장음표시 사용
31쪽
ra Elementorum Geometrsae ΡROPOSITIO IV.
aequalibus opponuntur. Nam si intelligam tis,triangulum Z triangulo Xa Per axi, superponi, latera L F , LI perfecte congruent a sibi aequalibus laterit his A B, Λ C , sic ut puncta stria L, F, I, cadant i a per tria puncta A, B, C,ergo tum etiam basis FI tota cadet supra totam basim BC : sed & anguli F, B, itemque I , C, totaque triangula sibi mutuo tunc congruent. Omnia igitur per 7.aX. squalia sunt. Quod erat demonstrandum Scholium .
S C Imili sero ratiocinio theorema sequens, cujssso mox erit i fus , licebit demonstrare . . Si duortim triangulorrem X, Z, latera DC, Fraequalia fuerint , s anguli illis lateribus adjacentes, nimirum B,a C ipsis F, o I fuerint aequales , omnia reliqua , S triangula ipsa aequalia erunt.b Per avi. Si latus F I imponas lateri sibi aequali B C, illi b. congruet. Tum vera ob aequalitatem angulorum
e Per ait. F,B, T L C etiam e FL cauet supra B A, T I L supra C A. Ergo etiam punctum, L , incidet in pune tum A; si enim caderet extra A , Iaser a F L, I L, nore inciderent in latera BA , C A . Ergo omniafunt per axioma 7. aequalia .
32쪽
Liber Primus. ΡROPOSITIO V. TManguli UUcesis , seu aequi uris ad basim Fig. asis anguli A, C aequales sunt.
Intelligatur trianguIum A B Cbis positum ν , sed situ converso c b a . Quoniam igitur in duobus triangulis ABC, eba ex hypothesi aequale est latus AB lateri & latus CB lateri ab ,& angulus B angulo b ; etiam q ad basim angulus p A angulo c aequalis erit. Qvqd erat demonstra dum , iidem enim stini anguli C , & e. Corollarium.
2E QRil tertim ergo triangulum , etiam s
SI in triangulo ABC)duo anguli C3 i. aequales fuerint, etiam latera B, C B iis
opposita aequalia erunt. Intelligatur triangulum ABC bis positum, , sed stii converseo b a . Qitoniam igitur in dii bus triangulis ABC, c ba aequatur latus unum AC, uni lateri ea, & angulus A angulo e ,& amgulus C angulo a ; etiam reliqua omnia o erunt 'aequalia , ac proinde latus Λ B aequabitur lateri ' eb. Quod erat demonstrandum , eaedem enim a sunt lineae CB,& c
33쪽
corollarium. Quianguli rego triangulum , etiam isqui- luterum est.
PROPOSITIO VII. Est propter 8. quae sine illa seorsim proposita de
SI duo triangula habuerint omnia latera sibi mutuo aequalia AC ipsi EF; CBiUFI,3 AB ipsi
ΕΙ; etiam angulos omnes aequalibus lateribus op
positos babebunt aequales C ipsi F ; A ipsi E; n
is si 1 - . 'U T Ponatur enim latus ΑΒ supra sibi aequale EI. Tum vcro punctumC vel incidet in punctum F,
vel non. Si incidat in F, tota triangula congruent, a Peraxi. ac proinde omnes anguli a aequales erunt.
. Si C, cadat extra F, ducatur F C. Qupniam per hypothesim latera E F, AC aequantur, erit b an- Fig. 28. gulus E F C par angulo E C F. ergo I F C major .pςr 3-t, erit, qu m ECF. ergo IF C multo major erit, quam IC F. Rursum, quia per hypothesim I F, per s. l. is C aequantur , erit IF Cc par IC F. Ergo IF C ' & multo major est,quam IC F, ct aequalis,quod est impossibile. Ergo C non eadit extra F. Ergo &c. Flures casus , quos hoc theorema admittit, consulto praetermiseri ne turones fatigarem. 'Neque πerodnculter eorum demonstratio ex demonstratione
34쪽
Liber Primus. II PROPOSITIO IX. DAtum auulum rectilineum I AL bifariam secare . Ex lateribus anguli accipe circino sequales AB, AC; centris B, ac C describe duos aequales circulos se s ecantes in F , ducaturque recta FΛ, haec angulum bilecabit. Ducantur enim BF, CF; triangula FAB, FAC sunt sibi mutuo aequilatera ; nam latera AB , AC ex constitutione aequalia sunt, & latera BF, CF, quia aequalium circulorum semidiametri, etiam aequantur , & AF utrique triangulo commune est . Ergo anguli BAF, CAF a aequa- ii Iessunt. Bilhctus est ergo datus angulus I A L . . Quod erat faciendum. Corollarium.
HInc patet quomodo angulus secari possit Inaequales angulos q. 8. I 6. &c, sngulas nimirum partes iterum bisecando.
MFibodum secandi angulos in aequales quot
cunque circino , a regula bactenus nemo
Ex PappMameno Archimede habemus curῬas quasdam lineas quadrati icem videlicet , s spiralem , quarum adminiculo id obtinatur. Anguili triIectio perscitur a Pano L q. prop. 3I. praesidio Dperboles , quod etiam obtineri poten ope parabolae , vel conchoides. Mechanice datum angulum in quotcunque βω- 30 bis squales angulas, si ex anguli vertice A tanquam
35쪽
18 Esementorum Geometria centro intra anguli crura arcum describas , eumque dividas in quot placuerit aequar partes; re-e genim ex Aper diviserenum punita emissae angulam secabunt in partes totidem aequales .
Super data ABnc triangulum aequilaterum a AG R. Angulum Hus G b biseca per re tamGC , eadem biIecabit rectam AB datam. Nam in triangulis X, L latus CG est commune , & per constructionem GA, GA sectu lia , angulique iis contenti A G C , B G C aequa-ς per . t. Ergo bases AC, BC c aequantur. Bisecta est ergo data A B. d erat faciendum. Pro praxi satis erit centris A , & B , duos se quales circulos describere se secantes in G, α L, ac ducere rectam G L.
pendicularem excitare . iCircino cape aequales AC , AF . Centris C ,& F describe duos sequas circulos se secantes in B. Ex B ad Λ ducta recta erit perpendicul
Per εἰ Ducantur enim CB, FB. Triangula X, &b P.ἡ d. Zm mutuo aequilatera sunt . Ergo angulisin. i. . CAB, FAB a aequales. Ergo BA b perpendic laris est. Ex dato igitur puncto dcc. Quod erat faciendum. Traxis
36쪽
Liber Primus. IV Praxis tam hujus, quam sequentis expeditur facillime praesidio normae. PROPOSΙΤΙΟ XII. EX dato extra rectam infinitam LE puncto Fig, 3 3 - perpendicularem ducere .
Centro A describe circulum , qui secet datam
L C, Ac l. Rectam C I biseca e recta AB,
ea erit perpendicularis. Ducantur enim AC, AI. Qitoniam per com d Per s. l. structionem triangula X,& L. sunt mutuo aequi' δ' latera, erunt anguli d CBA, IBA aequales. Ergo AB perpendicularis e est. Ex dato igitur pun- I Eho dcc. Quod erat faciendum.
aut duos rectos angulos facit , aut duobus
Nam si ΒΛ insistat pe pendiculariter , erunx per def. I . anguli BAC , BAF utrique recti , si verb BA insistat obliquὰ , excitetur a a Perperpendicularis A L. Quia tum anguli inaequa- les CAB, FAB eundem locum occupant , quem duo recti CAL, FAL , ac proinde iis congruunt, erunt b his illi aequales . Quod crat demonstran- b Per a- dum xio . . Corollaria. r Uodem modo demonstrabitur, si plures rex. Etae , quam una eidem rectae insistant iangulos uisci duobus rectis aequales. 'B a a Duae
37쪽
Io Elementorum Geometria2 Duae rectae invicem se secantes BAC , FALefficiunt angulos quatuor rectis aequales . Patet ex propos . Fig- 3 omnes anguli circa unum punctum consti-- tuti conficiunt quatuor rectos . Patet ex C rol. I. sunt enim quatuor recti in plures partes s ecti.
duobus rectis aequalas, X K, Z unam rectam Ucient. Si negas, faciant X R, BR unam rectam ἀErgo anguli X RQ, BR b conficient duos re- quod e est abiurdum , cum ex hyp. X R. coatha ZRQ duos rectos essiciant.
Nam,qui a B A insistit rectae LF , erunt LAB ,- , FAB, a pares duobus rectis. Et, quia FA insi- r δῖ' rectae BC , erunt b quoque FAC, FAB p
bPer eand. res duobus rectis. Ergo e duo simul LAB, FARe Per exis. aequantur duobus simul C AF , F Α B. Ablato igitur communi FAB,remanent d aequales LAB, Per Uo. Eodem modo ostendam , aequales esi
38쪽
tiber Primus . 2IΡROPOSITIO XVI. & XVII. Continentur inprop. 3 a. Neque ante illam adhibentur .
sequarentur contra hypothesim . Nequit etiam Λminor esse,qii m B. Nam si Λ minor est, B m jor , poterit intra angulum B per rectam BF fi ri angulus ABF aequalis A. Tum vero per ε .aequales erunt BF, AF,& si addas utrique , OF, erunt DF, FO aequales Ao. Sed AO per hyp. minor est, quam Bo. Ergo etiam BF, Fo min res nint, qu m Bo, quod repugnat definitioni
Ihneae reti ae , quae est omni tim brevissima . Angulus igitur Λ nec minor est angulo B , nec aequa lis. Ergo major. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XIX. I triangula latus BO) majus est , quod οἴ- Fig. ponitur majori s A)anguilo. O minus, quod
minori AB . st conversa prioris . Bo non est minus, quάm ΛΟ, alias per i 8. angulus A esset minor angulo B contra hyp. Neque etiam Bosequale est ΛΟ, alias per 3. anguli A, B, se-ctuarentur , rursus contra hyp. Ergo Bo
39쪽
2 2 Elementorum Geometriae majus est, quam Λ Ο, Qvqd erat demonstra
PROPOSITIO XX. O Mnis trianguli duo quaelibet latera reliquo
sunt madora . Est Archimedis instar axiomatis; immediate siquidem patet ex desinitione Archimedea lineae rectae , quam vide supra in definitionibus.
Fg 32- I it terminis unius lateris intra tri. o anguimn duae rectae junguntur fAO, BO hae lateribus trianguli AC, BCὶ minores funt , majorem ver/ angulum O B in comprehen
a Per zo. 1 Pars. Produc Ao in F, AC, CF sint a maiores, quam Λ F. Addita ergo communi F B, erunt AC, CB majores, qu m AF, FB. Rursum, Peread. OF, FB sunt b majores, quam OB. Addita ergo communi ΛΟ, erunt AF, FB majores, quam ΛΟ, ΟB. Ergo AC, CB sunt multb majores,
quὶm ΛΟ, O B- . . . 1 Pars demonstrabitur in Coroll. a. parcis pra 'mae prop. 32. Ea interim non utemur ., PROPOSITIO XXII. Fig, o. TI X tribus rectis BO, DL, LO, quarum H duae qualibet reliqua sint majoreF, triangu
40쪽
Assii matur datarum una EL , atque una Hiis extremitate B accepta pro centro , intervallo auterius datae Bo describatur arcus. Deinde accepta pro centro extremitate a tera L intervallo tertiae Lo describatur arcuu priorem secans in O, ducanturque rectae Bo, LO. Dieo factum. Demonstratio patet ex constructione.
Ducatur utcunque CE secans latera dati a
guli A. In data recta ex B accipe BL parem AE. Centro B intervallo AC describe circulum , ἔitem alium centro L intervallo EC, qui priorem secet in O. Ex o ad B,& L due rectas. Erit angulus L BO par dato A. Nam per constr. triangula sibi mutuo sitiit aequilatera. Ergo per t. anguli B, dc A aequales.. Aboliam. gratiam uronum tisum est bie nonnulla ad praxim angulorum necessaria proponere. Anguli mensura en circuli peripberia, quae ex si . t a Tertice anguli tauquam centro describitur , ut patebit ex prop. vltima lib. 6. . Itaqβο quot gradus continebit arcus B C inter anguli BAC crura interceptus , tot graduum dijcetur esse angulus B AC. Et quoniam rectum au-gulum BA, F metitur quadrans peripheria BF, Iradus 9o. continens , dicetur recta dus