장음표시 사용
101쪽
8 Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. et erit accurate
Unde per hanc propositionem esti Arse
102쪽
Linea tertii ordinis NEWTONIANIE. D
Ut habeantur fluxiones ipsius ν, pro F inaequatione substitue νx', et orietur aequatio nova relationem inter x et v defintcns , ex qua invenies fluxiones illas. Exemplum primum.
Et ideo fluit x uniformiter, unde per methodum fluxionum directam est
103쪽
Capiendo fluxiones erit 3 γ' γ α γ' e F - - a x x γ - - γ ,
quoniam supponitur x evanescere ; pror P ς si
ejus Vesorem cum ae est O , et erit I
104쪽
qa 64 ay sia a Exemplum tertium. Elevandum sit binomium ais ad potestatem indeterminatam cujus index est n. Pone F a -- x '; unde cum est x- o evadit F- a', et in E in serie generali est A - a'. Forma seriei haec est A B x--Cx' -D xΤ- dcc. irgo r - x r. Capiendo fluxiones erit
105쪽
In serie generali hosce valores substitue ae pro A et unitatem pro r atque prodibit
I a 3 Hoc modo patet quanta facilitate demonstratur Theorema D. Newtoni.
existente radio A E- I. Propter similia tria
106쪽
Lisere tertii ominis NE IMPONIAN- .83 quaeruntur fluxiones ipsius Fluat x uniforis miter et sit x - I , atque aequatio evadet
In serie generali pro hisce fluxionibus hosce valores substitue, unitatem pro η et unitatem pro r, atque Pro niet
Et eodem modo invenire licet sinum AB ex dato ejus arcu E C.
Ex hoc exemplo constat verationem admodum alleviari sus nendo x et non x fuere uniχrmiter. Idem alibi notandum est, nam r quaecumque sit sorma soriet) ad libitum fere sumi potest. Ut si forma seriei quaesitae esset a 2 2 IAx'--Bx - Iaxy--Ex -- &c. ubi differentia exponemium eSt 2, non opus .est ut sit x - 2, sed potest esse quHibet numerorum sequentium 2, I, i, 4, Ia Methodus haec reducendi radices aequati
107쪽
8 Lineae tertii ordinis NEWTONIA . est methodo assumendi seriem coefficientibus inde terminaris affectam; at plerumque miniis operosa, praesertim si desiderentur Seriei te mini tantum pauci initiales : hi suffciunt ad inveniendas rangentes , radios curVaturae , Asymptotos et similia. De AEquationum resolutione in numeris. . Haec . de sequationum reductione litterati dicta sussiciant; de numerali itaque adjicere pauca licet. Omnis aequationum reductio, uti supta diximus, ex hoc pendet, ut primo aSSumatur quantitas radici quaesitae aequalis proxime , et postea ut valor ille assumptus corrigatur. Exempli gratia, sit aequatio cubica 3 - 2Iγ- I6- , cujus radix quaeritur; et tentando, vel per constructionem geometricam inVenio esse snumerum prope verum, itaque pro F substituo P - y , et provenit aequatio nova Py- Iyp'--S4 --Α - o i jam quoniam cst ν proximε aequalis I , erit ρ quantitas admodum parva et per conSequens ejus potestates altiores crunt ipso multo minores; neglectis igitur terminis minoribus pL Is ρ' erit stre
P - F q, proxime. Si quaeritur radix magis accurata, prost Ponendum est 2 -o,o7 ,
108쪽
Lineae remi oessinu NEM TONIANAE. Syatque operationem perficiendo invenies plures figuras radici jam inventae adnectendas. Haec methodus ea est quam invenit et in Analysi sua tradidit D. Newmnus. Sunt et aliae
methodi idem perficiendi qualis est eaIRaphsonet Cl. Hallei, sed ex ca jam tradita omnes
pendent et facile fluunt. 2Hoc modo reducuntur aequationes omneSVulgares, in quibus scilicet existit unica tantiunquantitas ignota : verum etiam aequationes
hujusmodi r - 7F-o simili modo
possunt reduci. Sed in aequationes istius modi, quarum usus nondum pene innotuit, tempus impendere jam non vacat. aEquationes flu- aionalcs, quoniam 'in iis semper reperiuntur plures quantitates incognitae ut pote)radix ex trahenda cum fluxionibus suis, dicto modo sunt irreducibiles. Ut ergo earum radices in numeris haberi possunt, ad series confugiendum lest. Ex seriebus enim, quotiescunque sat Ce Ieriter convergunt, expedite inveniuntur radices ,
aequationum. Si quando non convergunt tantum opus est monente ipso Newm suis: finem Anabseos) ut x, scilicet quantitas ex. cujus potestatibus conficitur series, aliquoties adhuc minor supponatur; adeoque radix non unica sed pluribus scriebus habenda est. Quomodo vero hoc fit, statim erit manifestum.
109쪽
taneae remi ordinis NEWTONIANIE.
Ordinata B Et quaeratur 1 vel B C in
numeris quando Abscissa evadit A B. Red eatur ordinata in seriem, et si series illa sat cito convcrgat, dabitur BC: at si non con vergat , eousque minui intelligatur κ ut tandem celeriter convergat se ties; in illa magnitudine i sit x- A E series dabit in numeris . Ordinatam E F. Iam sumo novam Ahscissam E B-r, ct quaero relationem interr et It, ex qua invenietur valor ipsius y in Schie ex potestatias ipmus t cohiecti. Si series illa salacito convergat, quum est nohibemus quaesitum; at si non conVergat,
eodem modo minui jam intelligatur et quo
pridiae ae 'ut Πvergat Series; sit in illo casu et ume EG, et dabitur ordinata G H. Rursus sit Ahscissa tertia G B- ν, et quaeratur relatio inter v et 3, qua inventa reducatur I in seriem ex digni atibus ipsius ν confectam quae agi non adhuc celeriter convergit, minuatur ν et sit ea est G L, quae G Κ sit tam parva. ut series ad libitum convergat, et da tatur ordinata Κ L. Sumo quarto Abscissam AB rim v, et quaero relationem inter ia ely, ex qua invenio valorem Ordinatae 3 in serie , quae si eito convergat habemus ipsam B C quam quaerimus: At si nou convergit, eodem.
110쪽
Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. 87
modo continuε procedere linet quo prius ratque 'ex tali processu Abscissa ultim, L Blandem evadet minor das qua is quantitate sideoque series ultima ad libi tum converget. Hic notandum est quod est A D primus terminus seriei, quando A E est Abscissa et
E F ordinata ; E F primus terminus quando E G est Abscissa et G H ordinata ;G H est primus terminus quando G L est Abscissa et L L ordinata; L L est primus
terminus seriei quando Κ B est Abscissa, et B C ordinata. Ideoque priusquam haberi potest ordinata quaevis r subsequens, necessario habendae sunt omnes antecedentes, et ergo antequam ordinata B, C inveniri possit, invehiendae sunt omnes aliae. Adjiciendum jam esset exemplum unum aut alterum, Sed methodum hanc per se satis patentem ducens, taedium calculi evitare institui. 'Sthnecterem jam quintam de proaeparatisis aequatiotium, nam aliquae aequationes praepa/ratione indigent antequam earnm radicos erui possunt. In ' aequationibus Liliρaς rationales designantibus nullam novi dissicultatem, ex hactenus dictis facise non tollendam: non tem in te i1 ionibus 'flustiones involvetitibus. Hae aliquando praeparantur mutando ordinatam , alias' Abscissam atrorando utramque: