Geometriae magnae in minimis pars prima...

111쪽

T M simile ex parallelismo ips ABCDEF.

DEMONSTRATIO.

PErpendiculum o T. est altitudo trianguli QRS.&VT. altitudo triangularis segmentii AGbi. Est igitur . ad TV. sicut BO ad BP. z I 6 Sed in parallelogramo CP sunt aequa-las GH. BΡ et L.) Ergo I .ad TU estvtBO ad . vel B ad BC. ex constructione, hoc est virectilineum ABCDEF. ad segmentumi ABC 1 p.)sed etiani ut rectilineuABCDEF. ad triangulum ABC ita rectilineum AGHIΚM.ad triangulum AGH q. 6.)Ergo ratio EO.ad BP vel BH hoc est TO. ad TV. est ratio rectilinei LGHIΚM ad triangulare segmen tum AGH 1.l e ) Ergo TO. altitudo Trianguli QRS. est ad altitudinem TU segmenti AGH. ut totum rectilineum AGHIΚM. a triangulare segmentum ABG. Ergo AGHIR

112쪽

ranimis. Propositis LXXI. sPROPOSITIO IAXI. Problema I. SV a datamre tam costituere triangulum, eg rectilineum datis si lia qua intersem

SIt data rectast. &rectilineum AB EF &Triangulum diuidenda est in

a.vitectilineam supra , .&triangulum sapra g. similia datis sint minima Congri . Fiat triangulum simile dato S. &minimii rectilineo ABCDEF. ex s. p. vel reeti lineumAGHIΚM .simile dato ABCDEF. &ininimum triangulo QRS eris. S diauidatur si iv. ut sit , . ad fg. sicut AG ad a ρ. 3.) de supra I. fiat te isti lineum simile AGHIRM.&supra)t triangulum si nile QRS. 3p. Dico factum.

DEMONSTRATIO.

113쪽

ma minimum,s datosimile. a Supra datam rectam triangula,vel, raselogrammis congitureriatis Amisia, ut num m minimum sit reliquorum 'mmae.

Sint data Triangula ABG.DM HIT . eritur PQS omnium summaeni inimum, disi. mite dato MON. Cosmia. i. Ducantur ex verticibus perpendiculares AB. DG. HL.&assiumpto in recla infinita P uolibetpuncto P. sit PR. ipsi perpendiculatis deaequalissummae omnium perpendiculorumABH-DGHHL.&ducatur RS. infinita parallela PQ Fiat deinde angulus QPS. aequalis M.& PS aequalis O eritque

DEMONSTRATI

114쪽

Par rima. Propositio LXXII.

nimum ii p. Idemque est deParallelogrammis. Qu9d erat demonstrandum.

, Sit data recta TZ. supra quam consti tuenda sint quatuor triangula sintilia datas ABC.DEF HIΚ.MNO ita ut simi mile MNO. minimum sit ad summam similiti ABG. DEF. Conmcr. h. Fiat primo trianguIu P S. simileMNO quod sit minimum reliq orum summae ABG DEF HIK ut antea. Deinde Ω-niatur basium BG. EF. IKPudumma: &fiat ut summa basiuna ad BC.ita TZ adTU. & iterum ut summa basium ad EF. ita .ad UX. &Iterum ut summa: basiumad IK. ita ad XL a ν. .) Constituaturdeinde supra TU triangulum simile AB C.&supra VL. triangulum simile DEF. S supra XY triangulum simile HIN&suprara simile PQS. Dico triangulutuprara esseonaniumstantiniae minimum. DEMONSTRATIO.

Cum enim recta TZ. sit diuisa ex constructione in ratione basum BG EF. lΚ.PO ΔP sit minimum ad triangula BC EF Ic erit: Z minimultiangulis TV VXXL Oo n.)Quod erat demonstrandunI

115쪽

ς8 Geometria Magna in imis.

PROPOSITIO LXXIII.

Problema P.

Crisibet rem lineo aliud minimum Mere alteri dato simi,

a Supradatam rectam duo rectilineacon tuere minima,s datissimilia.

ilineum IKLM ad segmentum l . est ut IUST.ad IUS uJ sed IKLM. ad IKL. estv lxN. ad KL hoc est ut PO ad OR. Ergo IUST .ad IUS. est ut OP ad . sed quodlibet triangulum nempe GHA. habens altitudine .vel Po.est minimum i ABCDE quia

eius

116쪽

Pan a. Propositis LXXIII. , eius altitudo GH ad altitudinemI Q segme-ti ABE.est vi ABCDE ad ABE&etiam est mitinimum rectilineo IVST. quia altitudo eiuso'. ad altitudinem OR. segmenti lux est ut IUST ad I a. bErgo etiam rectilineaABED IUST. sunt inter seminimas . p.) Quod

fuerat demonstrandum. CONSTRUCT. a. ET DEMONST., Sint data rectilinea ABCD IUST &re cta XL supra quatriduo alia ipsi similia collocanda tu &inter seminima.

117쪽

ioo Geometria Agaguaia minimis. . PROPOSITIO LXXIV

μ. Problema Io.

Dinis quibuslibet retallineis alias illam ter seminima Nere. a Datam rectam diuidere tu qualibet recti linea minima gati milia.

CInt data rectilinea A. B, C. D. E efficienda seiunt abasmilia, vi cmnia sint inteis mi

nima

Dico A F.G.H.M.esse ii irima inter se. .: DLMONSTRATIO. CVmenirn omnia minima sint ex constructione ipsi A. erunt inter seminima P .p.) oderat,&c. CONST CT. 1. ET DEMONST: Sit data recta XL diuidenda infiguras mi nimas similes A B.C.D E. Frant minimae A. F. G H M ut antea,&postea fiat ut summaba

sitim L.F.GH M ad basini A ita X ad XP.&supra XP. fiat rectilineumsimile A. Deinde vi

118쪽

sti mina basium A. F. G. H. M. ad basim F. ita XZ ad PQ d fiat supra Priectilineumsimile lF. 3 ρ. 70Quod continuabl ardonec expli- turrectilinea:erit quem diuisa in ratione basium figuratum minima tam . Ergo figurae supra partes rectae m. constitutae datis similesciunt isuerse minimae 3O. ) Q d erat,&c.

Probleuia II

DAtani rea riuidereis quotcum latinushmnimassimiles interie., Datam rectam diindere in duas artes, v gura Unius m apta quotcumquesm, Basteri artis. Datam rectam truderet riu spartes,ut quotcumque figura viatis minima sint ad quomc mque miles alter,ir.

Sit data tecta AB. diuidatur m tot partes aequales, quot figurae sinules desiderantur: nempe bi satiam in F. &erunt AF FB figurae minimae vel trifariam in E. G. runt AE. . miniinx.vel quadrifariam in I F. M. ω:Seiriperenim figura: similes habebunt aequalem basim ex aequali diuisione: Ergo erunt inret seminimae isp.)CONS-

119쪽

CONSTRUCT. ET DEMONST. a.

, Sit diuidenda AB in duas partes ut figura

ius minima sit duabus alterius, vel tribus,&e. Diuidatur in tot partes aequales, quot sunto Intres figurae,&ptimum punctum diuisionis est quaesitu a nempe si figura unius minima esse debeat duabus alterius, quia sui tres figurae diuidetur in tres partes AE. m. GB.&figura EB minima erit duabus AE. Si una de beat esse minima quinque alijs diuidetur in o. partes A D. E. FF. FG GH. HB. & fiesura DB. minima erit A D. Ratio om itum est, quia semper maior pars est minoris multiplex: Ergo figurae x parte maiori, minima erit toti de infigurissimilibus ex minori, quoties haec continetur in maiori, quia eius basis sum nicebasium est aequalis 19, )Q Od M.

CONSTRUCT. ET DEMONST. 3.

Sit AB. diuidenda ut quinque figurae unius

partis minimae sint ad septem alterius: vel in quacumque alia ratione. Diuidatur tota te iacta in tot partes aequales, quot sunt omnes fi-ΚIsae, nempem 12.&sumatur AK continens

quinque partes &ΚB septem. Dico et figuras ex ΑΚ. minimas esses. figuris ex .& sie de quacumque alia diuisione. Ratio est, quia cunas. AC constituant AK.

120쪽

Parapima. Propositio LXXVI. ,oa&'. R .constituant ΚΒ. communis mensura AC. continetur quinquies in ΑΚ&septies in ΚΒ. Ergo ' figurae ΑΚ.& sufKB continent aequalem asia insua, a:Ergon AK.mininiaeetiit s.figuris partis oppositae M is pJQuod

erat, .

Problema II.

cInt Reectilinea ABCD. CE1 IKL OP ST. VX & efficiendum est bd. simile STVX. reliquiquis omibus minimum. Coinuci Inueniatur omnium rationes adTriansularia segmeiua ες ρ.) S demissis perpendicularibusta MN. QR ra. sumatur fecit umqualibet bla in finita & fiat ut 4 Z ad summam perpendicularium FE MN-- R. ita basis n. aci uam basimbae apra M. fiat recti ineum ' similaSUX 3 ρDico rectilineum is minimum esse te qaGr summae ABCD GHILL OPin. DEMONSTRATIO. Fiatenim Π.adri. ita. d. q.&demit