장음표시 사용
41쪽
esse graduum 9o. Similiter, quia duos rectos me furat dimidia circumferentia in I So. gradus secta, o quatuor rectos circumferentia tota fecta in gradus 3 . dicentur duo recti elficere gradus ido. πquatuor redii gradus 36o. His praenotatis praxes angulorum funt .i Ad datum in recta punctum B angulum statuere parem dato Ex A dati anguli vertice tanquam centro inter latera arcum describe C F. Centro B puncto dato d scribe eodem inter allo arcum, LZ, ex quo aufer Lo parem CF. Per B, T O duc rectam; erit LLO par dato M. et I a Dati anguli O PQ gradus examinare . Fit boe facillimὰ per emicirculum corneum transparentem in I 8o. gradus di visum . Centrum semia circuli pone supra P verticem anguli , or semia circuli radium TL supra anguli latus PQ. --cus Lo inter anguli crura interceptus orundet , quot graduum sit datus angulus. 3 Angulum com truere datos continentem gradus , ut qa. Duc rediam Xa , in qua signa punctum P. Super P pone semicirculi centrum, ejusque semia diametrum PL supra PQ. L numera gradusq2. usque in O . Per O ex P ducta recta dabit angulam OFLgradum q2.4. Horum omnium demonstratis pendet ex ultima
aequalia baluerint; unum vero triangulum angulum
illis lateribus rententum B in majorem habeat altero BAC ) bes erit quoque basim EF majorem
42쪽
Liber Primus. asEt si basim majorem baluerit, habebit angua
tam majorem. Centro A describe per C circulum; is transibi per F, quia AC, AF ponuntur aequales. Ergo BF cadit supra C. Iunge CF. Angulus BCF est major angulo ACF , hoc est per Prop. s. angulo AEC, hoc est multo major angulo BF C. Ergo a BF opposita majori angulo BCF major est, quam B C opposita minori B F C. 2 Pars patet ex prima parte, & ex prop. I 8.
SI triangula X, Z duos angulos duobus ae- .Fl quales habuεrint alterum alteri Binis Cipsi I, )θ' unum latus uni lateri aequale, ve uod ter aequales anguIos eximi sui BC, FI ,vel quod uni aequat um angulorum opponitur ut AC LI , reluqua omnia erunt aequalia. Ponantur primb aequalia esse latera B C , FI inter aequales angulos posita : tum vero, reliqua etiam omnia equalia esie, demonstratum est in scholio prop- ε Ponantur deinde latera AC, Li aequalibus amgulis B, ct F opposita esse aequalia . Quia angu li B,C per hyp. sequantur angulis F, I, etiam re liqui Λ, L aequales erunt per coroll. 9. p. 3qua: ab hac non dependet. Ergo per primam p rtem omnia reliqua sunt aequalia.
43쪽
α 5 Elementorum Geometria PROPOSITIO XXVII.
Fig. 4s, Ι duas rectast, C F parallelas secuerit recta GO , erunt r. aequales aeterni unguli RLO, QOL, item BL O, COL) a. externus GLL) aequalis interno ad eandem partem L O Fὶ sitem G L Opsi LOC . 3. duo ad eandem partem interni simul ALO, COL) aequales duobus rectis 3 item duo BLO , FOL duobus rectis quales . Fig. 6. I Pars. Ex dc L duc perpendiculares o R,LMAE axi. crant a hae ad utramque parallelam A B, CF per-3 - pendiculares, & per def. 36. inter se aequales. b Per axi. AEquales quoque b ex parallelis auferent partesia. R L, QD. Ergo triangula,X , T sibi mutuo aeqά, c Pers-ι- latera sunt. Ergo e anguli RLO, QDL alterni aequalibus lateribus R O, QL oppositi, sunt aequales . Quod erat primum. Ex quo patet etiam, alter nos reliquos B L O, C O L squales csse ; nam, quia tam BLO, ALO, quam C Ο L, F Ο L sequanturd Per 13. d duobusrectis, erunt BLO, A Losequales ipsis lib. i. COE,FOL: ablatis ergo aequalibus RLO,'FOLierunt reliqui B L O, C O L etiam aequales. e Per Is. 2 Pars . GL B sequatur ad verticem e opposito lib. i. RLO, sed RLO aequatur per t. partem L O F , ergo GLB externus aequatur interno LOF. Quod
3 Pars. A L O per t. partem aequatur F O L, s Per 33. atqui FOL cum OL facit duos rectos , ergo lib. I. ' etiam ALO cum CO L facit duos rectos. Quod
44쪽
alternos angulos ALO , FOL) squalesfecerit , erunt CF parallela . Si negas, sit ergo alia XL L per punctiim L ad 'CF parallela. Ergo a angulus X L o par est alterno F O L; quod fieri non potest , cum per hyp. Λ L o par sit uidem FOL.
PROPOSITIO XXIX. SI duas rectas AB , C F) secans recta GO
fecerit externum G LBὶ aequalem opposito interno LO F , vel duos ad easdem partes internos ALO , COL pares duobus rediis, erunt i AB is CF larallela,
Per rue. G L B aequatur AL Ο opposito ad verticem. Sed per hy p. G L B sequatur L O F. Ergo etiam Α L O sequatur sibi alterno LoF. Ergo b AB, C F sunt parallelae. Deinde COL eum F Ο L facit duos rectos. Sed per hyp. idem COL etiam cum ALO facit duos rectos. Ergo ALO, F Ο L alterni aequales sunt . Ergo rursum Λ B , C F c sunt parallelae. ς Per prae
45쪽
dis Elementorum Geonnetria ΡROPOSITIO XXX.
Srdua AB, CFὶ sint parallela ad eandem ectum D P o, erunt inter se parareta .
Patet per se, & evraecedentibus . Nam si omnes secentiir a recta Go, erita angulus externus G L B par interno L D N; est vero LD N eκternus b respectu D O F, ac proinde aequalis. Ergo etiam
G L B par est L O F. Ergo A B , C F sunt o
PROPOSITIO XXXI. ΡEr datum punctum A) parallium ducere ad
rectam datam CFὶ . Ex A ducatur uteunque A L, secans datam FC. Ad punctum A fiat d angulus L A S par angulo
ALF. Erit AS parallela ad CF , ut patet ex 28. cum alterni anguli S AL, FLA sint aequales. Fraxis. Ducta AL, centro L describe arcum IQ, s centro .a eodem intemvallo atr&- OX, ex quo fer o B parem I Q. Per A,s B ducta recta erit parallata.
DemonDratio pendet ex a9. lib. 3 . iter. Centro quopiam P describe circulum,qui Vanseat per datum punctum A , T secet datam C Fin O . Arcui accipe aequalem O recta A 2 erit parallela. Demonstratio pendet ex 29. libri 3. N ex 28. hujus . Ab
46쪽
DEmonstrata iam igitur enparactetarum theoria
independenter ab axiomate, quod Euclides , e)usque interpretes assumunt minus rect/,cum non sit uaxioma ,sed theorema , cujus veritas non magis per
se apparet, quam ipsius a9. propositionis. Quia tamen deinceps fgpius adbibebitur, id hoc loco jam facile ex praemissis demonstrabimur.
SI recta incidens in rcfias BC , faciat Fig. so.
angulos intimos ad easdem partes BAD,ABC, ciuobus rectis minores , rectae BC , ά D concurrent versus tam partem, quam Dediant anguli duobus rectis minores.' Quoniam per υρ. CB in duobus rectis sunt minores ,sant CRA, OB duobus rectis aequeses reruntque BC, AXa paralleig. Assumo tanquam axio- a Per as. ma per se notum , inter rectas , AX in infini-
sum productas duci posse aliquam ad AM paralle-Iam, puta ZX, que major sit, quam AB. Accipiatur ipsi ZX aequalis Ado junge Zi . Quoniam AR, ZX sunt parallata , erunt b alterni XYA, RAZ b Per 27.
aquales. Sunt autem oe latera XY, YAsqualia la- teribus , AZ per conRr. Ergo etiam c anguli eiPer . I.
RZA, XAZ aequales hunt. Ergo RZ est d parasida ad AX Sed etiam BC eis parallata ad AxErgo RZ, obc ἴUt e para gels ; Ese igitur BC ita parallela ad 'RZ, is inclusa triangulo ARE .Frgo cum produci Lb. i. in ionitum possit, necessario occurret aliquando re-cts A Z , nam neque e vadere potest per sibi paralla-Iam GT , neque pertingere in alio . Demonstratio clavii est a parallelis independens,' se
47쪽
go Elementorum Geonaetriae prolixissima , tr multum operofa : Procli nititur Doc principio , quod recta unam parallelam fe-cans , etiam alteram se iura sit , δε producatur . Verum hoc per se notum non est , ob rationem datam ad def. 3 6.
Corollarium.1ο. T T lac patet rectas non parallelas concurrere , L A de quo dubitari poterat ob rationem alla ἀram ad def. 35. Sint rectae non parallela BC, AZ. Duc AX parallelam ad AC; erunt X AB , C B A. Per et . duobus rectis o aequales . Ergo Z AB, CBA sunt lib. I. duobus rectis minores . Ergo per theorema jam demonstratum BC, AZ concurrunt.
PAR s I. 1ig. ue i. Mnis trianguli externus quiSis angi lus FBC duobus internis opposivis C aequalis en . a Per 31. Per B duc a BL parallelam ad AC. Quia duas . parallelas BL , AC secat FΛ , erit externus an . a . gulas FBL interno Ab aequalis . Et quia easdem parallel f BL, AC secat etiam recta BC,erit L BG sibi alterno Ce aequalis . Ergo totus FBC aequa-ς Per eand- tur utrique simul Λ,dc C. Quod erat demonstrann
s V Xternus angulus FBC3 quolibet intern Id xum oppositorum A, vel C major est. a Angulorum C&AOB eandem basim AB habentium s
48쪽
bentium maior est AOB,ὶ qui intra cadit. Producatur enim A O in F. ΛΟΒ per hane major est,quam O FB & ΟFB per hanc eandem msor est , quam C. Ego ΛΟΒ multo major est,
incidant duae rectae, altera Αοὶ oblique, perpendiculariter vero altera AF haec cadet versus partes acuti anguli AOB. Cadat enim, si fieri potest, adversus obtusum AOC, puta in Q Igiatur acutus ΑΟ B erit externus respectu recti AQB , ac proinde illo major per corolli. I. Qiisdest absurdum.
rectis sunt aequaleg. Ac proinde conficiunt gradus I 8 o. Produc unum Iatus AB in F. Externus angu- Ius FBC duobus internis oppositis A,& C aequalis a est. Atqui b FBC cum C B A efficit duos rectos . Ergo etiam duo A,&C cum eodem CBAefficituit duos rectos. QEqd erat demonstrandum. Aliter. Ducatur HΜ parallela lateri AC. Anguli alterni tam o, Λ, quia, N, C, aequales e sunt. edo, Q,N conficiunt d duos rectos. Ergo etiam A, C, Ouos rectos conficiunt. Quod erat demonstranaum.
Corollaria. )Res simul anguli cujusvis trianguli aequa-I Ies sunt tribus simul cujuscunque alterius.
49쪽
, Si in triangulo unus rectus est, reliqui sunt
6 Si in triangulo unus est rectus, reliqui duo Gmul etiam unum rectum conficiunt. 7 In triangulo angulus, qui aequatur duobus reliquis, rectus est. 8 Cum scitur quot graduum sit unus angulus , scitur etiam quot gradus faciant duo reliqui simul. Et cum scitur, quot gradus faciant duo anguli , aut eorum summa, scitur etiam, quot gradus efficiat tertius.
9 Cum in uno triangulo duo anguli aut singuli ,
aut simul, aequales s lint duobus angulis aut singulis , aut simul in altero triangulo, etiam tertius tertio aequalis erIt.1 o Cum duo triangula unum anguIum aequalem habent, elam reliquorum summae aequantur. 11 Cum in I scele angulus aequis cruribus contentus est rectus, reliqui ad basim sunt se recti. Et Isbseelis ad basim anguli semper s uni acuti. 1 a Triano uti aequilateri angulus facit duas tertias unius recti; facit enim tertiam partem duorum rectorum, ergo duas tertias unius.s . Hinc anguli recti BAC facillimatri sectio, si super AC fiat triangulum aequilaterum L. Nam cum F AC sint duae tertiae unius recti, erit B AF recti una tertia. ει s3. 1 Perpendicularis AF est brevissima omnium, quae ex puncto A ad rectam aliquam duci possunt
Quoniam enim angulus F rectus est, erit per c a PeHiu. roll. 3. AOF acutus. Ergoa AF minor,quam AoLb. I. quaelibet. is Ex uno puncto ad unam rectam tantum una perpendicularis cadit. Patet ex cor . praeced.
50쪽
matis , cujus per Mathesm uni emam usus prop) immensus in entor est Dibagoras tesse Eudemo veteri geometra. Frequentibime e)usdem meminit Aristoteles, qui illud etiam exemplum statuit perfectissimae demonstrationis. Sed quemadmodum ex hac proposinione Jam didicimus , quot rectis angulis ejus anguli aequi valeant , ita ejusdem benescio,cujuslibet figur.e rectilineae sive interni , δε-ve externi anguli , quot redios consciant , praeclarὰ innotescet tribus sequentitas theorematibus.
O Inis quadranguli quatuor simul anguli
si per oppositos angulos ducas rectam BF, hic quadrangulum in dreo triangula secabit, quorum anguli simul conficiunt areotos quatuor . a Per 32.
OΜnes simul anguli cujuscunque figurae r ctilineae consciunt bis tot rectos demptis quatuor, quot sunt latera figurae. Ex quovis puncto A intra Huram , ducantur s7. ad omnes figurae angulos rectae , quae secabunt=guram in tυt triangula, quot habet latera . recum singula triangula a conficiant duos rectas , Per 32
omnia simul. confici ni bis tot rector , quot sunt Iasera . Sed anguli circa punstrum .a, b consciunt: , t. quatuor rectos. . Ergo se ab omnium triangulorum, T C angu-