장음표시 사용
51쪽
gulιs demas angulos circa A, anguli reliqui, qui componunt angulos Rurae, conscient bis tot rector , demptis quatuor, quot sunt laterasgura . Hinc patet , omnes eiusdem speciei rectilineas Auras squales babere angulorum summas 3 quod admiratione dignum est. Praxis . Duplica denominatorem figura: a producto aufer q. re1fabunt anguli recti, quos consciunt anguli interni Hurae . Theorema Fig. 18. δ' Mnes simus externi anguli cujuscumque fghirs rectilines, consciunt quatuor rechos e.Peris. Tl n singuli Hurae interni avidi cum singulisi L . extirnis consciunt duos crectos. Ergo interni simiui omnes cum omnibus simul externis consciunt bis tot rectos , quot sunt latera murae. sed cui in praeced. ostendimur) interni simul omnes ctiam cum quatuor rectis esciunt bis tot rector, quot sunt Ia-ιera Rura . Ergo externi anguli, er quatuor recti
Mira sane haec figurari refctilinearum propri tar ere , ex qua illud etiam consequiisιr , omnes cujuscunque speciei re Utilineas figuras aequales habere externorum angulorum summas. Itaque trianguli blicujus tres externi anguli aequales sunt mille extorms angulis figurae millelaserae. Quae prorsus admiratione sunt digna o
PROPOSITIO XXXIII. g. ues. I duas rectas aequales, parallelas CF )jungant duae aliae AC , BG erunt etiam illa
aequales , I parallelae . . Parallelas AB,CF secet M; erunt in triangulis
52쪽
Liber Primus . alterni anguli B AF, CF Aa aequales. P a Pernitur autem latus AB aequale lateri CF, θ: AFutrique triangulo est conarririne . Ergo b bases b Per . LBF, AC aequantur Quod erat primum . Et anguli ad basim AFB , F A C sitiit aequales: ac proinde AF incidens in rectas AC, BF facit alternos AFB, FAC aeqnales . Ergo e AC, BF Σε. sunt etiam parallelae . Q d erat alterum. l. I.
Pin.lelmammi Opposita latera, anguli E--ss. quantur , ipsumque a diametro bisecatur . Quoniam AB, CF sitiit a parallelae, in easque a Per defincidit Λ F , erunt alterni BAF , CFΑbsequales. 31 Item quia AC, BF sitne e paeallelae , in easque yy incidit AF, eruntd alterni CAF , BFA aeqxiales, e P.= d.f. Ergo totus BA C toti BF C aequalis est . Eodem modo oste ndam B, ct C aequales esse. Quod erat a Per ar.
Quia verb jam ostendi, triangula - , quae
unum latus AF commune habent , etiam angu- . las lateri AF adjacentes habere aequales , nimi-
xum BΑF ipsi CFA, & CAF ipsi BFA. Erunti e etiam latera AB ipsi FC,& BF ipsi C Λ, aequa . Per aο. - tia, itemque ipsa triangula. ἔ- Sebolium .PArtim ex hoc theoremate, partim ex se nitio--co. ne libro a. praemittenda, facilὸ elicitur di mensio par Ielogrammi rectanguli. Illius area proaucitur ex multiplicatione duorum laserum contiagnorum . , AC. Sit exem. v. AF pedum 8. AC, 3. DAc in q. proveniunt 3 a. pedes quadrati pro orea re tanguli. C α Quam
53쪽
Liber primus . Sobolium . EXboc theoremate habetur dimensio parallelogrammi cujuscunque . Illius igitur area producitur ex altitudine I A, seu C A ducta in basem P am area rectanguli C B paralleloerammo B Laequalissi sex AC ducta in Ergo oc. I Per febOL
TManguitu ACB, AFB super basi eadem - οἴε AB), vel aequali inter easdem parallelas C I, AZ) conjtituta sunt aequalia . Lateribus AC, Λ F duc parallelas B L, BIParallelogramma AC LB, A FIB sunt a prie . Sed horum triangula data b sisnt dimidia . b Per 3 Ergo triangula data c sunt aequalia. ι- ἔ.Hec propositio fet universalis. p. LI. 6. Memmc Prones notent in triangulis, quod eos notare jussimus prop. praeced. de parallelogrammis .
PROPOSITIO XXXIX. & XL T angula aequalia ACB, AFB super ea- Fig. 6 dem basi s AB in , vel aequali ad easdem . partes constituta sunt inter easdem parallelas B, C F. Si negas, sit C L parallesa ad Α Η, & ducatur
iam AFB ipsi ACB squale est. Ergo ALB,
54쪽
38 Elementorum Geometriae AFB aequalia sunt , pars,& totum , Quod fieri
PROPOSITIO XLI SI triangulum AFB sit in iisdem parallelis
cum parallelogrammo basim eandem habeat in *el aequalem , ipsius dimidium erit . DueCB. Triangula AFB,& ACBa aequantur . Sed b ACB est dimidium parallelogrammi AL. Ergo etiam AFB est dimidium Λ L. Qtioderat demonstrandum . sobolium .
midia altitudine FIMina in basim AB), vel ex dimidia basi in altitudinem. Zare noto uno latere trianguli, o altitudine sive perpendiculari, quae in Iaarus notum ex angulo opposito drecitur, habetur trianguli dimensiouit se bases . st pedum ico.altitudo FI 8 s. multiplicabasis dimidium so . per proveniunt qa so. pedes quadrati pro area trianguli AFB . Porro altitudo , si e perpendicularis illa , quando area trianguli peragrari potest , mechanicὰ innotescit, uti latera . Si area peragrari nequeat, in venietur geometricὰ altitudo per ι 2. IJ. lib. a. si in scholio ibidem docebimus. D triangulo reo tangulo altitudo est eadem cum alterutro latere circa angulum rectum . Hujus ergo semesis dudia in latus alterum recto adjacens dabit trianguli aream. PRO-
55쪽
Liber Primus. 3 9 PROPOSITIO XLILD Aio triangulo ACB aequale parallelogram- Fig. 66.
mum facere habens angulum parem dato O. Basim ΑΒ biseca in F. Per C duc CX parallelam AB a. Fac bangulum BAL parem dato O. Due FI parallelam AL c. Erit ALIF , quod quaeritur. L ' jDucatur enim FC. Parallelogrammum AI an- . D ' gulum habet L AF parem dato, O; est aequale l. i. triangulo dato ACB,cum tam a triangulum ACB, d Perquam e parallelogrammum AI, dupla sint eiusdem trianguli ACF. ePerpraec. Corollarium.
DAto triangulo ACB habetur aequale rectan- Fig. 66. gulum ,si per C ducatur parallela lateri AB, dc bisecta AB in F, ex B erigatur perpendicularis Erit enim rechangulum 1 ub FB, &QB par triangulo ACB.
PROPOSITIO XLIII. I parallelogrammo BL complementa B O, TU. 6 .
OL) eorum, quae circa diametrum exolunt si Rcs )sunt aequalIa. Si per diametri AR punmim quod riso due tur CF paralleIa lateri AB, & RS parallela lateri
BQ secatur totum BL in quatuor parallelogramma, quorum duo circa diametrum sunt RF , CS, duoreliqua BO, OL sunt horumcomplementa.
Ea esle aequalia sic ostenditur. Triangula A BQ; f Per 3 ALQfaequantur, similiter ΛRO, OCinaequalm i
56쪽
qo Elementorum Geometriatur AFO, O SQ Ergo si ab aequalibus ABn A L Q auferas aequalia , hinc ARO, OCinim. de Ah O, OS aequalia remanent Bo,&OL
g. 63. A D datam rectam so Sin parallelogrammula colutuere dato triangulo V) aquale in an gulo dato X.)fPςr ' Fae s parallelogrammum R C dato V aequale' in ' habens angulum RO C parem dato X, & ponex Per 3 r. latus RO in directum datae OS. Per Siluc SQ parallelam OC, cui occurrat BC producta in in Per in & O ducta recta occurrat B R pr tractae in A. Per A duc A L parallelam ad OS, cui occurrant C O, dc productae in F , & L. Parallelogrammum o L est , quod
i Per prie. Nam O L i aequatur R C, hoc est per constru P.ἡ i,. ctionem dato triangulo V, & est ad datam OS, l. i. habetque angulum FOS parem angulo ROC, hoc est per const. parem dato X.
PROPOSITIO XLV Fig. 69. Ato restilineso C in aequase parallelogram-LI mum construere ad datam re ctam Imin dato angulo H. Rectilineum resolve in triangula A, B, C ducendo rectas F L, FI. Ad datam I in anaulo dato H sae a parali
57쪽
grammum IV aequale triangulo A. Tum pro- aPerducatur I Rinfinite versus P: dc ad rectam R V, in angulo , V R P fac b parallelogrammum RL b Perean aequale trigono B. Rursum ad rectam S Z in angulo L S P fac parallelogrammum S G aequale trigono C. I G est parallelograminum quaesitum.
Nam c angulus L V R par est sibi alterno IRV. Sed d Qta & I RV sunt: aequales duobus rectis. Ergo etiam QER, dc Z VR duobus rectis sequantur. Ergo suu & Z V sunt in directum. Pari modo ostendam QR,& G L esse in directum, Ergo tota Z G in una recta , & quidem parallela ad 1X, cum per const. sit ad I Ppin n.ἡ orallela . Est verb etiam g X G parallela ad IQ, l. i.
cum X G sit parallela ad S L , & S Z ipsi R V , dc RV ipsi I in
Ergo D IG est parallelor grammum esse autem bquale petitur patet ex constructione. 35 Scholium.
ADjμπο problema utile futurum ad praxim 7
propositionis Iq. l. 2. Dato quadrangulo B F rectangulam aequaI describere . Roselve in triangula per rectam . Ex ορ- positis angulis demitte perpendiculares BO , FLbiseca AC in S. Ex S erige perpendicularem SL parem duabus B O , FI. I Rectangulum sis nLS , N S A aequatur dato B F. Demonstratio patet exqa.
58쪽
et Elementorium Geonlatriae PROPOSITIO XLVI.
Fig. 1 A data refla quadratum describere . Erige duas perpendiculares aequales datae ABnempE OC , BE ,& junge CE. Dico factum .
'Percs. Cum enim anguli A,N B duo sint a recti,erunt bb P r λ9- , parallelae : sunt vero etiam caequales: Em
p., in g*CEAE AB iunt parallelae,&apquales. Ergo figura ἀPὸν ιι. est parallelogr mma,& aequilatera: anouli quoque ι. I. omnes sunt xpcti cum enim A, &B unt recti, e Per 3 . iam recti e erunt oppositi E, & C. Ergo figura AE est quadratum.
7 π P omni triangulo s. Cὶ rectangulo quadratum A Iareris AC ,quod recto angulo opponitur,aequale est duobus simul reliquorum laterum , CB quadratis . Ducantur IC, BF, & B E parallela A F. Si angulis ΙΛ B, F Λ C rectis, ac proinde diualibus addatur eommunis B AC , erunt toti IAC, F A B quales, Sunt verb in triangulis I A C , F Α B eo
iam latera, quae aequales illos angulos continent,
P rdem inter se a κqualia , nempe I Λ , C Λ ipsissi' 'B Λ , F Aialterum alteri . Ergo triangula νιν.ἡ ι IAC, FAB'aequantur; Quae, quia cum l. i. ' rallelogrammis ABLI, & Z AFEconsistunt in iisdem basibus IΛ, FA, & in iisdem parallelis IA, o P.= .i. I BC , & AF, ELB sunt c eorum dimidia. Ergo
59쪽
hum dupla, erunt squalia inter se. Eodem discursu ductis rectis AX , BR ostendam parallelogramma EC , B X squalia esse. Totum igitur AR utrisque I S, & BX squale erit. Quod erat demonstrandum. Assumptum fuit LBC esse parallelam IA, ade, que LB, BC esse unam rectam. Id vero patet eκI . cum anguli LBΛ CBA ambo recti sint per hypothesim sobolium . Hoc theorema quod prop. 3 I. lib. 6. Eucliderad omnes Auras similes extendet Pythagoricum appellatur pabm, ab inventore FI t 'agora, qui. ut testantur Proclus, Vitruvius, esiique, Musis victimas immolavit, quod se in tam priclaro invetito ab iis adjutum putaret. Ignorabat videlicet scientiarum Dominum verum, G unicum omnissapientia auctorem Deum, aut cerid, si cogno it, non sicut Deum glorifica vit. Frequens porro Ius theorema tis eximius per Mathematicam totam usus en, ac viam in primis ad incommensurabiles magnitudin&s arcanum ingens Geometricae philosophia , cο-rnoscendas aperit. Guadrati lutus esse diametro incommensurabile , celebrasdsmum est apud veteres Philosopbos ,.Aristotelem praesertim, a Tlatonem , adeo ut qui hoc nesciret, eum Plato non hominem esse, sed pecudem diceret. Notitia porro hujus mststerii duxisse videtur originem ex hac prop. cum in quadrato angulus A rectus sit, erit quadratum diametri CB aequale quadratis laterum AB, AC, ac proinde duplum μnius . ine cum quadratum di metri CBsit a. T quadratum lateris AB sit unitas , erit diameter CB radix qu*drata a., G Iasus,
radix quadrosa unitassis , sive ipsa unitas, qua
60쪽
Elementorum Geometriae rum proportio; ut suo laco demonstrabitur nmmeris explicari nequit, ac proinde incommen -- rabiles sunt. que hoc vel unico argumento , tametsi caetera omnia descerent, eῬidentispmd conscitur, ma iamdines ex definito punctorum numero componi non posse.; alias enim:nuta essent incommensurabiles , omnium quippe mensura communis esset punctum'. His subjunga tria problemata ex eadem propositione deducta, quorum usus frequentior. Problema I. D tis qMtcunque quadraris unum omnibus aequale construere. Dentur quadrata tria , quorum latera sint , BC, CE. Fac angulum rectum FBZ in ita habentem latera, in eaque transfer a junge AC . Erit ex quadratum aequese a quadratis AB, BC . Τum M.traus fer ex B in X , s CEtertium latus datum, transfer ex B in E , erjunge EX: erit quadratum ex EX aequale b quadratis ex EB sse ι EC),s ex B X: boc est aequale triabus datis quadriatis ex M, ex BC , ex CE. Problema
D sis duabus, rediis inaequalibus A s , BC ,
exbibere quadratum , quo quadratum majoris excedit quadratum minoris R C. Centro disser vallo BA describe circulum . Exc erige perpendicularem C E occurrentem peripberiae in E. Gadratum ex CE est excessus quaesitus.