장음표시 사용
41쪽
Porro ex antecedente hiiliis octatiae propositionis non solum colligi potest. angulos ab aequalibus lateri
bus contentos aequales esse a verum etia in reliquos angulos, qui ad bases constitiiunitu utrumque utrique, ut angulum B angulo E. 9 angulum C, angulo F; immo totum triangulum toti triangulo , ut constat ex eadem sit perinsitione unius trianguli super alterum.
Nam sibi mutuo congruent d/cti anguli, &tot triangula, ut perspicuum est . Quod etiam ex quarta pro sitione colligi poterit.
. PROPOS. 9 PROBL. q. t Datum angula in rectistaeum bifariam secare
t It diuidendus angulus re inena ABC, bifariam hoc est in duos angulos aequales. Α recta BC. a maiori abscindatur BD, aequalis ipsi BA, ducatur lque recta AD. Deinde super AD, Oa constituaturl triangulum aequilaterum RED, Mn ducatur recta BE , dilii dens anguintum rectilineum ABC, in angulos ABE, EBC. Dico hos angulos inter se esse aequales. Probatur.Cum enim latera AB,BE,trianguli ARE, aequalia sint lateribus DB, ΕΕ, trianguli DBE, utrumque utrique nam DB,
per constructionem ipsi ΑΒ, factum fuit aequalea & BE , est commune;& basis AE, sit aequalis basi E D, ex eo quod sint latera trianguli aeqiiilateri; sequitur, quod duo triangula ABS , BDE, habeant conditiones octaliae Propositionis , unde erit ari- gli Ius
42쪽
euliis ABE, angulo DRE, aequalis; quapropter angulus ABC, erit bifaria divitiis; quod erat faciem dum .
Datam rectam lineam finitam bifariam
secare. SIt recta finita ΑΒ, diti idenda bifar am idest in duas partes aequales. a) Describatur super ΑΒ, triangillum aequilatet uita ABC. cuius angulus C, perrectam CD, b) diuidatur bifariam, C rectaque CD, rectam AB, secet in D. A Dico rectam ΑΒ , bifariam esse diui-Il fam in D. Probatur. Quoniam duo latera AC, CD, trianguli ACD, - aequalia sunt duobus lateribus BC,CD, - - - trianguli BCD, utrumque Virique, nempe AC, ipsi BC, cum sint ambo latera trianguli aequit ateri, & CD, est commune s Est autem angulus ACD, angulo BCD , aequalis per constructionem: da erit basis Al), basi DA, aequalis. Data igitur recta AB, suit bifariam secta in D. Quod erat faciendum.
PROPOS. II. PROBL. 6. Data recta linea, a puncto in ea dato, reetam
' lineam ad angulos rectos excitare. SP data recta linea AB, dein ipsi sit datum pun-
43쪽
b siti per AD,cba conItittiatur trian Milum aequi latertim AED, atque ex puncto E, ad
T punctum C, ducatur linea EC, '' m dico esse perpendi larem
ad AR. Probatur. Quoniam latera AC, CE , trian uli ACE,
M C I A aequalia sint lateribus DC, CE,
trianguli DCE. utrumque virique, nempe AC. ipsi CD, per constructionem; &CE, commuile ; Est vero, &basis AE, basi ED, aequalis , cum sint latera triangulie 8.ρνδ.iaequi lateri: sc) Erunt anguli ad C, dictis lateribu, dio.ρνι. comprehensi aequales: t dst quare dicetur uterque rerictus; atque adeo EC, retia ad AB, perpendicularis erit. Data igitur recta linea a puncto in ea dato, &c. Quod faciendum erat..
PROPOS. I a. PROBL. 7. Suter datam rectam lineam etiam infinitam.
a. dato ptineto , quod in ea non est, pervpendicularem metam ducere. C It recta AB, etiam interminatae quantitatis, & exin
s o tra ipsam punctum C, a quo oporteat lineam per pendicula rein ducere ad rectam AB. Centro C, inter- . uallia vero quolibet cir- culus describattir secans
AB, in Α , R E , quo- niam interuallum assγ C ptum tantum esse debet, : l 1 ut transcendat rectam Al I B; alaas eam non secat et E B ca ditiisse autem recta AE, bifariam in F, diic . . tur recta CF , quam dii , eo perpendicularem esse ad
44쪽
ad 'AB. Probatur. Si enim ducantur CA, CE , erunt Iduci Iatera Ap . & FC, trianguli ΑFC, aequalia duobus lateribus EF, FC, trianguli E FC. virlimque viri- tque, per constructionem ; est autem &basis C Α, basi CE a qtialis, cum sint excentro C, ad circumferentiam ADE. Rimre b erit a neu in AFC , angulo EFC, aequalis, & propterea 'terque lectus. Ducta est lol. rur CF, perpendicularis ad AB. Quod erat faciendum a
PROPOS. 13. THEOR. 6. Cum resta linea super rectam consistens lineam angulos facit, aut duos rectos. aut duobus rectis aequales efficit. ς It recta linea AB, consistens super rectam CD,quae
faciat duos angulos ABC, ABD. Si igitur AB, iuerit perpendicularis ad CD , c a a diro anguli erunt recti. Si vero ΑΗ, non fuerit perpendicularis , faciet quidem unum angulum obtusunt, alterum Vero acu 'tum . Dico igitur ipses duobus esse rectis aequales. Probatur. ba A piincto B,diicatur BE,per- ipendicularis ad CD , & sint duo anguli E C, EBD, reeti. Qv - .niam vero angulus rectus EBD, l c aequalis est duobus angulis , cI9.pνo. DBA, ABE ; sa emant apposito communi angulo re- l f a. EBC, duo recti EBD, EBC, tribuq angulis DBA, ARE, F BC, aequales. Rursus quia ga angulus ABC, duobus angulis ABE, EBC , aequalis est a c b/ erunt pposito communi angulo ABD, duo anguli ABC, ABD, tribus aneuhs DBA , ABE, EBC , aequales. Sede idem his tribus ostendimus, aequales etiam esse duos Mos EBD, EBC : quae autem eidem aequalia ζ i a in
45쪽
ter se aeqmlia . Duo igitur anguli ABC, ABD, aequa- les sunt duobus rect s EBD , EBC. Cum ergo recta linea super rectam consistens &c. Quod ostendere oportebat .
PROPOS. Iq. THEOR. 7. Si ad aliquam rectam lineam , atque ad eius p unctum duae rectae lineae non ad easdem partes ductae eos, qui sunt deinceps, angu-l los duobus reistis aequales secerint a in dire i ctum erunt inter se ipse rectae lineae.
t C It data recta AB, in q; ia punctiim B, a d quod ex diat o uersis partibus ductae sitit duae tectae lineae BC.BD,
facientes cum ΑΒ , duos angulos ABC , ABD, vel rectos ves duovus rectis aequalcs . Dico ipsas BD, BE, taliter esse inter se constitiistas ut C BD, sit una linea r dia . Probatur. Si enim CB. D, non est recta producta DB, in directum , & con-' tinuum cadet aut supra BD,
aut infra e Si cadit sisyra verbi gratia in E , cum superi rectam CBE , insistat recta AB, c a a fient duo anguli a 33 pr ' ABC, ABE , duobus rectis aequales a Ponuntur autem & duo anguli ABC , ABD, duobus rectis aequales b λδ.pro. lῶomnes recti sunt inter se aequales : Quare duo a i guli ABC, ABE , duobus angulis ABC, ABD , erunt
-- - aequales: Ablato igitur communi angulo ABC , c cI
ς 3 ' i remanebunt anguli ABE, ABD, nter se aequales,pars.& totum, quod est absurdum . Non initur recta BE, cadit iapra rectam BD . Q quo modo ostendettir ipsam nee cadere infra ipsam BD ; igitur CB, in directum producta eadem essicietur, quae BD ; ideoque si
46쪽
ad aliquam rectam lineam,atque ad eius punctum Sec. lQuod demonstranduin erat. ι
Si duae rectae lineae se se mutuo secuerint, amgulos ad verticem ae quale, inter se efficient. . . SEcent se duae rectae AB, CD, in pii tristo E, vicum
que . Dico angulos, quos faciunt ad verticem Ε, esse inter se aequales, an Milum vule licet AEC, angulo DEB, &angulum AED, angulo CEB. Probatur. Quo niam enim recta AE , consistit super rectam CD , c a I erunt duo a nauli AEC, AED, duobus rectis aequales . Rursus quia recta DE, consistit superrectam AB, b i ei unt duo anguli DEA, DER,atqliales duo-biis rectis. Cum ig tur omnes anguli recti cito sint inter se aequales; erunt di anguli AEC, AED,duobiis angulis DE A, DEB aequa-Ies . . Dempto igitur communi angulo AED 1 t c a r manebit angulus AEC, angul'DEB, aequalis. Eadem ratione demonstrabitur, angulos AED, CEB, inter se aequales esse : Si igitur duae rectae lineae sese mutuo se. euerint &c. Quod ostendere oportebat.
Euclides colligit ex demonstratione huius Theor limatis c ex sententia Proesi, quoniam alia exemplaria hoh Corollarium non habent in duas lineas rectas sese mutuo secantes, efficere ad piinctum sectiones quatuori angulos quatuor rectis angulis aequales . Nam inde. imonstratione ostensum fuit, tam duos angulM AEC, II '
47쪽
tes per Propos. 13. Quare omes anguli d E,constitutiaqlii pollent bis duobus rect .s angulis. . COR Ο-L L A R I V M. a. Eadem ratione colligemus. omnes angulos circa unum ,& idem punctum constitutos quoscumque fit rinu, luatuor dumtaxat rectis angulis aequales esser si enim ex E , aliae quot libet lineae educantur , diuidentur solummodo illi quatuor anguli ad E, constituti in plures partes , c a quae omnes simul lammae totis suis adaequantur. Ex quo perspicuum est omne spatium punctum aliquod in plano circumstans, aeqiimalere quatuor rectis angulis, ut multi authores asserunt quia omnes anguli , qui circa illud punctum constitui pos sunt, quatuor sunt rectis angulis aequales. Simili ni do constat, quotlibet lineas rectas se inuicem secantes, facere ad punctum sectionis angulos aequales 4.rectis.
Cuiuscumque trianguli uno latere producto. t externus angulus utrolibet interno , & OP posito maior est . . TR iangilli ABC , latus BC, producatur ad D ; Dico angulum externum ACD, maiorem esse interno,& opposito BAC, itemque maiorem imterno, & opposito A
48쪽
EB , ducaturque recta FC. Quoniam igittir latera AE, EB, trian uli AEB,aequaliastine lateribus CE, EF , trianguli CE F, vinimque utriqtie per constructionem 3 sunt autem, de anguli ad E, ditiis laterib is aequalibus comprehensi cc I inter se aeqtiales, cum sint circa verticem ,-oopositi et Erit per secundam partemqt artae propositionis angulus E AB, aequalis angu- Io ECF: est autem angulus ACD , externus maior angulo ECp eum ille sit totus, & hic pars: igitur , &externus angulus ΑCD , d a maior erit interno , &opposito EAB ; Denuo si latus AC, producatur ad G,&latu, BC dividatur bifariam, &a puncto A, per Winctum sectionis, eo prorsus modo, quo supra fatii imisit, ducatur linea facile erit demonstrare angulum BCG . maiorem esse angulo interno . & opposito ABC, quo stante cum angulus BCG, cc sit aequalis angulo ACD , etiam angulus ACD i maior erit angulo ABC a cuiusclimque ergo trianguli M. Quod erat demonstrandum . . .
PROPOS. II. THEOR. IO. Cuiuscimque trianguli duo anguli duobus rectis sunt minores, omnifariam sumpti. SIt triangulum ABC; dico duos angulos ABC,
ACB, minores esse duobus re et is quomodocumque sumantur. Producatur enim
quodvis latus, nempe BC , in i
1. Quoniam igitui cast ngu lliis ACI , externus maior est interno & opposito ΑΒ ; si addatur communis angulus lΑCB, b, erunt duo anguli ACI , ACB, maiores duabus angulis ABC. AC B, sed duo ACI, ACB, cca aequales sunt
49쪽
duobus rectis. Ioitur duo ABO, ACB, erunt minoia res duobus rectis, Eadem ratione erunt anguli CBA, BAC, minores duobus rectis, dummodo latus BA, producatur ita, ut an ulus extetrnus estormetur. Cuiuscunque igitur trianguli duo an uti, &c. Quod deuronstrandum erat.
Ex dictis constat in omni triangulo, citius unus a gulus fuerit rectus, vel obili sus, reliquos esse acutos. Cum enim per hanc plopositioncin duo quilibet anguisti sint duobus rectis minores. necesseest,ut si unus su rit rectus, vel obtusus quaemcunqite reliquorum esse acutum, ne in triangulo duos angulos rectos , alit remetis maiores esse sateamur.
Seellitur etiam ex hac Propositioner si linea recta cum a Ita recta angulos inaequales faciat, unum sei licet acutum,& alterum obtusiim. lineam perpendicularem ex qliouis eius puncto ad aliam lineam rectam demistisam cadere versus partem acuti anguli. Facsat enim recta AB, cum recta CD, angulos inaequales, nempe ABD, acutum, & ABC, obtusum ; demittaturque expuncto Α,quocunque a ad CD perpendicularis A D. Dico AD, cadere ad partis anguli acuti ABD. Nam si non cadit ad partes anguli acuti, si fieri potest cadae ad partes anguli obtiis ABC. & si verbi gratia AC;i igitur duo anguli ABC, ACB, sitne maiores duobus δ' ' L l rectis, cum unus sit rectus , & alter obtusius fυ quodi est abserdiim : quare perpendicularis cadet ad Partest anguli acut quod erat ostendendum .
Pari rasone fit manifestum omnes augulos trianguli aequi.
50쪽
uilateri, & duos angulos trianguli iseleelis supra basim esse acutos. . Nam αβ cum& quil bet suo in triangulo aequi latero, & duo in isoscete supra basim snt inter se aequales ι sintque simul tam illi duo, quam hi duobus rectis minores, erit quilibet illoriim recto minor; hoc est acutus .
PROPOS. 18. THEOR. tri mnis trianguli maius satus maiorem. angulorum subtendit. IN triangulo ABC, sit latus AC, maius latere AB.
Dico angulum ABC, maiorem esse angulo ACB. Prob. E maiori latere AC, ca/ auferatur AD. aequa lis ipsi AB, ducaturque re cta BD. moniam igitur duo Iatera AD. , per con structionem sunt inter se aequalia b erunt anguli ABD, ADB, inter se aequa-le s.pνδ.
totus ABC, sit etiam maior angulo ABD, erit angulus ABC, multo maior angulo ACB. Eadem ratione si Iatus AC, ponatur maius latere BC, facile erit ostem dere, angulum ABC, maiorem esse angulo Α. Qirare omnis trianguli maius latus maiorem angulum subten dit. Quod demonstrandum erat.
Ex hoc seqttitur omnes tres angulos trianguli sedi leni esse inaequales, cum latera in huiusmodi triangulia lsint Inter se inaqnalia . C Pro-