장음표시 사용
51쪽
PROPOS. rs. THEOR. I a. Omnis trianguli maior angulus maiori lateri subtenditur. IN AZC, anguIas B, maior sit an lo C.
Dico latus AC, stibtendens maiorem angulum B, i maiiu esse latere AB, quod angulum minorem C, sub-Itendst. Probatur . si enim latus AC, maius non. est l latere AB, erit vel aequale illi, vel minus: Si dicaturl AC, aequaleesse ipsi AB, ca) erit angulus B , aequalis angulo C; est autem, & maior per hypothesin, quod, est a bsurdum. Si vero AC, minus eς se dicatur latere AB, erit angulus subtensiis ammoti latere AC, minor angulo C, subtenso a maiori late ΑΒ; ponitur autem maior, quod maius est absurdum. Cum igitur AC, Iatus neque aequale sit lateri AB, n o que minus , sequitur, quod sit maius .ma etiam ratione probabitur latus AC, maius esse latere BC, si angulus B, concedatur maior anquio A. Omnis ergo trianguli maior angu- . ltis maiori lateri subtenditur . qiloa demonstrandum
Sequitur ex hac Prop. omnium rectarum ex quouis puncto ad rectam quamcunque Getarum, eam , quae perpendicularis est, esse minimam. Nam perpendicularis Iinea laeti angulum rectum cum alia linea, unde si duratur alia linea, quae non sit perpendicularis,M constitilat triangulam , angulus a tali linea constitutus erit acutus, ne in triangulo duo anguli sint aequa les duobus rectis . Quo stante maior erit linea, quae
52쪽
non est perpendicularis , clim ipsa subtendat angulimi maiorem, nempe rectum , perpendicularis vero sub. tendat angulum minorem, nempe acutum.
PROPOS. ao. THEOR. ID omnis trianguli duo latera reliquo sunt maiora, quomodocunque assumpta. - lSIt triangulum ABC,dieo quaelibet eius duo latera, lnempe AB, AC, simul maiora esse reliquo latere BC. Producatur unum ex illis lateribus, nempe AB, usque ad D,taliter ut sit recta AD,
cto AC & ducatur recta DC.Quinniam igitur duo latera AD, AC, per cobstriictionem sunt inter se . . aequalia, ba erunt anguli ADC, ρη .ΑCD, inter se aequales': Est autem angulo ACD, maior angulus c BCD, Iuttur & angulus BCo, maior erit angulo ADC. In triangulo ergo BCR, Iatus BD, oppositum maiori angulo BCD, ω) maius erit latere BC, opposito minori a IdI'. νιgulo BDC. Cum igitur duo latera AB, Α ., simul aequalia sint ipsi BD, si enim aeqtialibus AD, AC, commune addatur AB, e erunt tota aequalia, niinuiqniin linea composita ex BA, & ΑC, & linea composita ex BA, & AD, erunt quoque latera ρ B, Q,simul imiora latere BC. Eodem mi odemonstrabitur qua libet alia duo Iatera reliquo esse maiora . Quare omnis trianguli duo latera, &c. Quod erat ostenden
53쪽
PROPOS. 2 r. THEOR. I . Si super: trianguli uno latere, ab extremitatibus duae rectae lineae interius constitutae fuerint; hae constitutae reliquis trianguli duobus laterribus minores quidem erunt, maiorem Vero angulum continebunt. lN triangulo ABC , stiper extremitates B, & Caateris BC, intra triangulum constituantur duae rectae lineae BD, CD, in punisto D, concurrentes. Dic BD, CD, simili minores esse duobus lateribus BA,CA, simul ; At vero angulum BDC,maiorem angulo BAC. Probatur. Producatur enim altera linearum Interiorum, nem
pe BD, ad punctum E , laterisCA. Quoniam igitur in triangulo BAE, duo latera A, AE, t maiora sunt latere, BE, si addatur commune EC , b erunt BA , & ΑC, majora quam BE, & EC. Rursiis quia in triangulo CED, duo latera CE, & ED d maiora sunt reliqlao CD ; si commune apponatur DB caerunt CE, EB, maiora quam CD , & DB. Cum vero offensum fuerit etiam BA , & AC, maiora esse quam C E. & EB ; rursis CE , & Es, demonstrata sunt maiora quam CD, & DB, sequitur e quod BA , & AC, maiora sint quam CD, & DB. .md in primis erat probandum. Praeterea quoniam angulus BDC, cs maior est angulo DEC, externus interno, & opposito;&aniui Ius DFC, ob eandem causam maior est anguisio BAC ; cg Erit angulus BDC, mai8ransulo BAC, quod secundum propositum suit. Si igitur luper trian. puli uno latere δύ c. Quod erat ostendendum . D PRO .
54쪽
Εx tribus rectis liness, quae sint tabus datis re
ctis lineis aequales, triangulum constituere. oportet autem duas reliqua esse maiores omisnifariam sumptas e quoniam uniuscuiusque trianguli duo latera ominiariam sumpta reliquo sunt maiora. Sint datae tres lineae rectae AB, BC, CD, quarum quaelibet duae reliqua sint maiores alias ex ipsis
non posset constitui triangulum,' ut constat ex Prop. a.. oporteatqile construere triangulum habens tria latera tribus datis lineis aequalia. Si datae rectae Iineae fuerint separatae assiimatur aliqua linea indefinite pro ducta, aqua abscindantur aa tres lineae aequalestri bus iam datis, quo posito iuxta regulas mox tradendas triangulumonstituatile. Si vero datae lineae ut in nostra figura componant unam lineam restim AD, facto centro in B, interuallo lineae ΒΑ c b a describatur cir. cultis AE . Item centro C , interuallo lineae CD, de scribatur circulus alius DE, qui necessario secihil priorem circulum in puncto E , c cum enim duae AB, CD , .maiores ponantur recta BC :& eir Ius ΑΕ, ex linea BC abscii attineam aequalem ipsi BA; non pol rit circulus DE, ex CB abscindere lineam aequalem ipsi CD , nisi cadat, Ee secet circulum AE, Acua fi se tangerent ipsa BC, esset aqualis duabus
55쪽
AB, & CD ι quod est contra suppositum . Ex pian igitur sectionis Ei ad Pincta B, & C , ducantur rectae EB, EC , factumque erit triangulum BEC, euius latera dico aequalia essedatis lineis AB, BC, & CD. Pr batur . Recta BE c e a aeuualis est rectae BA , & recta CE aequalis est rectae CD : Igitur omnia tria latera sunt tribus datis lineis aequalia , quo stante constituimus triangulum ex tribus rect s lineis, tribxis datis r ctis lineis aequalibus: Quod erat iaciendum .
PROPOS. 23. PROBL. s. Ad datam rectam lineam, datumque in ea pum num , dato angulo rectilineo aequalem ata tum rectilineum constituere. DAta recta sie AB, datumque in ea punctum C , &datus angulus D EF: oportet igitur ad rectam AB, in puncto C, angulum constituere aequalem an gulo E. Sumantur in rectis ED, EF , utrunqtie duo puncta G, & Η,& conectantur recta GH: Deinde constituatur triangulum CIx, a habens tria latera aequalia tribus rectis EG, GH, HE, is ut C I aequa
&IM, circuli de. selibantur laeantes se in Κ, ω. Dico angultim ICK, aequalem esse angulo E. Probatur. Quonia eniin
56쪽
duo latera CI, & CΚ, aequalia sint duobus lateribit, lEG,& FH, utrumque utrique,&basisIX, basi GH, l. permnstructionem ; b) erit angulus C, angulo E,l aequalis . Ad punctum igitur C, efiicimus a ulum aeqiralem angulo E. Quia facere oportebat.
PROPOS. et . THEOR. II. . Si duo triangula duo latera duobus lateribus - . v aequalia habuerint, utrumque utrique, angu- Ilum vero angulo maiorem sub aequalibus r 'etis lineis contentum: & basim basi maiorem
DVo latera AB, AC, trianguli ABC, aequalia sintdutiniis lateribus, DB, DF, trianguli DEF, Vtrunque utraque, nempe AB, ipsi DE ,& AC, ipsi DF; Angulus vero B AC, maior sit angulo D. Dico I - λεn BC, maiorem l
μ l is angillo D, cadet que recta AG , iitra trianglitum B A C, cum angulus B AC, ponatur maior angulo D, Hibi naturque AG, aequalis ipsi DF, hoc est ipsi AC;du.m denique recta BG, cadet vel silpra rectam BC, vel in ipsa BC. aut infra. Cadat in primis supra rectam C, ut est BG. Intra triangulum ACB, ab ijsdemst tremitatibus AB, ad punctum S, Iuctae sileri int duae erectae lineae AG. BG, minores c) ipsis AC, CB: ru livi quia AG, per constructionem facta fuit aequalis l*u AC, si auferantur d) remanebit BC, maior qu/m ἰ d 4 ρνε.
57쪽
BG; Rursiis per constructionem BA, AG, aequatae sunt lateribus ED, DF,& angulus B AG, aequalis angulo EDF, ein quare etiam basis BG, atqlialis erit basi EF si igitur BC demonstrata fuit maior quam BG, maior etiam erit ipsa EF. iod erat demonstrandum. Si vero BG, cadat infra BC; fiat pariter AG , a qualis ipsi DF, vel AC, ducaturque GC . Quoniam enim duo latera Ac. AG, in triangulo ΑCG , sunt aequalia: s) erunt anguli supra basin inter se aequales, nempe ACG. ΑGC, Est autem angulus BGC, g ma- sior angulo AGC; quare etiam maior erit angulo-ΑCG; sed angulus ΑCG, maior est angulo GCB, quare multo maior erit totus angulus BG C, angulo GCB. In triangulo igitur BGC, maius erit latus BC, latere BG. Per quartam autem primi ostenditueBG, aequalis ipsi EF ; unde maior quoque erit BC, quam EF; quod pariter demonsitandum erat. Si igitur duo latera duobus lateribus &c. Quod erat l
Si duo triangpla duo latera duobus lateribus aequalia habuerint utrunque Virique, basim vero basi maiorem 3 & angulum sub aequalis i bus rectis lineis contentum angulo maiorem habebunt. DVo latera AB, AC
trianguli ABC, aequalia sint duobus lateribi is DE, DF,triangu ri DEF. virlinqlle Viri que, hoc est AB,ipsi DE,
58쪽
ΕF. D coangulum Α, maiorem esse Ugula D. Pr bhtur. Si enim non est angulus A, maior angulo D, erit vel aequalis, vel minor. Si dicatur quod fit aequalis , cum etiam duo latera circa angulum Α, aequalia sint duobus lateribus circa angulum D, utrunque virique per hypothesin , a 3 erit biss BC, aequalia basi EF r quoa eli absurdum, cum basis BC, ponatur maior. base: E F. Si vero angulus A, dicatur esse minor avistulo D; erit propter aequalitatem laterum circa istos angulos, basis EF, cba maior base BC, quod magis est absilrdiim, cum EF, ponatur minor quam BC. Quare angulus Α, cum neque possit aequalis esse angulo D, neque minor, erit maior. Si igitur duo triangula duo latera ducibus lateribus aequalia habuerint ,&c. Quod erat ostendendum.
PR. Pos. THEOR. 17. si duo triangula duos angulos duobus angulis
aequales habuerint utrunque utrique, Unam que latus viii Iateri aequale, siue quod aequalibus adiacet angulis, siue quod uni aequalium angulorum subtenditur, & reliqua latera reliquis lateribus aequalia, utrumque vir, que , & reliquum angulum reliquo angulo aequalem habebunt. a
SInt duo anguIi B , & C , trianguli ABC , aequales duobus angulis E , & EFD, t angul DEF, uterque utrique , hoc est B, ipsi E & C. ipsi EFD; sitque primo latus BC, qqed angulis B, & C, adiacet, lateri
59쪽
Eri quod angulis E, & EFD, adiacet, aequale. Dico, reliqua quoque latera A m AB, AC, reliquiso M lateribus DE, DF,
aequalia esse virumque utrique , hoc est
δ' ipsi DF; ea nimirum, quae aequalibus angi lis subtendi mitir a reliquiimqtie angulum A , aequalem esse reliquo angulo D. Probatur. Si enim latus ΑΒ, non est aequale lateri DE , sit DE, maius,ca Ia unci a . scindatur recta linea EG, aequalis rectae lineae AB, d catiirque recta GF . Quoniam igitur latera AB , BC, aequalia sunt lateribus GE , & EF , triinque utrique,
angulus C,aequalis angulo EFG. Ponitur autem angiIlus C, aequalis angulo EFD. Quare. & angulus EFG, eidem angulo EFD , aequalis ei it, pars toti : quod est absurduna;qon est igitur latus ΑΒ, ina' ale lateri DE, sed aequale. Quamobrem cum latera AB, BC, aequalia sint lateribus DE, EF , utrumque utrique & anetu i i comtenti B,& E, aequales 3 c erunt ,& bases AC, DF,&anouli reliqui A, k D,aequales. Quod iiiit propositum Sint deinde latera AB, DE. subtendentia aequalest amulos C , & EFD, inter se aeuualia. Dica rursin re j liqua latera BC, CA, reliquis lateribus EF , FD, esse aequalia utrunque utrique , hoc est
D, aequalem. Si enim latus BC,non
est aequale lateri EF, sit EF , maius, d) ex quo suma. tur recta EG , aequalis ipsi BC, ducaturque recta DG. Quoniam igitur latera AB, BC, aqualia sunt lateria bus
60쪽
hus DE, Re EG , utrunque utrique, Se anguli contem ei B, & E , aequales per hypothesin ; e γ erit anetulus C , aequalis angulo EG D: Ponitur autem angulus C, angulo EFD. aequales ; igitur & angulus EGD, eidem angulo E FD, aequali erit , rexternus interno, &Oppo sto , quod est absirdum f aest enim maior . Non est ergo latus BC , lateri EF , inaequale. Quo circa, ut prius, colligetur institutum ex . Propos. huius I.ibri. Si duo igitur triangula duos angulos duobus angulis dic. Quod erat demonstrandum.
sequitur ex demonstratione huius Theorematis tota etiam triangula , quoad areas esse aequalia . Nam si latera AB , BC . lateribus DE , EF, aequalia sunt , ut ostensiim fuit, contineantque ex hypothesi, angulos B,& E, aequales: ay erunt quoque tota triangula inter se aequalia .
PRO Pos. 27. THEOR. I 8. Si in duas rectas lineas recta incidens linea ab tematim angulos aequales inter se secerit a Parallesae erant inter se illae rei, lineae. IN duas rectas AB . CD, inuidem recta EF , saeuiangulos alternatim AEF, EFB , inter se aequalea. Dico lineas AB, CD , esse parallelas se Probatur. Si enime . pr a 4. H.