장음표시 사용
311쪽
nauit. quo pacto fimul theoria attractionis punctorum intra spham roidem storum , quae per Newtoni theorema ad attractionem puniaciottim in superficie facile reserebatur, complete absoluta erat De caussa phy sica fluxus et refluxns maris, in Rectieii des Alaees qui
aetoris B. I. Ch. 34 . Quae Mao Laurin per synthesin enticlea uerat, poli ea pis analysin cui antea huiusmodi quaestiones inaceossibilis visas erant haud mirius eleganter eruero docuit ili. Lagrave, a que sic viam ad ulteriores progressiis patefecit Nouv. Mein. dei'Acad. de Berlin 17 3). Scilicet adhuc desiderabatnr attractio punctorum extra sphaeroidem neque vero in ariis nec in aequatoris prolongatione sitorum enodanda, quam dissicillimam problematis partem
roides horno genes. Me noires Preyentes a Pacad. roi. des se. T. X. Dis qui litionem generalissimam de attractione spliaeroidum non per reuolutionem ortarum , sed quarum sectiones cum quolibet plano sunt ellipses, iamiam inoboauerat Mao Laurin, sed subsit terat in attractione punctorum in aliquo trium axium poIi totum. Theorema principale, cui solutio Problematis generalissima pra sertim innititur, per inductionem quidem iam coniectauerat ii I. Legendie in commentatione modo laudata, sed ii l. La Iace primo successit. Omnia rigorose demonstrare atque sic solutionem ab omni parte perfectam reddere cose. de Pacad. roi. des se. de Paris i 75a; eadem solutio repetita in operibus Theoria dia motixement. et de Iasgiare eIliρtique des.Plane es, atque Iecamque celeste Vol. a. . Elegantiam ingeniique sub illitatem in has Ill. Laplace solii.
Ione eminentem nemo quidem non mirabitur z nihilominus tamen
ipsa subtilitas arsque admiranda. per quam arduas disticuliat ea sit. perauit. geometria desiderium liquit solutionis simplicioris . minus in trientae magisque directae. Nec Plane satisfeci L huic desiderio ilLLegendro per nouam theoxematis principalis demonii rationem c A
312쪽
de Pacad. roi. des Ic. 1788. Siar tes integrales dotabies . etiam si ex. quilita ars analytica omnium geometrarum suffragia merito tuta. sit '). Postea clae. Bloe solutionein alteram, altera Iu clar. Plana simpliciorem reddere conati sunt Μem. de Pinstitue T. VI, Mevio
quoque utramque solutionem ad intricatissimas analyseos applica. iones referendam esse . quisque facile concedet. Gratam itaque analystis atque aItronomis fore sp ramus soluistionem nouam problematis celebratissimi per viam plane diuersam procedentem. et ni fallimur ea simplicitate gaudentem, vi nihil amplius desiderandum linquat. Ipsa quidem solutio nostra paucissimis pagellis continebitur. Operae tamen pretium esse censemus, antequam ad ipsum problema, cui haec commentatio dicata est, descendamus, quasdam disquisitiones praeli minares, quae in aliis quoque occasionibus opportuno applicari poterunt. aliquanto generalius exsequi, fusiusque expli. ea re, quam inItituti nostri ratio per se spectata postularet.
Considerabimus generalissime corpus finitum figurae cuius noque, a reliquo spatio infinito per superficiem unani continuam UeI plures continuas interque so discretas separatum si forte corpus ea uitatem unam pluresue includat . quarum complexum simpliciter superficiem corporis dicemus. Concipiatur haec superficies in infinita elementa ds diuisa; sit P punctum elementi ds, cuius coor dinatae ad tria plana inter se perpendicularia relatae denotentur Per
313쪽
et. Sint PM PT, Ira rectae axabus coordinatarum resp. parallelas, atque in plagas eas directae, Uectus quas coordinatae in. crementa positiva capere supponuntur, porro sui superficiei no malis extrosumque directa. Sit II punctum attractum ubicunqualibet situm, ipsius coordinatae a, b, c, atque distantia O semperpositive accipienda r. Angulos quos facit recta PM cum P PTPZ denotabimus per MX. MF. m. angulosque inter Pst atquo
PM per seri seri seM. Haec omnia ad puncta
superficiei indesinite referuntur: quoties de pluribus punctis superficiei determinatis agendum erit, iisdem characteribus accentibus dili inciis utemur.3. - . Concipiatur planum axi coordinatarum ae normalo, ita tamen,
vi si ipsius aequatio exhibeatur per ae α α, α fit minor quam valor minimus coordinatae ae in superficie corporis. Corpus in hoc planum proiectum figuram finitam ibi designabit, quam in elementa infinita-disper itam supponemus. In elementi dΣ puncto II eri. gatur perpendiculum siue axi coordinatarum ae parallelum . quod saeet corpus in punctis P PV, P etc. : horum punctorum multitudo manifesto erit par. Erigantur etiam perpendicti Ia ad planum in singulis punctis circumferentiae elementi dΣ. qua a formabunt superficiem cylindricam sensu latiori, atquo e superficie corporis elementa 8s , da , ds 9 etc. rescindent. Elementum ii Σ erit proiectio fingulorum elementorum da .ds', dS etc.. Wride patet essera es: ds . eos sev α-da . cos seXV α α ds' . cosse etc.. signo superiori vel inferiori valente, prout eo sinus anguli acuti ve I G. tusi adest. Quoniam vero manifesto perpendiculum in P corpus ingreditur, in P e corpore exit . in P rursus intrat etc., saetis perspicitur, seΣ obtusum esse, acutum, sexυ obtusum etc., ita vi habeaturd cos l da . cossi da V. eos PS ' etc. adeoque
314쪽
Tractando eodem modo omnia reliqua elementa dΣ , atque summando, nanciscimur
Generalius eodem modo inuenitur, integrala
5. Concipiatur iam primo cylinder totus materia unitarmitardensa repletus. videamusque quantam singula eius elementa attrais
etionem in punctum m exerceant. Diuidatur cylinder per plana infinite
315쪽
. cAROL. FRID. GAUSSinfinite Ebἰ proxima basique parallela in cylindros elementares, qua- Iium unus, ad punetum cuius coordinatae sunt ε ς, per dΣ. de primi poterit. Huius distantia a puncto Μ erit
unde ipsius attractio in punctum m exhiberi poterit per dΣ. δε Λ, denotanto functione fρ legem attractionis. Quare quum per totum cylindrum sola e tamquam variabilis spectanda sit, erit ρὰρ - a- lde, et proin attractio elemstilita I ρ ρ dΣQua resoluta in tres attractiones partiales axibus coordinatarumae, γ, et parallelas atque oppositas, prima erit m D. . dΣ. Hi ne designando integrale sis. dρ per D. attractio cylindri a basi dΣ v que ad punctum cuius coordinata prima ' ξ in punctum M secundum axem coordinatarum x erit α - - Const. dΣ α - Fn d S, si H supponitur designare distantiam basis dΣ a puncto M. Hino sequitur, eandem attractionem partialem Omnium partium corporis. quae intra cylindrum iacent, fierim με - μυ Φ Fr eic d Σα-μ . ius . eos pX 'H. da . cos pXυ - μυ da cos stXυ
Extendendo haec ratiocinia ad omnia elementa dΣ, colligimus THROREM A TERTIUM.Attractio comoris in Rurictum M. axi coordinatarum ae Para uIa citque omOsera, emussietur per integrala -I 0. ds. cos siX per totam suPerficiem eaeterisum. Prorsus simili modo manifesto attractio secundum duas reliquas directiones principalea exprimetur per integralia -I'.ds. cos se
316쪽
6. Iam rem alia via aggrediemur. Concipiatur superficies sphaerica radio m I circa centrum M descripta , atque in elemanta infinito
partia dispertita. Sit II punctum liuius superficiei ad spatiolum ΘΣ in eadem pertinens; ducatur radius ΜΠ , atque si opus est ultra sphaerae stiperficiem indi finite producatur. Sint P . P . P ete. puncta, in quibus hio radius superficiem corporis nostri deinceps secat. excluso tamen ipso puncto Μ, si sorte in ipsa superficie iacet. Horum ;taque punctorum multitudo par erit vel impar. prout Μsitum elt extra soliditatem corporis vel intra, patetoue casum ubim in ipsa eorporis superficia iacet, annumerari debere vel casul priori vel posteriori . prout sadius Mid ab initio aeel a corporis so- Iiditate recedit, vel eam intrat. Concipiantur porro recta a m ad periphetiam spatioli clΣ duciae, quae formabunt superficiem conneam sensu latiori , atque in superficie corporis nostri ad puncta P . P L P N etc. resp. spatiola da , do , da etc. definient. Deniquo aesetthdntur per euneta P , PN, P eth. portirinculas superficierarinlabaeri cyrum e centro Μ ὀ diis ψ r , ΜΡ Ur , MPυ r V etc., sntque spatiola, quae conus eπ illis exsecat, dσ , dcr , d etc. Omnia haeo sputiola dΣ, di . dσ etc. tamquam po fitiua spectabimus. His
Spatiolum dσρconfiderari potest tamquam proiectio spatioli ds in planum. eui recta P Μ est normalis. Hinc erit d 1 -22 ds eos mst signo su periori Wel inferiori accepto, prout arsin aeutns est vel obiviastis: casus prior locum' habet, quodies recta a P ad Μ dueta a coria fora recedit. L e. quoties m iacet extra corpus, castis posterior vero, quoties recta P II in P corpris intrat, i. e. quoties Μ iacet intra eor- piis. Perinde erit ἐσμ da' cosmst L lati do . eos ete.
317쪽
etc. α - ὰ ΣTractando eodem modo omnia elementa dΣ, et fulvinando. ad aeuam manifesto habebimus integrato P -- --- per totam corporis superficiem extensum, ad dextram vero in casu priori o, in posteriori aream integram superficiei sphaericae radio m i d scriptae negative sum tam , i. e. m. π, denotante or semicircumferentiam circuli, cuius radius m l. . De casu, ubi M in ipsa corporia superficie collocatur, seor. sim dicendum est. Concipiatur planum tangens superficiem corporis in puncto tu, quod superficiem sphaericam in duo hemispha ria aequalia dirimet, alterum ab eadem parte plani, a qua est. solis ditas corporis in M, alterum a parte opposita. Respecvu Omnium elementorum dΣ, quae sunt in hemisphaerio priori, punctum M coninsiderandu In erit tamquam punctum internum, Pro reliquis tam quam externum. Hinc Patet, e summatione omnium
318쪽
prodire tantummodo aream dimidiam sphaerae negativa sumendam.
---- In casu primo evanescere, si P denotet fumctionem quamcunque ra ionalem quantitatum eos MX, eos M ROOs m. 7. volumen spatii conici a Vertice usque ad punctum P . P . μμ εχ. resp. est mir dor , tr dσυ. r dσε etc.. suem l H ds .eos Usν. r da ρ. cos MC , α Ιν da M. cos M se etc.. signi a superio. xibus vel iniatioribus valentibus, prout M iacet extra vel intra eo Pus. In casu priori autem partem soliditatis corporis constituunt partes corii a P vsque ad PM, a P usque ad P etc.. in posteriori vero partes coni a M usque ad P . a P usque ad P elo. In vir que igitur casu Pars corporis ea, quae iacet intra conum basi dΣ in. sine Diem, fit α - Ψ Uds . eos ustis in GV. cos M P - - - ds e. eos
Tractando eodem modo cuncta eIementa dΣ, et summando. obtinemus c. F. Ganss. Tararia aurare. Com. Θkare. .hom. Tom. II. B ΤΗΕΟ-
319쪽
Volumen e moris integri aequale est Ditegrali - 4 f rds. eos MPper totam comoria superficiem extenso.
8. Iam supponamus. corpus esse uniformiter densum, singulaque ein η elementa exercere alii actionem in punctum M alicui fiaticii nidistantiae propoxtionalem, ita ut denotante ρ distantiam elementi a Prancto attracto, attractio exprimatur per elementi volumen in D. Concipiatur primo conus noster hali dΣ insistens totus materia plenus, atque per supelficies sphaericas infinite sibi proximas e centro M descriptas in elementa infinita dispertitus. Talo elementum. ad sphaeram cuius radius α ρ, exprimetiar per ρρ . dΣ, adeoquο -
vis qua agit in M, per dΣ ρ ρ dρ. De notando itaque integrato δεαρ. dρ per Φρ, Patet uΣ. Φρ - e ob exprimere attractionem Paristis eo ni a vertice usque ad distantiam ρ in punctum M. siue generaliter dΣ Φρ' - Φρὶ attractionem coni inter diliantias a vertice ρ et ρ . Ab omnibus itaque Partibus corporis nostri intra conum iacentibus attrahetur punctum m in directione IIII vi, quae ex- Primitur per
320쪽
Μultiplicando hanc expressionem per cos UX, habebimus Mim, qua partes corporis intra conum Iliae attrahunt punctum in directione axi coordinatarum ae parallela atque opposita. Hinc vis. quaeorpus integrum agit in eadem directione, exprimetur per integrata
, per totam corporis superficiem existetistim, siquidem punctum attractum iacet extra corpus. sed adisiicere adhuc oportet integrale - suo. IdΣ. cos MX per totam suis perficiem sphaeticam extensum, quoties M iacet intra corpus. Nullo Porro negotio perspicitur, in casu eo ubi Μ iaceat in corporis superoficie . adiiciendum quidem esse idem integrale - Φo. IdΣ. cos MX.
sed per dimidiam tantummodo sphaerae superficiem extensum, et quidem per hemisphaerium id, quod definitur plano eorporis suis perficiem in x tangente atque ab eadem plani parte iacet, a qua est soliditas corporis in puncto M. ut valorem huius integralis deis terminemus, concipiamus solitam intra hemisphaerium istud atqui planum inclusum. De notet O indefinite angulum inter rectam suis perficiei huius solidi normalem extrorsumque directam atque --ctam axi coordinatarum ae paralleIam. Hinc per Theorema Primum .integrale Ids. eos θ per totam solidi superficiem extensum evanescit. vo de si integrale per solam partem planam superficiei extensum supponitur ' I. integrale per superficiei partem curuam debebit esse - I. Sed in parte curua da conuenit cum nostro dΣ. θ vero fit 13 οφ - MX. Hinc patet, integrale - .fdΣ cos MX, per
hemisphaerium extensum fieri ' - I. In partis plana autem superseiei manifesto θ est consans. atque aequalis valoti ipsius MX in puncto M. unde I aequalis erit producto eo finias huiusce anguli in aream plani, quae fit m π. Hinc colligitur, integrale Idta eos MX. per hemisphaerium quod supra desininimus extensum. fieri α - π qib. eos IUX, sirinio pro MX valore in puncto n. Pro sus eodem modo valor integralis - dio IdΣ. cos in per liemis-n a phaerium