Acta eruditorum. lat. Lipsiae, Christ. Günther 16821779

191쪽

1r6 NOVA ACTA ERUDITORUM

a a a i In quibus sormulis omnes prorsus eurvae algebraicae, quae Problemati satisfaciunt, continentur. Q E. I. Coroll. I. LXXVI. Iam notavimus, semper esse cΜ Φ Μm-m Crem a a. Hic igitur notasse iuvabit, esse et θε - Μm-a-

TAB. III LXXVIII. Cirea punctum radians C tanquam rentrem Fig. a. describatur curva algebraica partibus alternatim positis Cia Cy similibus praedita, ita ut quaevis recta per C ducta utrinque ud curvam similiter sit posita. Capiatur hujusmodi r cta Dra Diqiliaco by Corale

192쪽

MENfIs MARTII A. MDCCXLVIII. PII. irr

cta DCB pro axe, ac vocetur abscissa CP v, applicata P m v, sietque posita u negativa & v negativa, ita ut vst iunctio impar ipsius si, uti requiritur. Ad a ducatur tangens

per a axi parallela agatur XGK, erit a C t -uu -r, hineque iuncto radio CF angulus FCe-φ, iam ex R in TC productam demittatur perpendicularis R L, erit ang. CR L eC- φ, ideoque R L positio debita radii semes

utrinque producta, ex V capiantur spatia aequalia VLVI -a , datae scilicet rectae a aequalia: erit RL - a studu udv- - v-ρ, & RI-a- -- in v p . Iungantur rectae au duc L M CI; ad quas in T & t bisectas normaliter statuantur Tu & tm, erunt Μ & m puncta in curva quaesta, & rectae Tu & tm erunt tangentes hujus curvae in iisdem punctis u& in, hocque modo curva satisfaciens FMBQ eo facilius construetur, quod non solum ex quovis puncto a curvae assumtae QCq cluo puncta M & m, sed etiam tangentes, ibidem invenientur. Seholion. LXXIX. In Figura, qua hanc constructionem illustraviamus puncta M & m situm permutatum obtinent, dum punctum M propius ad Isem vero propius ad L, cadit, atque adeo intervallum um valorem nanciscitur negativum; qui casus ad Problema solvendum, eX natura reflexionis, ine plus est censendus. Curva enim FV convexitatem axi o

vertit, & radius incidens Cm non secundum Mm, sed secun-Z dum

193쪽

1'8 NOVA ACTA ERUDITORUM

dum directionem contrariam ut, reflectitur, in qua directi ne non amplius ad curvam pertingit, neque alteram reflexione ni subit. In hoc ergo calculus a vera Problematis indole recedit, quod alterum reflexionis punctum in m indicat, ad quod radius MI pervenire nequit; cujus dissensus causa est, quod in calculo sola radii directio spectetur, eaque utrinque producta aeque conlideretur. Scilicet pro radio incidente C Μ, si natura reflexionis geometrice consideretur, ad punctum incidentiae Μ, angulum Fu I aequalem constitui oportet angulo CMT, atque recta ui tam antrorsum, quam retrorsuria, um versus producta, pro radio reflexo habetur, cum tamen sola prior directio Mi naturae reflexionis conveniat. Si igitur hanc reflexionis indolem omittamus, atque Problema tantum geometrice interpretemur, curva haec FBI Problemati ita satisfacit, ut pro quavis recta Cu ex C ad curvam educta, s ad M constituatur recta M m , ad tangentem M Taeque inclinata ae ipsa C M, ea curvae denuo occurrat in pumcto quodam m, quae cum tangente mi angulum constituat Mini Cm t. Neque ergo in M, neque in m, erit reflexio vera, principiis catoptricis consentanea, sed reflexio ficta, quae in calculo aeque locum habeat. Interim tamen huiusmodi casus, quibus Problema per reflexiones fictas resolvitur, seiacile dignosci, atque, si visum fuerit, excludi, poterunt: Occu rant scilicet, quoties situs punctorum Μ & m permutatur, atque intervallum Mm fit negativum. Supra autem invenimus,

esse Min a- - - : quare, quo curva Problemati

de patet, ex os dem curva assumta VCq innumerabiles curvas FBs Problemati proprie satisfacientes construi posse, dummodo linea constans a major assumatur, quam C sv v Φ r- u D ) υ - . Cum igitur CP- v excedere nequeat du

194쪽

MENfIs MARTII A. MDCCXLm. P. II. 1 rc

CD-r, quaeratur maximus valor formulae v v ο -

dum v continetur intra limites o & I; hoc aeua que quantitas constans a maior statuatur. Sic, si sit v -δώ,

qui valor si vel π α 'velu α I casuu o evadit infinitus . unde reflexiones fictae evitari non poterunt. Constructio alia. LXXX. Describatur curva algebraica quaecunque diametro orithogonali praedita QAq, cuius diameter A B per punctum radians C transeat, &, quia applicatae sive assirmativae Pia , sive negativae Pq, eadem abscissa CP respondet, si ponatur PQ u&CP t, eriti functio par ipsusu: uti LXXVII postulatur. Ad a ducatur curvae tangens usi erit subtan-ud gens P Z -- νducui ad alteram applicatae partem in axe aequale capiatur intervallum P R Prierit CR - t φ I--γideoque CR-λ Iam centro C radio CE- 1 describatui circulus, seu sollem quadrans ED, & per gagatur axi parallela Xur, erit X U-W r uu)-s, unde ducto radio C F erit angulus EC p. Ex P ipsi C r ducatur parallela P V, in quam ex R demittatur perpendiculum R V utrinque Producendum, erit angulus CRU EC φ, &RV m. s. PR - aT- . Iam in recta It producta ea V utrinque duaequalia abscindantur intervalla VLατα H-a, erit RL-a-b

195쪽

1go NOVA ACTA ERUDITORUM

tectis CL, CI, ad quas bisectas in T& t perpendicula duram

tur Tu, im rectam L ι secantia in Μ &m erunt M & mpuncta in curva Problemati solvendo apta: atque rectae T Μ& t insimul ejus erunt tangentes. Radius enim incidens C Μad Μ reflectetur in Mm, & ad in denuo in au Scholion. LXXXI. Constructio haec nititur Coroll. a. dum Prior ex ipsa solutione est derivata: utraque autem latissime patet, aeque omnes lineas algebraicas Problemati satisfacientes in se TAB. III complectitur. Tum vero etiam utraque ex eadem curva aD Fig. a. sumta V A q innumerabiles suppeditat curvas satisfacientes. in constructione enim priori quaevis recta per punctum F radians C ducta loco axis assumi potest, in altera vero constructio-TAB. IV ne curva A q secundum axem CD pro lubitu vel promoveri, Fig. i. vel removeri, Potest. Tum vero in utraque constructione, tam radium circuli CL quam quantitatem constantem o, Prolubitu variari licet, unde ex eadem curva QAq innumerabiles lineae curvae F per constructiouem emergenti Smperest igitur, ut lineas curvas algebraicas simpliciores, quae

Problemati satisfaciant, eruamus, earumque aequationes more solito inter coordinatas orthogonales expressas exhibeamus.

Hoc praestabimus, si loco v iunctiones idoneas simpliciores substituamus, ubi quidem primo est notandum, ex pluribus di-- versis valoribus ipsus eo eandem lineam curvam oriri polle: eum enim nihil sit, quo axis CB, ad quam curvam referimus, determinetur, & quaevis recta per punctum radians C ducta vicem axis subire queat, eadem curva FBfinfinitis modis diversis obtinere poterit, dum modo ad hunc, modo ad alium, axem refertur. Ne igitur hic decipiamur, atque eandem curvam ex pluribus diversis valoribus ipsius v assumtis adi-TAB. IV piscamur; quemadmodum omnes ipsius v valores, qui ea Fig. a. dem lineam curvam ad diri os axes relatam praebent, sint

inter se affecti, erit uii piciendum. Si igitur pro axe CB sit angulus C Ru - φ, eiusque sinus m s & cosnus - x; pro alio quovis axe Cb cum illo CB angulum constituente BCo b, erit angulus CrΜ-φ- ρ: unde si sit sit. θ- m de

198쪽

MENfIs MARTII A. MDCCXLVIT P. II. 1 8 r

eos θ - n, erit anguli Cr M snus aes m ti & eosinus vim 3- nu. Quare, sive pro υ assisnatur functio quaepiam ipsarum s & v, sive similis functio ipsarum sis mu & ms . nu, eadem reperietur linea curva. Scilicet, si curva fuerit inventa ex valore ν hu, eadem curva reperietur, si Ponatur ν mb s se nbur hincque ex omnibus valoribus ipsius v, qui ad eandem lineam curvam dedueunt, facilliamus & ad calculum maxime accommodatus eligi poterit.

Exemplum. I.

LXXXII. Cum v debeat accipi functio impar ipsarum s ΤAB. IIS ti, ponamus v bu, qui Valor aeque late patet; ac si aD Fig. s. 1umeremus v - bu ε cs: uti modo vidimus. Erit ergo ν 2 -hi ideoque punctum R in axe CB constans; ex quo aeuiam est perspicuum, curvam sore sectionem conicam; circa ocos C de R descriptam, atque ellipses quidem Problemati per reflexiones veras, hyperbolas vero Per fictas, esse satisfacturas. Galculum autem si prosequamur, erit ob r-h dcv-ba: CΜΦ MRem ρ a

atque s Dissiligod by Corale

199쪽

quae est pro ellips, si a b; pro parabola, si a b; pro hyper

transversus a. Exemplum. 2.