장음표시 사용
241쪽
insantibus trium circiter annorum, ad vivum delineatas, exhibet, & concinnam explanationem sistit. Hanc dedit. D.
I. I. Huberus, & prima leone medullam spinalem, vel potius
durae matris productionem, spinalem medullam, eiusque ne vos, investientem, repraesentat, prout se in stu naturali. una cum nervis vertebralibus omnibus, eorum directione, si1-
tu, & magnitudine naturali, in specu vertebrarum habet, &quidem a facie postica spectata. Icon secunda a facie quoque postica medullae oblongatae partem, in infima bas eranti
positam, refert, omnemque ex ea productam medullam spinalem, ab omni involucro, excepta pia matre, denudatam, exhibet. Icon tertia medullae spinalis partem ab antica pa te visam exhibet. Tertia Tabula eundem autorem habet, &uteri muliebris, praecipuarumque partium Vicinarum, delineationem & explanationem sistit. In sex iconibus, quas haec Ta- . bula ostendit, rugae vaginae uteri, ex scemina sexaginta circiter annorum, & ex puella quatuordecim annorum, pudendum muliebre externum, & inprimis hymenis varia structura, cervix uteri, Sc aliae vicinae partes, conspiciuntur. Tabula quarta, quae Illustrem Halierum autorem habet, nova omenti leon traditur, cui ab eodem Autore in Tabula quinta altera,
quae omentum describit, delineatio additur. In prima icone
omentum, ut vulgo assumitur, gastrocolicum, nec non omenis
tum colicum, quod est portio prioris, tandem omentum mi . nus Ninflavit, exhibentur, & descriptio, ex triginta circiter cadaveribus, inter se comparatis, eruta, additur, in altera reliquae partes, in abdomine postae, relictis, omento gastroc lico & colico tantum separatis, conspiciuntur, ubi simul hiatus Imulavit, sive portio ad omentum, quam ad priorem Tabulam descripserat, delineatur. Tabula sexta basin cranii parte hujus convexa & cerebro separatis sistit, autore Iil. Hasero. In elegantissima hac icone nervi & arteriae, tum a latere sellae equinae. tum in orbitarum superiori parte, collocatae, nitide delineantur. Praeterea quoque sinus durae matris & principia nervorum, quantum in hac icone conspici possunt, delineantur. Omnes hae icones incomparabili arte Cel. Rossini exaratae
sunt, di accuratis descriptionibus, quas in compendio tradere
244쪽
MENfIS APRILIS A. MDCCXL L adis
haud possumus, vividiores redduntur, ita ut similes icones a celeberrimis nostri seculi dissectoribus omnino expetendae fiat.
G. F. BAERMANNI, MATH. P. P. IN ACADDmia Vittebergense, Analusu Problematis geometrici, in . his Actis A. 17s propostr.
Ρroblema, cuius hic exhibeo solutionem, in Parte I Μω- TAB. Vsis Septembris horum Actorum A. VM pag. Fas his Verbis Fig. i. propositum legitur: se Proposito puncto lucido F invenire
Omnes curvas AMBN huius naturae, ut singuli radii ex F-egressi post duplicem reflexionem in M & Ν in idem pumsectum F revertantur. is Quod Problema quisquis paulo attentiori animo perpenderit, non poterit non intelligere, id ex eorum genere esse, quibus ex data relatione inter aliquot puncta ejusdem curvae illa ipsa curva invenienda proponatur; c iusmodi Problemata primum , s recte memini, a U. C. Damue Bernoustio in his Actis A. 166 cum desectum Geometriae Carte me ostensum iret, publice exhibita suerunt. Verum enim vero methodi, quibus diversi Geometrae ad solvenda huius generis Problemata, eaque non adeo trita, us sunt, utrum quove modo, ad hoc Problema applicari queant, res sane est difficilioris indaginis. Contigit tamen mihi, istas methodos animo versanti, et ea praecipue, quae V. C. Leonardus Eul rus de traiectoriis orthogoniis in Tomo II Comment. Ac ac Pere pol. ac Viri Clarissimi, Clair altus & Fontanus, in Comment. Acad. Paris A. in , pro illustranda V. Newtoni solutione unius ex Problematibus Breuoullianis, paulo ante commemoratis, dedere, perpendenti, ut viam cernerem, qua in solutione plurimorum hujus generis Problematum resti tutoque progredi, & scopum attingere, liceat. Quam viam paucis indicasse iuvabit, antequam ipsum Problema, de quo nunc agitur, aggrediamur. Cardo scilicet rei in his duobus versatur: primum est, ut, tot, quot opus est, variabilibus assumtis, a quibus coordinatae r ctangulae MI, curvae quaestae pendeant,& inter quas aliqua sit, quae ad utrumque ccrrelatorum punctorum curvae eodem
245쪽
modo reseratur, duae aequationes inveniantur, quibus relatio inter istas variabiles assumtas atque coordinatas sic exprim tur, ut alterutra saltem harum aequationum unam tantum c ordinatarum includat: alterum, ut ipsarum assumtarum variabilium relationes ad se invicem exponantur aequationibus, quarum Ope per unam earum variabilium, quae arbitraria r
maneat, determinari possint reliquae. Nam, si haec singula seri queunt, patet, vel exterminatis omnibus illis, quae in
auxilium assumtae erant, variabilibus, inventum tandem iri aequationem inter coordinatas curvae x & I, vel erui saltem posse valores simultaneos utriusque coordinatae, quos geom trice, concessis quadraturis, construere liceat. Hac via pr
posti etiam Problematis solutionem assecutus sum, ad quam exponendam nunc Pergo. absis. I. Sit AMBN una ex curvis quaesitis. Per datum p ctum radians F ducta sit recta linea sic, ut radium reflexum M secet inter M & N in O. Ad hanc rectam ordinatim sub rectis angulis applicabimus rectas M P vel ΝΠ, &, posita origine abscissarum in F, vocabimus FP x, MP a. Nunc in auxilium vocemus rectam FO Vari bilem , quae sit - Σ, &quam patet ad utrumque Punctum 1eflexionis M, N, eodem prorsus modo reserri, ita ut, licet ea alia atque alia si pro aliis atque aliis punctis Μ, tamen ad utrumque correlatorum punctorum Μ, Ν, eandem di positionem & magnitudinem habeat. Praeter hanc opus quoque habebimus angulo variabili Mori ius si cosinus sinus r, pro sinu toto a. Jam cum, his positis, pateat esse P O-3I: σ: Primo offere sese n his haec aequatio: M ; - z - πω II. Deinde, assumto angulo variabili FΜο, cuius diamidii eotangens sit mi, Pro eodem sinu toto a , pervenire licebit ad aequationem inter z, I, 3, i, computando hasn
246쪽
MO RFuo. Scilicet est PF ad PMut tangens anguli PMF
III. Nunc, ut duas adhuc aequationes inveniamus inter assismias variabiles et, si & s, vel iri quae est saa - ssin considerabimus Σ & t tanquam functiones quantitatis s. Et . relationem quidem inter et & s determinaturi consideremus, puncto N in locum puncti u cogitatione substituto, angulum FOM mutari in ang. FON, qui illi deinceps & in plagam contrariam positus est, ideoque pro sinu habet σ, &pro cosinu -s. Hinc evidens est, rectam z, quae ad utrumque punctum Μ, Ν, eadem prodire debet tam positione, quam magnitudine, sive per quantitatem anguli FOM, sive per quantitatem anguli FON determinetur, aequandam elle tali functioni variabilis s, vel σ, quae nullo respectu varietur,s in ea pros & ex scribantur ι &-σ; hoc est, ut apinpellatione utar, quam Vir de omni Mathesi longe meritissumus, Leonardus Euterus, in Geometriam introduxit vid. Comm. Petrop. T. II pag. pyὶ, pro z ponendam esse functionem parem variabilis 3. Ceterum aequatio inter x & et per naturam Problematis non determinatur, ideoque pro arbitrio accipi
IV. Reliquum est, ut aequatio inter s& t inveniatur. Quem in finem intelligatur in M tangens curvam MR, & ex P in hane tangentem dum perpendicularis FR, quae tangenis' ti in R, de radio Ν Μ producto in Occurrat. Ex F etiam in NM perpendicularis si FD. Iam, quia ang. Q F D I R, de per legem reflexionis radiorum ang. QΜRRΜF- complemento dimidii anguli FMO ad rectum; eriti : a ia D: DF. Est autem in triangulo rectangulo ODE, Ff a DF-, Diuiligod by Corale
247쪽
exprimenda, per s. Quod ut fiat, consideremus, ob Μ-FΜ, esse QD - FΜ Φ ΜD, & intelligamus elemeniatum curvae um ac in punctum m incidentem radium Fm, qui inde reflexus secet radium sibi proximum ΜΝ in C, rectam FD in δ, rectamque FO in o, atque procedens curvae iterum occurrat in n , unde reflexus redibit ad F. Ducta cop-cipiatur Fae in uis perpendicularis, & centris C, F, per mintelligantur descripti arcus circulorum, qui rectis ΜΝ, MF, in e , k, occurrant. Quibus positis, erit, ob ang. OCO infinite parvum, CD -Cδ, ideoque De - δ m. Hi ne dif- serentiale ipsius u D - ου. Fu . MD) - Fm Φ md FH - Μ D Μ Φ δὲ - e Μ. Sed in triangulis fim v, em Μ, quae per legem reflexionis angulos ad M aequales habent, est Μ α Μe: quare r. V D-δα Iam, quia, propter ana. DFd OCo infinite parvum, recta δd pro arcu circuli haberi potest, erit δ d ααα Fd X ann D F d - Fa Xang. OCo. Atqui OCo- Gm - FO um elemento ang. F O Μ- -; ae F - ω- z. Ergo δ d d.
U. Iam, si pro et assumamus talem surictionem parem variabilis s, quae elementum et aes integrabile reddat, in aequationibus Ab & B substitutis pro tr. Σ, & t, eorum Valo ribus dgebraicis per sexpressis, semper obtinebimus aequa tionem algebraicam inter coordinatas x. I, curvae quaesitae, eliminando ν ex illis primis aequationibus. Sin autem zds non fiat integrabile, vel si ipsa quantitas et transcendens accipiatur sDiqitiros by Go l
248쪽
MENSIS APRILIS A. MDCCXLVIII. a 29piatur, cumae transcendentes, quae Problemati faciant fatis, construentur concessis quadraturis. Nam ex aequatione B sit valor ordinatae
qui per quadraturas poterit construi, substituto in locum Eejus valore per 3 expretis, quod pro arbitrio accipitur. Inventa autem I habetur ex aequatione A syx z - ss Evidens quoque est, infinite multas eurvas ex his sormulis inveniri posse, cum constans b prorsus sit arbitraria, & prox innumerae functiones ipsius 3 accipi possint. V l. Ut autem curvarum algebraicarum, Problema solventium, facilior reddatur inventio, quae hoc dissicultatis habet, quod non statim appareat, quales functiones pro zaD sumere liceat, salva integrabilitate elementi Σὰs: pro fetius: ascribamus S, intelligentes per S aliquam variabilis 3 vel σὶ functionem, cujus conditiones ex g. III petendae sunt. Nimirum, cum ipsius z Valor nullo respectu mutari debeat, pros & r in eodem scriptis - s & σ; aes autem abeat in aes, abeunte s in - s: Patet, quantitatem fetds: a valorem nancisci prioris sui valoris negativum, ubi s& σ abeunt in-s &- τ; ideoque ipsam S debere imparem esse functionem quantitatum s& o , hoc est, talem, quT, ubi 3 dc tr abeant in s & - τ, valorem nanciscatur prioris sui valotis negativum. Atqui posito D d s: a fit et a d S: aes. Quibus valoribus lubstitutis in aequationibus β. Praecedentis, relatio inter coordinatas x, Ee I rectangulares omnis curvae, Problemati satisfacientis, hisce exprimetur formulis:
249쪽
gebraicis variabilis s, vel Ciaa - ss , poterunt eX his formulis derivati aequationes ad omnes curvas algebraicas, ra dios lucis lege Problematis reflectentes. Sin S cuilibet imis pari iunctioni transcendenti variabilis ι, pro arbitrio assumtae, ponatur aequalis, eaedem formulae Problema solvent per innumeras Curvas transcendentes, quarum constructio, concessis quadraturis, in promtu erit. Q E. I. VIL Si ponatur S' - s, vel S- aa -- x , vel
dabunt aequationes ad Ellipses conicas, lacum alterum hahentes in puncto F. VIII. Simili modo aequationes ad alias curvas algebrai- eas altioris gradus elici possent. Sed, cum haec res nimium operae sibi poscere videretur; animum ad earum curvarum Causticas investigandas converti, quippe ex quibus datis ipsie illae curvae possimi describi. Tentavi itaque, num relatio inter coordinatas rectangulas Causticarum hujus Prol,lematis in similibus formulis generalibus, sed simplicioribus, exprimi possent, ει rem vidi succedere. Analysin autem pro hisce Causticis ita institui. Constat, puncta Causticae catoptricae esse intersectiones binorum radiorum reflexorum, sibi invicem proximorum. Ergo C etit punctum Causticae. Sit ex CinFO perpendicularis CS ordinata Causti q, abscissa FS-r: erit itaque in triangulo rectangulo CSO, q-- CO,
de OS-- CO, ideoque r-Σ - - CO. Est autem in triania
250쪽
tem est elementum rectae FD - - et , quod in casu Schmmatis negative accipiendum est, cum, crescente angulo FOMdecrescat recta FD, ideoque δ D exprimendum est per
IX. Quas formulas consideranti non potest hoe obse rum esse, eas semper suppeditare curvas algebraicas, s S a quetur functioni algebraicae literae s , nec non, sub certis ta- tamen conditionibus, si pro S ponatur lanctio transte dens: nam, si modo terminus simpliciter ritanscendens, qui in valore literae S occurrere potest, non si per variabilem
s multiplicatus, vel divisus, e. g. posito S- Φ a curva nascetur algebraica; cum sic ES: aes quantitas algebraica futura si, & ergo etiam is ae S: aes ' ; ponitur enim is sconstans. Praeterea & hoc dignum est, quod observet9r, ope earundem formularum I. VIII) curvas algebraicas permultas, quae rectificabiles fiat, inveniri posse, si pro S in illis ponatur quaelibet functio impar algebraica literae s , vel qua ritatis aa -- sa): Constat enim, omnis curvae algehrangae causticam esse rectificabilem; & curvas, quarum causticae per