장음표시 사용
291쪽
in qua quilibet coeffficiens indicat, quot variis modis Exponens Potestatis adjunctae per additionem produci queat ex numeris integris, sive aequalibus sive inaequalibus. Scilicet ex termino I Ix' cognoscitur numerum 6 undecim modis per additionem numerorum integrorum produci posse, qui sunt 6 - 6 6 - 3 H- I H- I Φ 1
ubi quoque notari debet, ipsum numerum propositum , cum in Scrie numerorum I ,2, 3, 4, s , 6, &c., proposita coni ucatur , unum modum Praebere. 3o5. His in genere expositis , diligentius inquiramus in modum hanc compositionum multitudinem inveniendi. Ac primo quidem consideremus Cam ex numeris integris compositionem , in .qua numeri tantum diverti admittuntur , quam prius commemoravimus. Sit igitur in hunc finem propositae haec expressio
quae evoluta dc secundum Potestates ipsius r digesta . praebeat
ubi methodus desideratur has ipsus x Functiones P, Q, R, S, T, &c., expedite inveniendi , hoc enim pacto quasioni Propositae convenientissime satis siet. Diqiliaco by COOste
292쪽
3o7. Patet autem , si loco r ponatur x s , prodire c. 8 e
ergo, posito xs loco r , valor producti, qui erat Z , ahibit in , ἰ sicque , cum st
multiplicetur ergo actu par I Φx , atque prodibit
3o8. Sic igitur seorsi in unamquamque Seriem Potestatum ipsius x cxhibere possumus , ex qua definire licet , quot variis modis propositiis numerus ex dato partium integrarum numero per additionem formari possit. Manifestum autem porro est has singulas Series esse recurrentes, quia EX EVolutione
293쪽
LIB. I. Functionis fractae ipsius x nascuntur. Prima scilicet expresso P E , dat Seriem geometricam x ε x' ε κ' in x' -- x' - x' Φ x' - &c. , ex qua quidem manifestum est quemvis numerum semel in
Serie numerorum integrorum continerio
3o9. Expressio secunda b , dat hanc Seriem x' in x' - 1x' - 1x' .l. 3E H- 3x' - x' Φ lx'' -- &c., in qua cujusvis termini coessiciens indicat quot modis Exponens ipsius x in duas partes inaequales dispertiri possit. Sic terminus ψx' indicat, numerum 9 quatuor modis in duas Pa tes inaequales secari posse. Quod si hanc Seriem per x' divida
mus , prodibit Series , quam praebet ista fractio si - ,
cujus terminus generalis sit - Nw ; atque ex genesi hujus Seriei intelligitur coemcientem N indicare, quot variis modis Exponens a ex numeris I & χ per additionem nasci queata Cum igitur prioris Seriei terminus generalis sit - Nae' ' 3 , deducitur hinc istud theorema. Quot variis modis numerus n per additionem ex numeris I O 2. produci potes, totidem variis modis numerus n -- 3 in duas partes inaequales secari poterit
in qua cujusvis termini coessiciens indicat quot variis modis Eriponens Potestatis x adjunctae in tres partes inaequales disper Disit Zod by Cooste
294쪽
NUMERORUM. 26 It ri possit. Quod si autem haec stactio ostiis,
evolvatur, prodibit haec Series
cujus terminus generalis si ponatur μ', coemciens N indicabit quot variis modis numerus n EX numeris I, 2 , 3 , Per
additionem pro ci possit. Cum igitur pHoris Seriei terminus generalis sit Nae' 'si , sequetur hinc istud theorema.
Quot variis modis numerus n per additionem ex numeris I ,
2, 3, produci potes, totidem variis modis numerus n H- 6 iutres partes inaequales secari poterit. III. Expressio quarta ij, Q i Seriem recurrentem evoluta dabit x ' in x ' - H- 3 x ' in s x' - - 6 x ' ρ ρ κ' in &c. . in qua cujusvis termini coessiciens indicabit quot variis modis Exponens Potestatis x adjunctae in quatuor partes inaequales dispertiri possit. Quod si autem haec expressio
superior Series per x'' divisa , nempe I lx ΦΣx' ε 3x' uex' - - 6E Φ 9x' Φ oxy Φ- &α, cuius terminum generalem ponamus - μ' ; atque hinc patebit coemcientem N indicare , quot variis modis numerus nper additionem oriri possit ex his quatuor numeris I ,Σ, 3, 4. Cum igitur prioris Seriei terminus generalis futurus 1i - μ' ', deducitur hoc theorema. Quot variis moris numerus n per adiationem produci podes
295쪽
LIB. I. ex numeris I , Σ , 3, - , totidem variis modis numerus n Φ Iain quatrior partes inaequales secari poterit. 3I2. G cneraliter ergo, si haec expressio
in Seriem evolvatur , crit ejus terminus generalis m m η- I ὶNPt a. : ntque hic coegi ciens N indicat quot variis modis numerus la H -- in in partes inaequaleg secari possit, unde hoc habetur theorema. Quot variis modis numerus n per additionem produci potesea numeris I , Σ , 3, 6 m , totidem modis numerusn ε - -- in m partes inaequales secari poterit. 313. Ex posita partitione numerorum in partes inaequales, perpendamus quoque partitionem in partes , ubi aequalitas partium non excluditur ; quae partitio ex hac EXpressione origianem habet
296쪽
- xl - PQ - Qxi' - ' - dic. . Comparatione ergo instituta orietur unde pro P , Q, R, S, &c., sequentes valores Proveniunt.
31 . Expressiones istae a superioribus aliter non discrepant,n si quod num2ratores hic minores habeant Exponentes quam casu praecedente. Atque hanc ob rem Series, quae per eVt lutionem nascuntur , ratione coeli cientium omnino conveniunt, quae conivenientia jam ex comparatione g. g. 3oo & so perspi itur , nunc vero demum ejus ratio in tu uisitor. Hinccrgo omnino sinu ia thcoremata consequentur, quae sunt.
297쪽
LIB. I. Quot variis modis numerus n per a Mi.ionem produci potes ex numeris I, 2, totidem modis numerus n ε 2 in duas partes dispertiri poterit. Quot variis modis numerus n per additionem produci potes ex numeris I, 2, 3; totidem modis numerus n ε 3 in ιres partes di peniti poterit. Quot variis modis numerus n per additionem produci potes ex numeris I , 2, 3, Φ, totidem modio numerus iaΦΑ in quatuor partes dispertiri poterit. Atque generaliter habebitur hoc theorema tQuot variis modis numerus n per aditionem produci potes ex numeris I, 2, 3, m, totitim modis numerus n i min m partes pertiri poterit. 3Is. Sive ergo quaeratur quot modis datus numerus in m partes inaequales, sive in m partes, aequalibus non exclusis . dispertiri possit , utraque quaestio resolvetur si cognoscatur quot modis quisque numerus per additionem produci possit ex numeri S I, 2, 3, 6 m , quemadmodum hoc patebit ex sequentibus theorematibus , quae ex superioribus sunt derivata. Numerus n tot modis in m partes inaequales dispertiri potes, - quot modis numerus u additionem produei m. res ex numeris I, 2. 3, ψ m. Numerus n, tot modis in m partes fve aequales sive inaequales dispertiri potest quot modis numerus n - m per additionem Pr in ei potes ex numeris I , Σ, 3 m. Hinc porro sequuntur haec theoremata. Numerus n totidem modis in m partes inaequalis secari potes. quot modis numerus n --ὶ in m Partes, sue aequales
298쪽
Numerus n totidem modis in m partes , sive inaequales sive reqvales, secari pote s , quot modis numerus n - - in m partes inaequales dispertiri potest. 316. Per formationem autem Serierum recurrentium inveniri poterit, quot variis modis datus numerus n per additio Dein produci possit ex numeris I, 2, 3, m. Ad hoc enim inveniendum evolvi debebit fractio
atque Series recurrens continuari debebit usque ad terminum NU , cujus coeffciens N indicabit, quot modis numerus nper additionem produci Possit CX numeris I, 2, 3, , m. At vero hic solvendi modus non parum habebit dissicultatis si numeri m & n sint modice magni; scala enim relationis , quam praebet denominator per multiplicationem evolutus , eXPluribus terminis constat, unde operosum erit Seriem ad plures terminos continuare. 3I7. Haec autem disquisitio minus erit molesta , si casus simpliciores primum expediantur . ex his enim facile erit ad casus magis compositos progredi. Sit Seriei , quae ex hac fractione Oritur ,
299쪽
LIB. bit quot variis modis numerus n - m per additionem produci possit ex numeris I, 2, 3, 3ri. Subtrahatur posterior expressio a priori , ac remanebit
atque manifestum est Seriei hinc ortae terminum generalem suturum esse N-M x' ; quare coem ciens N-M indicabit quot variis modis numerus n per additionem produci possit ex
numeris I, 2, 3, ΤΠ I . 3I8. Hinc ergo sequentem regulam nanciscimur. Sit L numerus modorum , quibus numerus n per additionem produci potest ex numeris I, 2, 3, m -I . Sit M numerus modorum, quibus numerus n-m per additionem produci potest ex numeris I, 2, 3, m. Sitque N numerus modorum , quibus numerus n per addi tionem produci potest eri numeris I , 2, 3 , m.
His positis, erit, ut vidimus, L-N-M; ideoque N L -l- M. Quod si ergo jam invenerimus quot variis modis numeri n & n - m per additionem produci queant, ille ex
num riS I, 2, 3, m - I , hic Vero ex numeris I, a, 3, m ἰ hinc addendo cognoscemus , quot variis modis numerus n per additionem produci queat ex numeriS I, 2, 3, m. Ope hujus theorematis acalibus simplicioribus, qui nihil habent difficultatis, continuo ad magis compositos progredi licebit, hocque modo tabula hic annexa est computata, ' cujus usus ita se habet. Si quaeratur quot variis modis numerus 1 o in 7 partes ina quales dispertiri possit ; sumatur in prima columna verticali numerus 1 o - et x , horigontali autem suprema n merus romanus VII ; atque numerus in angulo positus 32et indicabit modorum numerum quaesitum.' Vide Tab. pag. 37s. Digiti od by Cc oste
300쪽
Sin autem quaeratur , quot variis modis numerus so in 7 C A P, partes , sive aequales sive inaequales , dispertiri possit, in prima columna verticali sumatur numerus so - 7 - 43 , cui incolumna respondebit numerus quaestus 89 6. 319. Scries hujus tabulae verticales, etsi sunt recurrentes , tamen ingentem habent connexionem cum numeris naturalibus, trigonalibus , pyramidalibus & sequentibus , quam paucis e Ponere operae Pretium erit. Quoniam enim ex fractione Oritur Series I ε x in xx' - Σx' Φ etae
31' - &c., ac proinde ex fractione ' - Π Q haec x Φ x' - 1x' - Σx' Η- 3x' ε 3 x ε &c. . Si duae hae Seriegaddantur , nascitur illai Φ Σx ε 3x' - x' Φ uex'- ,x' in 7P in &c., Quae per divisionem oritur ex Dactione -- p unde patet Serici postremae terminos numericos
Seriem numerorum naturalium constituere. Hinc ex Serie ta-hulae secunda addendo binos terminos proveniet Series num rorum naturalium , polito x I.
Vicis sm ergo ex Surie numerorum naturalium superior invenitur , subtrahendo quemque terminum Seriei superioris a te mino inferioris sequente. 3Σo. Series verticalis tertia oritur ex fractione