장음표시 사용
51쪽
T ; unde oritur B --, posto I , ita ut sit B - - T. Ponatur Porro V --T; erit
posito I , ita ut sit C - - T. Quo circa fractiones partiales ex denominatoris Factore I - γ' ortae emot
P - qis ἔmodo invenientur. Ponatur denominator N p - ρ ' Z , atque, ratiocinium ut ante instituendo , reperietur ut sequitur :
52쪽
tes A , B , C, D, M. invenientur omnes fractiones partiales , CAp. II. quae ex denominatoris N Factore p - qs ' nascuntur.
Sit proposita ista Functio stacta i t j ex cujus deno
minatoris Factore nascantur hae fractiones partiales --
53쪽
L I B. I. 6. Quaecunque ergo proposita fuerit Functio rationalis fracta , ea sequenti modo in partes resolvetur, atque in formam simplicissimam transmutabitur Quaerantur denominatoris N omnes Factores simplices sive reales sive imaginarii; quorum qui sibi pares non habeant, seorsim tractentur & ex unoquoque per i . ψI , fractio partialis eruatur. Quod si idem Factor simplex bis vel pluries occurrat, ii conjunctim sumantur atque ex eorum producto , quod erit potestas sermae p - qs ' , quaerantur fractiones partiales co Venientes per g. ψ . Hocque modo cum ex singulis Factori-hus simplicibus denominatoris erutae fuerint fractiones partiales , tum harum omnium aggregatum aequabitur Functioni propositae , nisi fuerit spuria ; si enim fuerit spuria , pars integra i super extrahi atque ad istas Dactiones partiales inventas adjici debebit, quo prodeat valor Functionis in forma simplicissima expressus. Perinde autem est sive fractiones partiales ante extractionem partis integrae, sive post quaerantur. Eaedem enim ex singulis denominatoris N Factoribus prodeunt seactiones pamtiales , sive adhibeatur ipse numerator M, sive idem quocunque denominatoris N multiplo vel auctus vel minutus ; id quod regulas datas contemplanti facile patebit.
- α in Hinc ad fractionem ς i inveniendam , erit A - ' , posito r - - a ; ideoque sit A
54쪽
- - , atque ex Factore I ε r oritur haec fractici partiali s. Iam sumatur Factor quadratus I- ' qui dat. r , Μ I , & Z - - i'. Postis ergo fractionibus partialibus hinc ortis--p Φ i η - , erit A -
, Posito r I ; ergo B - & fractiones partiales quaesitae - --π Φ -- . Denique tertius Factor cubicus dat o ; Μαα I ἔ &Z - Ι - r Positis ergo fractionibus partialibus
in hanc formam resolvitur L ia L μι- - - --
-- --A . j : nulla enim pars integra insuper accedit, quia fractio proposita non est spuria. E χ
55쪽
36 DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM C A P U
De transformatione Funclionum per subsitutionem . 6 bis. I fuerit y Funclio quacunque ipsus et , atque Z definiatur per novam variabilem X , tum quoque y per X depniri poterit. Cum ergo antea v filisset Functio ipsius y , nunc nova qua titas variabilis x inducitur, per quam utraque priorum y & ἐdefiniatur. Sic, si fiteri ty atque ponatur hoc valore loco r substituto , erit y R,. Sumpi
ergo pro x valore quocunque determinato , ex eo reperien
tur valores determinati pro & y , sicque invenitur valor ipsius y respondens illi valori ipsius t qui simul prodiit. Uti si sit x - , fiet T , & y i ; reperitur autem quoque y - γ, si in , cui expressioni y arquatur, PonMur i T.
Adhibetur autem haec novae variabilis introductio ad duplicem finem : vel enim hoc modo irrationalitas, qua expessio ipsius y per i data laborat, tollitur; vel quando ob aequationem alti inris gradus , qua relatio inter γ & r exprimitur, non licet Fun tionem explicitam ipsius p ipii y aequalem exhibere , noVa variabilis x introducitur , ex qua utraque y & commode definiri queat : unde insignis substitutionum usus jam satis elucet, exsequentibus vero multo clarius perspicietur. 7. Si fuerit y - έ a q- h Z nova variabilis X per quam utraque Z ct y rationaliter exprimatur, sequenti modo invenietur. Quoniam tam r quam y debet esse Functio rationalis ipsus ae perspicuum est hoc ob tineri si ponatur a -l-- bx: Fiet enim primo y - M; & a q-b -bbo; hincque b c c-Quocirca utraque quantitas γ & r per Functionem ratiosaalem
ipsus x cxprimitur; scilicet cum sit 1- V a Φ b fiat .
56쪽
8. Si fuerit y - a ε bE '; nova variabilis x , per c AP ΠΙquam tam y quam Z rationaliter exprimatur, sic reperietur.
scilicet substitutionis r- - , quae praebet y x'. Quamvis igitur neque y per , neque Vicissim s per y rationaliter exprimi possit; tamen utraque reddita est Functio rationalis novae quantitatis variabilis x per substitutionem introductae, scopo sabstitutionis omnino conveniente 49. Si fuerit y - ἔ requiritur nova quantitas variabilis x per quam utraque y O Z rationaliter exprimatur. Manifestum primo est si ponatur y x' , quaesito satisfieri ;erit enim x , ideoque - x ς ex qua aequatione elicitur ' g ; quae substitutio praebet y- . .
Hinc quoque intelligitur si fuerit , . tam y quam ἔ rationaliter per x eXpressiam iri, si utraque sermula
qui casus nil habent dissicultati x
invenietur, qua y O Z rationaliter exprimantur, hoc modo.
perspicitur hinc valorem rationalem pro r esse proditurum ;quia valor ipsius i per aequationem simplicem determinatur. Elide Diuitiaco by Corale
57쪽
38 DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM
a - r γ ; ob b - Φ I , c a , d - I ; ponatur ' eritque y --Quoties ergo quantitas post signum v habuerit duos Factores simplices reales, hoc modo reductio ad rationalitatem absolvetur; sin autem Factores bini simplices fuerint imaginarii, sequenti modo uti praestabit. L. Sis y v p Φqχ ε rat atque requiritursublitutio idonea pro et facienia , ut valor ipsus y sat rationalis. Pluribus modis hoc fieri potest, prout ρ & q fuerint quantitates vel affirmativae vel negativae. Sit primo p quantitas affirmatiVa , ac ponatur aa pro p p etiamsi enim ρ non sit quadratum , tamen irrationalitas quantitatum constantium praesens negotium non turbat. Sit igitur
& y sunt Functiones rationales ipsius x. Sit jam
III. Si fuerint p & r quantitates negativae; tum , nisi sitqq-qpr, valor ipsius y semper erit imaginarius. Quod si aurem suerit qq a r ; expressio si in qr Φ-in duos Factores Diuitiaco by Cooste
58쪽
resolvi poterit, qui casus ad g. praeced. reducitur. Saepenumero CAp.III. autem commodius ad hanc serniam reducitur , 1 - v aa
Ha e l co . b . interdum commodius fieri
Si habeatur ista ipsius r Functio irrationalis y V - I ε 3r -'; quae cum reduci queat ad hanc sermam y V I - Σ
i i , - Atque hi sunt sere casus , quos Algebra indeterminata, seu methodus Diophantaea, suppeditat; neque alios casus in his tractatis non comprehensos per substitutionem rationalem ad rationalitatem reducere licet. Quocirca ad alterum substitutionis usum monstrandum progredior.
- O , invenire novam variabilem x , per quam valares Usarum y O et explicite assignari queant. Quoniam resolutio aequationum generalis non habetur, eX aequatione proposita ac Φ Φ cy' o neque y pex i
59쪽
46 DE TRANSFORMATIONE FUNCTION
I. neque vicissim per y exhiberi potest. Quo igitur huic in commodo remedium afferatur ἔ Ponatur y x i , eritqueoae' 'H- b H- e P o. Determinetur nunc e ponens n ita ut ex hac aequatione valor ipsius r definiri queat :quod tribus modis praestari potest.
60쪽
. Tribus igitur diversis modis erutae sunt Functiones ipsius x. quae ipsis & y sunt aequales. Praeterea Vero Pro m num rum pro lubitu substituere licet cyphra excapta ; sicque formulae adcommodissimam expressitonem reduci poterunt. . EXEΜPLUΜ. Exprimatur natura Functionis y per hanc aequationem y'- c y O ; atque quaerantur Functiones ipsius x ipsis y & raequales. Erit ergo a - - I ; b - - I ; α - 3 ; c 3 ; ν - I ; & δ I. Hinc primus modus dabili, posito m - I.
γ - T FP ; quarum eXpressionum utraque adeo est ratio nati S. Secundus modus Fero dabit hos valores :
valor Functionis y per 2 determinatur, hoc modo novam vari bilem x introducendo resolvi queant.
Ponamus enim resolutione jam instituta prodiisse has deter- Euteri Introduci. in Anal. tuis. FDigiti co by Corale i