Isaaci Newtoni Enumeratio linearum tertii ordinis; sequitur iIllustratio ejusdem tractatus auctore Jacobo Stirling

121쪽

s8 Lianere tertii ordinis NEWTONIANA. aequationis x--2m xae ciindicat abscissam esse Asymptoton habentem duo crura ad diversas ejus partes jacentia et in plagas oppositas extensa.

radix aequationis ax γ - xy - o, indicat curvam illam habere duo crura ad easdem ejusdem Asymptoti rectae partes jacentia et in plagas oppositaS Protensa. . Series illae duae x -- J a - &c. 2 Α πet 2x --α --&c. quae in Ex. q. Prop. a. 7 x prodiere pro radicibus aequationis

indicant illam aequationem designare curvam habentem duas AsymptotoS rectas, quarum quaelibet habet duo crura ad diversas ejus partes jacentia et in plagas oppositas Protensa.

. a x et x Ptolos in unam coisse; et illam habere duo crura ad diversas ejus partes jacentia ct in plagas castam infinite progredientia. Adeoque

122쪽

LEnea tertii ordinis 'sordinata: Asymptoti illi paralleloe spes Coroll. 4.

Prop. 4.) erunt unius tantlim dimensionis. Η het vero curva aliam Asympoton quae ex alia serie dabitur. Scholion.

Methodus inveniendi Asymptotos in hac

Propositione exposita est maxime generalis ;sunt et aliae methodi quamplures particulares inveniendi Asymptotos rectas, quas tamen omnes comprehendit ea jam tradita: considerari potest Asymptotos recta ut tangens ad punctum curvae infinia distans, et hoc modo redacitur Asymptoton doctrina ad doctrinam tangentium, vel conssiderari possunt Asymptoti tanquam extremae crurum partes in directum productae. Sed omnes hae methodi praesupponunt, aliquo saltem modo, Segi tum doctrinam.

Vide M. 4. Invenienda sit Asymptotos Curvae A L Η, quam designat aequatio

signant rectas quas in quinta Propositione designabant. Capiatur aequationis fluxio, et erit 3 γ' γ a κγ - 3 α -- φ, urule

123쪽

Ioo Lineae tertii ordinis NEWTONNANAE. infinith magna, et erit D E: E H:t ue x' - axes of - a x, et Sumendo rationem ultimam

DE: E H: : 3 x' : 3 x', id est, in ration aequalitatis. Datur igitur Asymptotos D Η positione. Restat jam ut inveniatur in Abscissa punctum D per quod transit Asymptotos. Quoniam mox ostensum est esse DB: EΗ vel D E: F :: 3 γ' - ax: 3 M-Fay erit ΓΕ - ς π y 3 x' - a x 3 x'-a x γ 3x' axob γ aequalem x. Subducatur jam recta illa DE ex abscissa x et restabit A D

- 2 a γ' v u . 3 x' - a x 3 'quoniam est x infinite magna. Et inde datur Asymptotos D H. Hic notandum est, quod in hoc calculo praesupponitur serierum doctrina : proptere, quod oportet invenirerquando x cst infinite magna : hoc vero absque serie universaliter obtineri nequit. Aliquando non licet invenire Asymptotos reducendo Ordinatam in seriem. Ut si esset aequatio ad lineam quarti Ordinis.

124쪽

Lineae tertii ordinis NEWTONIANA . IGI

ubi est Abscissa A B-x, Ordinata B C-y. Reducatur 3 in seriem Ex illa serie invenietur unica tantum ASymptotos F E ; reliquae enim Asymptoti, ordinatae parallelae ex illa non prodeunt: prodibunt

tamen reducendo valorem Abscissae in seriem ex dignitatibus ordinatae descendentibus con-- sectam; sed facilius hoc modo. Patet enim ordinatam evadere infinite magnam, adeoque Curvae Asymptoton, quotiescumque quantitaSfxΤ --gx'-hx-- evadit nihil: et hoc ter accidere potest, propter aequationis cubicae fαγ--gx --h x-k - o, tres radices. Nanisi aequationis illius radices omnes sint reales

et inaequales, eae sunto AG, AD, ΑΗ, M. F. et tres ordinatae per puncta G, DH transeuntes erunt totidem Asymptoti. Quare in illo casu curva habet omnino quatuor Asymptotos et octo crura adjacentia; uti in 'schemate videre est. Αt. si aequationis illius duae radices aequales sint, duae Asymptoti coiabunt i atque evanescent crura quae prius inter eas contenta erant. Et curva habebit duas tantum Asymptotos cum sex cruribus. Si aequationis supradictae radices omnes sint aequa- 'les, aut earum duae imaginariae, vel coibunt

125쪽

Ini Lineae tertii ordinis NEWTONIANIE. tres-Asra toti Ves duae evanescent, at in utroque casu figura habebit duas Asymptotos sese Secantes λ ih quarum angulis oppositis jacent hyperbolae oppositae ad instar hype bula: εο ic L, In SI MPmt- r t rum inventione, non semper nccesse habemus ad Series recurrer . Nam astumi potest aequatio universalis desimam omnes curvas generis alicujus, et inde .sericrum ope construi potest Canon generam lis qui sufficiat ad inventionem Asymptoton linearum omnium illius ordinis. Ut si esset, sequatio , i

Et deter 'hi d0 ςocificientes , uti jam o tensum invenietur esse a xadix aequati Ο-nis B a C- o, unde dabitur a ,

eritque .

126쪽

3 Aa --χBa--CQuibus expressionibus semel inVentis, imvenire licet Asymptotos rectas harum' cur- . Variam absque recursione ad series. Et notandum est quod a semper dat inclinationem 'Asymptoti ad abscissam, δε dat distantiam inter principium -Abscissae et punctum in quo Asymptotos eandem seeat', c denique temdit ad quas Asymptoton pari es jacent earum crura. Hyc 'omnia ex propositione et ejus

eorollariis admodiim manifesta sunt.

Asymptoton aliqWVn-ώlacentium. 5 L . Cas. I. Sit primo curva Pelijus Asymptoto recta A D per initium Abstissae transiὲns M. 6 ) , Abscissa A B - x, et ipsUAD 1,aurallela sit ordinata B C-, Reducatur di iii

eo citius convergesatem quo' minor est x. Et n index ipsius x semper, erit' amrmativus :proptere, quod quum est'x infinite parva, ordinata F coincidit cum Asymptoto, ct per

127쪽

Io4 Linere tertii ordinis NEWTONIA E. consequens est infinith magna. Iam sit x infinite pama, et evadet-- accurate, qui

valor est infinith magnus et assirmativus; quare curva habet crus unum ad easdem Asymptoti

A D partes jacens cum ordinata B in

easdem cum. ordinata partes extensum. Mutari jam concipe signum ipsius x, et eam etiannum manere infinite parvam; atque si n sit numerus integer Vel fractus cum denominatore

impare , figura habebit aliud crus ad alias Asymptoti partes jacens, et in easdem cum priori plagas extensum, Si n est numerus par, at in oppositas si sit n impar vel fractus cum denominatore impare. Si vero sit n fractio cum denominatore pare, signum ipSius x m tari nequit, at Asymptotos habebit duo crura ad easdem ejus partes jacentia et in plagas

oppositas serpentia. ἡ GS. 2. Si Asymptotos sit curva , numerus crurum dignoscitur ex numero Valorum o dinatae coeuntium , cum Abscissa est infinite magna. Si alii sint serietum casus, alii itidem erunt crurum casus, at eorum plagae et numerus semper innotescent. Q. E. I.

Coroll. I. Si n sit numerus integer et par. Asymptotos habet duo crura ad diversas ejus

128쪽

Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. Iospartes jacentia et in plagas easdem progredientia. Coroll. 2. Si n sit integer et impar, Vel fractus cum impare denominatore, Asympi tos habet duo crura ad diversas ejus partes jacentia et in plagas oppositas protenSa. Coroll. 3. Si n sit fractus cum denominatore pare , Asymptotos habet duo crura ad easdem ejus partes jacentia et in plagas oppositas Serpentia.

Coroll. q. Hinc etiam comparantur longitudines Asymptoton inter se. Unde constabit quasdam ad se invicem datam habere rationem , alias vero esse aliis infinite majores vel

minores.

Coroll. s. Quamvis omnia crura cum ASymptotis suis tandem coincidere cenSenda sunt ;tamen in distantiis aequalibus utcunque magnis aliqua crura ad Asymptotos suas aliis infinities propinquiora accedunt.

PROP. VIII. THEOR.

Oppositas plagas progredientia prout index dignitatis x in termino altissimo est numerus par vel impar.

129쪽

ios Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. Sensus propositionis est, quod aequationes

ubi indices terminorum altissimorum Sunt numeri impares designant figuras habentes duo tantlim crura infinita ad oppositas plagas protensa; et quod aequationes

ubi terminorum altissimorum indices Sunt numeri pares, designant figuras habentes duo tantum crura infinita ad candem plagam per

Propositio vero sic demonStratur. Concipe abscissam x perpetuo augeri, et simul augebitur Ordinata F; sit x tandem imfinite magna et crit etiam γ infinite m1gna adeoque figura habet crus infinitum Clim Vero ordinata 3 est infinith magna, pendet ejus 'Signum , hoc est, plaga cruris infiniti , ex higno itermini altissimi, quoniam in illo casu is est reliquis infinite major. Evadat jam di negativa, id eSt, Sumatur abscissa ad alteras partes, illa Martes infinitum augeatur ; atque cetia is bitur di in insiditum ; unde cisva habet' crus aliud infinitum. Si index te senim altissimi zit par, ejus signum in utroque casu idem est,

130쪽

Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. IOTsin impar in uno casu crit affirmativus, in altero negativus. Cum igitur plaga crurumpendet ex signo termini altissimi , in primo casu pergent crura ad plagas caSdem, in Secundo ad oppositas. Q. E. D. Pendet itaque tota hujus demonstrationis Vis ex termino altissimo ; adeoque nihil releri quomodo sese habeant termini intermedii.

Eodem res redit, utrum amrmentur vel negentur; utrum sint in aequatione vel non;

nam demonstratio ab illis minime turbabitur. Scholion. Propositionem hanc eo consilio praemisi, ut per eam facilior pateret aditus ad quasdam

aequationum affectiones a nemine quantum scio huc usque satis exPOSitas, at nec SSario

intelligendas ab eo qui sequentem curvarum enumerationem aggreditur. Usus vero propo sitionis exemplis sequentibus statim apparebit in dignoscendis realibus et imaginariis radici hus aequationum, idque vel calculo , vel describendo curvam; sed et dcscribendo curvas :conStruuntur aequationes; satis quidem expedite, modo quis hac methodo procedere assuetus sit. Nam si aequatio sit cubica, sussicit invenire quinque vel sex curvae puncta ; si Bi-

quadratica, sussicit invenire octo vel decem.