis sunt aequales . IN triangulo ABC, producitur latus BC, ad D.

Dico primo, angulum externum ΑCD, aequalem esse duobus internis, & oppositis simul A, & D. Pr

iis interno, & opposito B ι Αdditis igitur aequalibus ACE, & A , d fiet totus A C D , c qui ex duobus DCE, ACE, componitura duobus δε, & B, simul

aequat is . Quoil fuit propositum . Dico secundo , tres angulos internos eiusdeni triam guli Α, Β ,& ACB, duobus esse rectis aequales. Cum enim externus angulus ΑCD, ut ostensum fuit, aequalis sit duobus internis A, & B ι si addatur communis ACB , c e o erunt duo anguli ACD , ACB , aequalestribiis Α, Β, & ACB: sed duo ΑCD, ACB, sin aequales sunt duobus rectis igitur , 8c tres interna A, B, ACB, duobus erunt rectis aequales. Quare cuiust qui trianguli &c. Quod erat demonstrandun .vatur. a J Ducatur enim ex V, linea CE, paralleIa rectae M. Quoniam igitur recta AC, inci .dit in parallelas AB, CE , b erunt anguli alterni A , & ACE, aequales. Rursusqitia recta BD, sincidit in parallelas AB, CE, cc erit angulus externus ECD,ς qua