Commentationes Societatis regiae scientiarum gottingensis. Recentiores

321쪽

ΙΣ CAROL. FRID. GAUS Sphaerium alteriam extensum inuenitur H π Φo. cos MX, unde integrale per totam sphaeram fit m o. Ex his omnibus colligimus l

per totam supersciem extensum, siae M iaceat extra eor tis. fueintra, sed adiecta Parte - π e o. cos MX. quoties v iacet in ipsa superficie . ubi pro MX acciPiendus es Dialor delinitus, quem habet in M.

Manifesto vires secundum directiones axibus eo ordinata umΥ, et Parallelas atque oppositas perinde exprimentur per integralia

.: et quibus adiicere oportet - π dio. cos M T. - π ivo cos TZ sum is pro angulis valoribus definitis in M), quoties m iacet in corporis superficie. Ceterum facile perspicitur, tres vires - π Φo. eos NX, - π clino. cos ΜΥ, - π spo. cos ML aequivalere unicae α - π ctio ipsi superficiei normali introrsumque directae. Manifesto euolutione integralis vo. I d Σ. eos MX supersedere potuissemus. si functio I ita com Parata est, ut liceat Iia uersilao mo; sed maluimus disquisitionem omni generalitate persequi. Quoties autem attractio cubo altior ine potestati distantiae proporistionalis supponitur, patet . illud non licero. sed necessario serito zz - oc, unde sequitur, in tali suppositione punctum in cor. potia superficie positum vi insulta versus solidum premi.

322쪽

P r methodos hactenus explicatas integralia. quae per totum corpotis volumen extendi debuissent ἰntegralia tripla , ad talia re. duximus, quae tantummodo per corporis superficiem sunt extendenda, et quidem duplici modo. Indoles superficiei exprimitur per aequationem inter coordinatas x. F. z. i. e. per aequationem IV o. denotante IV sunctionem variabilium x, γ, et, quam ab omni irrationalitate liberam supponere licet. Procleat e differentiatione fun-

sed ambiguum manet, utrum signa superiora, an retariora adoptara oporteat. Quod ut decidamus, capiamus in recta PQ soperficiei in P normali eaetrorsiarnque directa punctum P ipfi P infinite proxumum , sitque diliantia PF dui. Erunt itaque coordinatae puncti

323쪽

Hinc patet. ligna superiora valere, si recedendo a corporis solidia ista functio IV nanciscitur valorem positiuum, et pro in nega tuum ingrediendo corporis soliditatem, contra signa inferiora valete ita casu opposito. Revera quum superficies nostra tum corporis solidiatatem a reliquo spatio vacuo separet. tum spatii partes eas ubi inpositiuum.valorem obtinet, ab iis ubi valor sorictionis IV sa nega tiuus. generaliter Ioquendo vel extra corpus valor functionis IV pois stivus erit, intra negativus, in quo casu signa superiora acripienda erunt, vel functio IV negativa erit extra, possitiua intra corpus, in quo hasta signa in seriora valebunt. Cosinus angulorum reliquorum . quibus in Armulis nostris opus habemus, adhuc facilius euoluuntur. Habemus scilicet α - π - - r cos m

Denique per theorema satia notum fit

324쪽

Iam vi integratio expressionnm disserent Ialium per totam superficiem absolui possit, has expressiones ita transmutare oportet, ut duas tan rarii inodo Variabiles contineant. Hoc fieri quidem potest Himinando unam e variabilibus ae γ, et adiumento aequationis IV - or sed pleriamque hoc modo formulae minus tractabiles prodeunt. Pravitat itaque, duas nouas in determinatas P, q intro da-cere, ita ut tum ae , tum γ, tum et tamquam functiones harum in deinterminatarum considerare oporteat.

Simulac igitur ipsis P, q valores determinati tribuuntur. etiamae, γ, et determinatae erunt, i. e. illis punctum determinatum in cor potis superficie respondebit. Haec mutua correlatio elatius ob ocuα Ios ponetur, si planum indefinitum concipiamus, cuius singula puncta per coordinatas rectangulares P, g exhibeantur. Cuiuis itaque puncto plani respondebit Punctum in si perficie corporis et quidem unicum latitum, si res ita instructa est. vi ae, γ, et sint functio. nes uniformes inde terminatarum P. q. Quod si vice versa etiam perae, y. et plene et absque ambiguitato determinantur P et q. manifesto cuiuis puncto superficiei corporis Unicum tantum plani punctum reis Ipondebit, planumque in hoc casu Vndi ius in infinitum porrigides et . quo integram corporis superficie ita exhauriat. Alioquin au-'tem plani partem tantummodo considerare oportebit, limitibus finitis vel infinitis descriptam, quae corporis superficiem quasi repra laniabit. Concipiatur planum per infinitas rectas tum lineae abscis. satum parallelas tum 'ipsi normales in elementa rectangula diuisum: huiusmodi elemen Lum, inter Puncta quorum coordinatae sunt

contonium, erit m dy. dq, respondebitque elemento parallelogram. matico

325쪽

CAROL. FRID. GAUSS

matico in superficie corporis contento inter quatuor Puncta, qu . Tum coordinatae resp. erunt I. ae. Υ,

vnde per theorema satis nolum ipsa elementi area erit

Hine patet, singula integralia in sex nostris theorematibus pro- Iata, ad formam talem reduci I Sdp. dq, ubi S vel explieito vel implicite sit functio duarum in determinatarum P, q. integratio nemque vel per totum planum infinitum extendendam esse. vel per eam plani partem, quae superficiem integram corporis non ri qua si repraesentat. Integratio ipsa autern modo his modo illis artifidiis absoluetur, de quibus regulae generales dari nequeunt. Ceterum adhuc obseruamus, quum substitutis pro ae. F, e val xibus per ρ. q expressis, sunctio m necessario fieri debeat identi eam o, etiam identico i. e. independenter a valoribus ipsarum dp. dqfieri debere

suo haberi

326쪽

ipsis T. V siue colinibus angulorum PX, UT, proportiona.

Ies euadere, quod iam e si Pra dictis, sed remanente signorum ain. biguitate, colligere licuerat.

Ab his disquisitionibus generalibus ad corpora sphaeroidica elliptica descendimus, quorum caussa illae rusrant susceptae. Inistio abscissarum in corporis centro sumto, . semiaxi5usqua per A, B, cdefignatis. aequatio superficiei orit

xae ' τη Statuemus Itaque IV α --Φ cc L, Vnde Ptet. pro omnibus punctis intra corpus in obtinere valores negati uos. positivos autem pro omnibus punctis extra corpus. Porro erit

V ais, sa, V - re, statuendo itaque

erit

327쪽

P extendatur a o usque ad 18o', 9 vero a o v8que ad 36ov. Porro habebimus 'iri

Hine quoniam sin p intra limites, quos hic consideramns, ubi. que fit quantitas positiva, statuere oportet da α dp. dq. ABC. .. sin P . Applieando has formulas ad theorema secundum, si corporis voltianen seu sl at uendo densitatem *z I massa

quod integrato a P o usque ad y IBOR est extendendum. Hinc Prouenit tetram, vii aliunde constat. . - I3. Ad determinandam attractionem, quam sphaerois exercet in punctum quodcunque. si attractio cuiusuis elementi quadrato distantias a Puncto attracto reciproce proportionalis supponitur, habenins δε

- , μ α - -. cur m r. Sit attractro sphaeroidis integri secundum directionem axi coordinatarum ae parallelam atque oppositam m X, 1tatuaturque x ABCξ. Erit itaque ι per theorema tertium,

adeo

328쪽

adeoquetos'. sin p

Denique theorema quartum nobis suppeditat

, veI α prout punctum II iacet vel extra corpus, vel intra corpus. Iam quantitates A, B, C tamquam Ualores particulares trium variabilium et, C. γ consideramus, ita compBrat . ut αα- ω, αα γγ sint consantes. Ita e spectari poterit tamquam functio vatiabilium α. ς γ seu potius unius ex ipsis: variationes simultaneas quanti attam ε α Q γ per charactetisticam δ distingvernua. F ' eile concluditur ex aequatione IiJ, erescentibus α. Q γ in in finitum. ε ultra omnes It mites decrescere, quum manifesto vel valor mini mus ipsius r ultra omnes limites crescat. statuere itaque oportet

secundum characteristieani δὲ prodit

329쪽

Huius sequationis pars. ad dextram. per aeqv. st .a si vel o Vel

ctionem X tnassae proportionalem pro omnibus ellip idibus, in quibus αα - α, αα - γγ sint quantitates constantes, i. e. , quarum tres sectiones principales sint ellipses ex iisdem focis descriptae, quamdiu punctum atι rasitum e tra sphaeroidem iaceat. Quam conis Clusionem, quum omni rigore vera su : quantumuis proxime sphaeroidis superficies ad punctum attractum accedat, necessario etiam ad sphaeroidem ipsam extendere licebit, cuius superficies per ipsum punctum attraclum transit. Problema itaque de attractione sphaeroidis in punctum quodcunque externum determinanda, reducitur Bd duo alia problemata, scilicet primo ad determinationem dimensionum alius sphaeroidis ex iisdem quibus sphaerois proposita focis descriptae punctumque attractum transeuntis, secundo ad problema de attractione sphaeroidis in punctum in ipsi os super fiete positum. Problema prius pendet a solutione aequationis cubicae, quam semper radicem realem unicam inuoluere

330쪽

inuoluere faciIs 4emonstratur. cuique hic immorari superfluum vudetur. Vt vero problema alterum inluamus, tonsiderem is castim alterum,. ubi punctum attractum iacet intra corpus. Quum sit α - αα Φ BB - A A, ο α αα - - CC - AA. substituemus hos valores in aequatione 5, simulque faciemus - t. Hinc emergit

siue restituendo characteristicam d, et integrando

iisde

integratione a ι 'O usque ad e ra I extensa. Μanifesto attractiones axibus coordinatarum γ, , parallotae hinc sponte deriuantur, sia, A cum b, B vel cum c, C permutantur. Haec itaque formula suppeditat attractionem omnium puncto. rum intra sphaeroidem, et quum rigorose sit vera. quantumuis proximum fit punctum attractum ipsi sphaeroidis supersici ei, etiam usque ad puncta in superficie posita valebit. Ad quam quum attractio punctorum externorum iam reducta sit, problema iam complete est solutum. Aequatio fid praeterea docet, pro puncto interno a tractionem omnium sphaeroidum similium similiterque positarum prorsu g iden

licam esse. Quodsi itaque huiusmodi sphaerois in plura strata dia visa