Acta eruditorum. lat. Lipsiae, Christ. Günther 16821779

251쪽

ΤAB. Fig.

I 3I NOVA AC PA ERUDITORUM

per has formulas determinentur, esse algebraicas, quotiescunisque S sit ipsius s functio algebraica impar, ex superioribus

Patet.

X. Ponatur e. g. S- csa Φ es )' : & prodibune Causticae algebraicae rectificabiles, per quoscunque numeros impares politivos explicentur literae k, m, n. Inter has simplieissimam habebimus, Posito S sΦ Quae hypothesis dat q -- a a s s 3: β, dc r a.

L' . Ex his eoordinatarum valoribus haec fluunt huius cura avae attributa. x Curvam linea absci starum HS in duas par tes secat aequales & similes, & circum eam, tanquam axem, similiter positas. a 3 Curva ab axe tuo tangitur, & punctum contactus cuspis est, quae ab origine abicissarum distat inter vallo 4 a. 3 Praeter hanc cuspidem in vertice, duas adhue habet, ad utramque partem mis unam, cui respondet a seissa ν Σα& ordinata q In utraque harum cuspidum tangens curvam recta occurrit axi sub' an gulo recti aequali. 4 Unum adhuc verticem habet haec curva, in quo tangens axi normalis est; & ad hunc verticem est ν- a. Quibus omnibus si hoc iungas, cuius non multo dissicilior est demonstratio, curvam hanc neque plures vertices, neque plures cuspides , neque Plura puncta, quorum tangentes cum alterutra COOrdinatarum coincidant, neque crura infinita, neque Puncta flexus contrarii, habere V posse: intelliges, hanc curvam ea esse figura, quam Schema, a exhibet. Tria eius crura, αγ, γδ, δα, singula rectae Foeaequalia deprehenduntur: ut itaque appellari posset triangulum curvilineum aequilaterum, lateribus intus convexis. Si e valoribus mordinatarum q, r, eiiciatur L Obtinebitur haec/ arquatio Disitirso by Coosla

252쪽

MENSIS APRILIS A. MDCCXLVIII. a 33

va prodibit, quam modo descripsimus. Lillea autem abstiGsarum nunc erit recta fg, & Origo in punctos, cujus positionem habebimus, facta parte axis ci a a, &gfin f α perpendiculari a. Iam, si puncto lucido posto in F, per evolutionem, Vel involutionem, crurum curvae αγδ, aliove modo vid. Hos totii Anab se ses infiniment petits Art. My, rase, describatur aliqua curva, quae curvam αγ' procaustica habeat: curva nascetur algebraica, Problemati satisfactura. Alias curvas algebraicas eodem modo obtinebimus, puncto lucido in f collocato. Quin imo, puncto racliante alibi alibique assumto, ex hac una caustica αγδ innumeras curvas algebraicas describere licebit, radios lege Problematis reflexuras. Si generatim sit S es Φ es aa-iss) st: maliae atque aliae Causticae rectificabiles hujus Problematis determinari poterunt, aliis aliisque numeris positivis impati-hus pro n & k, Paribus autem pro m, substitutis. XII. Tribuamus nunc literae S hunc valorem - -s Φ

253쪽

α34 NOVA ACTA ERUDITORUM

tates positivae, vel negativae, vel nihilo aequales, valde ge- S c e f

, ε &e. His in formulis L VIII substitutis, erit γ -

8 ιι ηι l &c. . Iam de omnibus curvis, quarum coordinatis hae sermulae aecommodari possunt, demonstrari potest, eas habere axem, circum quem duae partes perimetri, similes & aequales, sint similiter positae; duo minimum habere Vertices, quorum alter a recta ordinatis parallela tangatur, & plures vertices in aliqua harum cui varum esse polle, si quaedam ex coemcientibus e fg, deci sint quantitates negativae, quaedam positivae; tres item ad minimum cuspides in hujus generis curva deprehendi quarum una ab ipso axe tangatur, pluribusque cuspidibus eam instructam esse posse, ut s , T, 9, dic. numero semnerimpari; denique nulla crura infinita in eiusmodi curva reperiri, & punetis flexus contrarii eam aut omnino carere, aut.. si quod habeat, id in aliquo vertice esse. Ex hac curvaiarum familia unaquaeque, si tres tantum cuspides habeat in. numeras dabit curvas algebraicas, quales Problema poscit neque huic rei minus idoneae erunt reliquae huius reneri causticae, Pluribus quam tribus cuspidibus praeditae, iii si enmstus earum cuspidum talis forte fuerit, ut curvae, ex his causticis genuae, in Plure gyros VolVantur. Tales enim curvas,

254쪽

MENSIS APRILIS A. MDCCXLVIII. ' a 3 s

quae, duobus pluribusve gyris absolutis, in se redeant, Problema, in proprio sensu acceptum, non videtur admi tere. Curva tricuspidata Paragraphi VIII est species, sub genere causticarum, in hac g. descriptarum, contenta. Dahimus nunc quoque exemplum curvae, quinque habentis cuspides, quae in numero causticarum Problematis censenda

est.. Posito videlicet S - - s s3 a 6 a 3 pro Caustica curvam, cuius figura Schemate III oculis sub-

iicitur. Ad hanc cur am est Ordinata ρ - - U Fig

h 9 ς, origine abscissarum in puncto axis f

existente. Tres haec curva vertices habet, b, g, b, ad quos pertinent abscissae 13 - r, ioco c, fg e, jo o, 87s e. Ornata est quinque cuspidibus, quarum prima est in vertice θ, ubi axis curvam tangit, secunda & tertia a, pro abscissa communi habent ο, 976a c, & pro Ordinata haoas e, ad quartam e quintamque dest abscissa - i, ao 39c Ordinata o, O83s c. In vertice g tangens est axi os normalis, & vertex b est intersectio crurum ad, ee. Quodsi singula crura hujus causticae filo, cujus alterum extremum in puncto lucido, ubicunque extra eam collocato, fiXum sit, successive evolvantur & involvantur, infinite multae Curvae algebraicae ovales poterunt describi, quae radios lucis. EX assumto puncto radiante egressos, lege Problematis reflectant. Ceterum hanc Causticam inter lineas sexti ordinis deprehendimus.

XIII. Assumtis pro S eiusmodi lanctionibus literae s , constent ex fractionibus, in quarum denominatores ii Gg a india-

255쪽

α 36 'NOVA ACTA ERUDITORUM

eae & rectificabiles determinabuntur; sed curvae, ex his descriptae, proprie dici non poterunt Problemati satisfacere. Quemadmodum enim hae Causticae crura infinita habebunt: ita & curvae reflectentes in infinitum extensae erunt& alterum binorum punctorum reflexionis ab altero infinito distabit intervallo. Attamen, s liceat sensum Problematis eo uiaque ampliare, ut punctum rauians ipium in distantia infinita postum intelligatur: curvas quoque istas inter causticas huius Problematis referre lieebit.

Fig. 4 XIV. Verum, quoniam hic casus Problematis, seorsim ut consideretur, dignus est, solutionem eius, eadem, qua antea usi sumus, methodo concinnatam, hic exhibebimus. Sit M AΝ curva, radios lucis, datae positione rectae B A parallelos, sic excipiens, ut ab ea bis in M & Ν reflexi reve tantur, eidem rectae A B paralleli. Quaeritur natura huius curvae. Accipiatur in recta BA punctum B pro origine abstissarum B P, ΓΠ, & snt ad rectam A B sub angulis rectis ordinatae M P, A II. Radius reflexus Μ Ν occurrat lineae abscissarum in O puncto. Sit ΜP γ, BP x. Jam, ut inveniam relationem inter x dc γ, duas variabiles spluribus enim nunc opus non est) assismo o rectam puta BO, & ang. FΜΝ, quarum illam, BO, ad utrumque correlatorum cur vae punctorum Μ, Ν, aequaliter se habere, patet. Sit B O-z, cosnus P ΜΝ s, sinusque F M N τ pro sinu toto a. Et primo quidem, cum per hyp. FΜο MOB - a rectis, erit OP ad P Μ ut eos nus anguli F MN ad sinum, &hinc habebimus aequationem: A) -z-α

Deinde aequationem inter et, F, & s, inveniemus disserentiando aequationem A , quo facto erit - Ο Φ --

256쪽

MENSIS APRILIS A. MDCCXLVIII. a 374e ex m in M F ductum perpendiculum πν , radiusque in-eidens se reflecti ponatur iuxta rectam mn, quae rectasMΝ, BA, iecet in C & o, praeterea per Uducta sit curvae notmalis MD. Quibus Positis, patet, Μ , mi Oo, esse elementa variabilium x, γ, et, & in casu Schematis nostri elementum Μh respectu reliquorum negativum este, cum, crescentibus M P & BO, decrescat BP. Porro, cum per legem

i, habebimus - - να: Σ, & ductis omnibus in a

Denique, ut exprimatur relatio intur z & s, considerandum est, cum recta et au utrumque punctum reflexionis M S Niam magnituUinem, quam politionem, eandem servat, angulo FMO succedere, in altero reflexionis puncto At, angulum

FNO, qui cum ob parallelas FΜ. FΝ,) illius FMO com-Plementum si ad duos rectos. atque illius respectu in contrariam cadat plagam, pro snu habebit - σ, & pro colinu s. Patet itaque, sicut in praecedenti catu, pio et assumi posse quamlibet functionem parem variaitalis s, vel er; & infinite multas curvas construi polle, Problemati 1atisfacturas, si vixquationis B capiatur ubique :

257쪽

α38 NOVA ACTA ERUDITORUM

Quibus formulis si utamur, liberum nobis erit, quamcunque functionem algebraicam quantitatis 3, vel si aa - ss , si modo 'ea impar st, accipere Pro S, & curvae inde derivatae semper algebraicae erunt, satisque facient quaestioni; id quod iisdem ratiociniis, quae supra g. VI adhibuimus, eolligulisdem formulis transcendentes etiam curvae includun

tur.

tur, quas, pro S assumta qualibet ipsus s, vel f a a- ιι iunctione impari transtendente, licebit inde eruere.

XV. Ponamus S αν, ae erit, ex quibus fie m. b-a b Φa ac aequatio ad par holam Apollonianam, cuius focus a vertice distat recta α- ζον-a , origo autem abscissarum B a soco O intervallo et s. XVI. Sin autem ponatur Sπαι vel α - , & -

258쪽

MENfIS APRILIS A. MDCCXLVIII. as

bus aequationibus eliminato s, prodit aequatio ad lineam qua ii ordinis γ' - a- - 4ax at o D Φ x' a 3 aa 3 x a 'mo, quam aequationem simpliciorem reddere possumus, prox scribendo vis, ex quo existit γ' -- 2νυ- 18συΦa 7 aa a Fυμ-aaυγα-o. Haec curva quatuor habet crura infinita

parabolica, quae e duobus axis punctis A, G, ab origine B a, , scissarum x utrinque intervallo aequali a distantibus, exeunti& ad utrasque axis partes ita producuntur, ut singula bina, ex eodem puncto egressa, sbi mutuo aequalia & similia, &cireum axem AP similiter sint posta. Et duo quidem crura ex A educta versus se mutuo & axem versus semper concava sunt; reliqua autem duo, ex puncto G, origine abscisi rum vexorta, sibi invicem & axi convexitatem ubique obvertunt, ita ut in communi origine G culpidem forment, cujus tangens cum axe coincidit. In altero autem vertice A tangens est ad axem perpendicularis. Duo tantum illorum crurum GM,AM, in Schemate delineavimus, quippe quae conjuncta, sine duobus reliquis,Problemati satisfaciunt. Singuli enim radii FMaxi GAparalleli,quos crus curvae GM excipit,reflexi incidunt in crusAN,quod eos versus Fari iterum parallelos reflectit. Et haec curva post parabolam conicam simplicissima esse videtur inter eas rvas algebraicas, quae radios parallelos similiter reflectant. TAB. UXVII. Causticarum, ad has curvas pertinentium, naturam Fig. 4- eodem modo, quo causticarum praecedentis casus, determinare licet. Quoniam MN, mn, sunt radii reflexi, sbi mutuo proximi, C intersectio eorum erit punctum Cainicae. Sit CS in AB normalis m,& abscissa B r. Ex B sint in m mn, pe pendiculares rectar B Be, & sit e intersectio rectarum BE, Cm.

a, ct hinc BG-- . Similiter invenitur Ol -- . Pom

o rectos; Ee autem sit elementum rectae BE, quod in casu Figurae negative est sumendum, si ad elementum ang.

259쪽

comparatur, quippe quo angulo crescente BE, evadens in - - Σdτ ε σ det . Be, decrescit, ut itaque sit ει ---- erit

. Si autem causticae algebraicae rectificabiles desiderentur, ut eae facilius inveniantur, denotante S idem, quod antea, in his

valoribus ipsarum r& q pro et & G icribamus - ει . quo facto , relatio inter coordinatas orthogonias omnis Cau. sticae hujus casus sic exprimitur:

a cubicam secundam. Ergo, si vertice G parametro i -BG cir- .ca rectam A G ultra G productam, tanquam axem, describamus parabolam cubicam secundam: habebimus Causticam radiorum parallelorum pro curva NAGM. Suffciet autem, crus unicum huius parabolae descripsisse, quod cadet ultra crus G Μ curvae reflectentis ad partes, quibus concavitas arcus G M obversi est.

260쪽

N. VI.

Calendis Mai Anno MDCCXLVIILBIBLIOTHECA SCRIPTORUM MEDIOLANE

Iium, seu acta elogia virorum omnigena eruditione

illustrium, qui in metropoli Insubriae, oppidisque time uacentibus, reti sunt, Autore PHILIPPO ARGnLATO Bononiens. Praemittitur Clarissimi Viri, IOSEPHI ANTONII SAXII, Collegit S. S. Ambrosi Caroli Oblari, nec non Bibliothecae A bro me praefecti, insoria literari opographisa Mediolanensi ab amo MCDLXV ad annuin MD, nunc

primum ella.

Mediolani, in aedibus palatinis, Iros, AL T. I Alph. 8 plag. 3 7, T. II Alph. 9 Plag. 2O. Cum incredibilis sere scriptorum omnis generis hodie

exstet numerus, atque non ultimam eruditionis partem constituat, praecipuos in omni literarum genere libros nosse; egregiam prosecto operam navase dicendi iunt,qui, notitiam omnis generis Autorum suppeditantes, faciliorem hoc pacto ad omnis generis doctrinam aditum reddere laborarunt. Fecit hoc iam olim inter Graecos otius, interque Latinos Hismumus, qui Ece iasticorum Scriptorum Catalogum, Romanis Clericis consulturus, composuit. Neque inter recentiores

defuerunt, qui eundem laborem felici conatu in se susciperent. H h Celebra-