장음표시 사용
111쪽
Lisere tertii ordinis NEWTONIANAE. sed sunt aequationes quibus nulla sufficit praeparatio, quantum mihi constare potuit; ego de re dubia tractare non suscipio. Certe illi quicumque hanc materiam aggredietur prodiabunt calculi quorum onus aegre sustinendum
ias' istos recta decussare potest Cumam in totidem purictis, demptis duobus, quot Cur aest dimensionum et nunquam pluribus. Linea quaevis secari potest recta in tot punctis quot ipsa est dimensionum et numquam pluribus, quoniam aequatio tot habere potest radices quot ipsa est dimensionum et non plures. Sit jam v. g. linea tertii ordinis
Asymptoton habens B A C. M. Duc
rectam quamvis FD LE secantem Curvamini tribus punctis D, L, E. In hac recta sit quodlibet F, circa quod tanquam polum gyretur recta DE, per situm Fclle tandem in situm P y perveniens; ubi est Asymptoto parallela : et unum intersectionis punctum abiit in infinitum: ideoque in illa positione
recta occurrit Curvae in duobus tantum punctis r Moveatur recta motu Paralicio donec tandem cum asymptoto B C coeat.
112쪽
Lineae tertii ordinis MAUTONIANAE. 89 et in illo casu punctum P etiam abibit in i finitum : restat igitur unicum punctum A in quo Asymptotos Curvam decussare potest. Et similiter in ullo alio casu ostendetur duo intersectionis puncta abire in infinitum, hoc est, evanescere et nullibi reperiri. ProindE restabit numerus punctorum, in quibus Asymptotos decussare potest Curvam, aequaliS nmmero dimensionum Curvae dempto binario. Q. E. D. Coroll. I. Linea secundi Ordinis, id est. sectio coni ejus Asymptoton non omnino decussat; Linea tertii ordinis ejus Asymptoton dccussare potest in unico tantum puncto ,
Linea quarti ordinis in duobus et nunquam pluribus. Et sic in aliis. Coroz Linea secundi vel tertii ordinis Asymptoton non tanget; Linea quarti vel quinti ordinis ejus Asymptoton tangere poteStin unico puncto. Et sic porro. Liquet hoc Corollarium exinde quod punctum contactus Constatur ex pluribus intersectionum punctis
CorolL 3. Si linea quarti ordinis tangat ejus
Asymptoton , radius Curvaturae in puncto contactus semper erit finitus: nam punctum illud contactus conflabitur ex duobus tantum intersectionum punctis.
113쪽
so Lineae tertii ordinis MN TONIANAE.
Coroll. 4. Si duo crura Asymppoton aliquam adjacentia jaceant ad easdem ejus par S , vel ad contrarias ct simul ad eandem plagam protensa , tria ad minimum intersectionis puncta abeunt in infinitum. Coroli. s. Hinc colligimus maximum numerum Asymptoton parallelarum quas Linea quaevis habere potest, aequalem esse numero ejus dimensionum dempta unitate. Corore 6. Et si curva habeat tot Asymptotos parallelas, dempta unitate quot ipsa est dimensionum, ea earum nussam Secare potest.
Si ordinata Curvae parallela sit Taragenti, ad punctum infinite distans , Ordinata illa thiaequatione Curvam defetiente nou ascendet ad tot dimensioncs quot egi Cuma.
Sit A L ΗΚ criis Curvae infinitum q. Abscissa AC-x, Ordinata C L - γ, ΓΗΚrangens ad N punctum infinite distans, cui parallela sit ordinata B L - ν, eique sit cor respondens Abscissa A B - Dido in aequatione ad Curvam quod ν non ascendet ad tot dimensiones quot est Curva.
Per H duc ordinatam HE, cui parallela L G F, existente quhm minima; sit porro
114쪽
Linea tertii ordinis NEN TONIANAE. 9IG Η Abscissae parallela. Concipiatur punctum L abire in infinitum, adeo ut coeant puncta
eo citius convergentem qilo major est x. Index ipsius x in primo terimino scrici necessario erit unitaS, quoniam ultima tangens Diam ad Abscissam A B supponitur habere inclinationem. Erit 3 - Ax- I - n Bx 'x-- 1 - 2n CA ae -- ct c. Unde est x: F:: I: A- - Ι - n BQ - - Ι - 2n Cx' ' - &c.
vel ob similia triangula DE H, H GL,
quumque per naturam seriei sit n numerus
115쪽
assirmativus , erit a D infinite minor E Η, et etiam infinite minor D Η quae ad E Η datam habet rationem : hoc est et infinitε
minor ν, igitur in aequatione ν non erit tot dimensionum quot est η, adeoque nec totquot est Curva. Q. E. D. Coroll. I. Igitur aequatio x - a designat rectam, ubi ordinata γ nullius est dimensionis.
x a) γ - δ x'c xd omnes secundi ordinis quae pcrgunt in infinitum ,
Coroll. 2. Si existente Abscissa Curvae inmnite magna, ordinata sit adhuc infinite major. ea parallela erit Tangenti cruris parabolici ad distantiam infinitam. Corore 3. Sin ordinata sit infinite magna quum Abscissa non cst infinitε magna, ea paralicia erit Asymptoto cruris hyperbolici. Corore A. Constat methodus determinandi
positionem Tangentium curvarum ad disrau-tiam infinitam, id est, positionem ordinatarum quae in aequatione non ascendent ad tot dimensiones quot est curva, scilicet ex ratione quam ad invicem habent x, F in ultima ea-Tum magnitudine : quae ratio semper invenitur ope serierum conVergentium.
116쪽
Lineae tertii Ordinis NEWTONIANAE. 33Scholion. Poteram hanc propositionem eodem modo demonStrare quo priorem. Nam in aequatione tot semper peribunt Ordinatae dimensiones, quot intersectionis ejus puncta abeunt in infinitum. Et si quando in aliqua curva ord, nata non est tot dimensionum quot est curva, semper concipiendum est puncta quaedam
intersectionis abire in infinitum: imo hoc in ipsis Ovalibus obtinet; nam concipiendum est eas habere puncta duplicia imaginaria ad distantiam infinitam. Finge enim Curvam habere tot Asymptotos quot habet dimensiones, quarum nullae duae sunt intcr se parallelae ratque ordinatae illis aequidistantes tot erunt dimensionum quot est Curva, dempta unitate. Concipe Asymptotos plures motu an gulari latas, donec tandem evadant parallelae , et ordinatae omnibus illis paralleloe perdent tot dimensiones quot sunt Asymptoti aequi- distantes. Quod si forte aequatio Asymptotos duas vel plures determinans evadat impossibilis, evanescent Asymptoti illae cum carum cruribus ; at Ordinarae non crunt plurium ' dimensionum quam antea erant: atque hinc redditur ratio, quomodo in Ovalibus aliisque curvis, ordinatarum nulli tangenti ultimae
117쪽
94 Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. parallelarum evanescunt dimensiones: sequitur vero in illis casibus dimensionum eVanescentium numerum semper esse Parem, quoniam radicum impossibilium numerus est par. Si forte cvenit, quod ordinatae unicae Asymptoto paralleloe perdunt plures dimensiones, et nulla interim comparet aequatio , per cujus radicum impossibilitatem Asymptoti reliquae evanue-iIunt; tum concipe plures Asymptotos in unam coire. In illis casibus Asymptotos semper habet crura plura solito ad eaSdem plagas extensa. Numerus Vero Asymptoton coeuntium quas curva quaevis habere potest, aequalis est numero Asymptoton parallelarum quas habere potest ;priusquam enim coeunt, evadunt parallelae.
Invenire Asymptotos Cumarum. Ex data aequatione ad curvam reducatur ordinata F in seriem hujusmodi F-A x'- B M -- Coc' &c. eo citius convergentem quo major est abscissa x : sume ordinatam noxam 7 aequalem terminis omnibus hujus seriei initialibus, qui augendo x non minuentur: et ordinatarumset disserentia augendo x continue diminuetur,
atque ordinatae ipsae ad aequalitatem magis
118쪽
Linea tertii ordinis NE 'TOMANAE. 9Imagisque tendent : unde Linearum abscissam communem x et ordinatas F, r habentium crura tanua Propius ad se invicem continue accedunt, quanto magis producuntur, et tal dem coincidunt: atque aedeo r est ordinata
Asymptoti, quae dabitur ex aequatione eam definiente. Q. E. I. Coroll. I. Igitur infinita sunt crurum genera qua simplicior est ordinata g, eo simplicius erit crus : quod si sit ζ ordinata rectae, cruSerit hyperbolicum. Coroll. a. Si primus terminus scriei , .qui
augendo x minuitur, sit amrmativus, Asymptotos jacet inter curvaan et abscissam; sin minus curva jacet inter Asymptoton et abs- Cissam. Nam terminus ille seriei evadit aequalis parti ordinatae inter crus et ejus Asymptoton interceptae, ubi est x infinite magna, Coroll. 3. Ordinatae Ovalium reduci mequeunt in serics ad veritatem tanto magis accedentes quanto major est x. Nam si hoc fieri possit,
ordinata Ovalis esset qUantitas realis cUm ab cissa cst infinite magna. Sed orcismata Ovalis est imaginaria cum abscissa. est infinite magna.
Unde liquet methodus dignoscendi ovales . Coroll. q. Simili prorsus ratiocinio colligetuτ, quod si quando ordinata curvae evadere possit infinite magna, non item abscissa, Valor Or-
119쪽
s6 Linere tertii ordinis NEWTONIANAE.dinatae haberi nequit in serie eo citius con- Vergente quo major est abscissa. Coroll. s. Omnis linea imparis cujusque o dinis pergit in infinitum. Etenim linea ordinis imparis designatur aequatione imparium dimensionum , adeoque ad minimum reperietur una series eo citius conVergens quo major est x , propterea quod aequatio imparium dimensi num ad minimum unam habet radicem po sibilem. Et series istius modi sper Coroll. 3. ad Ovales non extenditur, ergo ad curvas quae progrediuntur in infinitum. Coroll. 6. Hinc etiam sequitur, quod ovalium tum abscissae tum ordinatae semper sunt parium dimensionum. Nam si esset alterutra imparium curva per CorolL J.ὶ pergeret in infinitum. Coroll. 7. Linea quaevis tot habere potest Asymptotos quot ipsa est dimensionum et nunquam plures. Nam tot habere potest, quot habet radices sequatio quae dat primum terminum seriei A x -- B x C- &c. id est quot curva est dimensionum, ut constat
Coroll. 8. Si terminorum initialium plures valores coincidant, Asymptoti plures in unam coibunt: et figura habebit crura plura solito ad easdem plagas extensa: ut accidit Conchoidi
120쪽
Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. 97 Veterum, quae habet quatuor crura ad unicam Asymptoton jacentia. Coroz 9. Si numerus dimensionum curvat: Sit par, et numerus Asymptoton impar; veIsi numerus dimensionum sit impar, et numerus Asymptoton par, figura habebit duo crura ad unicam Asymptoton jacentia quae in plagas easdem in infinitum serpunt. Exempla.
I. Series x - - α - &c. quam in 3 3πExemplo I. Prop. a. invenimus pro radice aequationis γ) - a' γ- a xy - x - Ο indicat curvam illam habere Asymptoton aequatione η - x - a designatam, adeoque ejus crura esse hyperbolica. Et quia ri terminus primus 3πseriei qui augendo x minuitur, est amrmativus, Asymptotos jacet sper Coroll. 2. Prop. 6. inter curvam et abscissam. Et quoniam unica tantlim series istiusmodi obtineri potest, figura non habet nisi duo crura ad unicam Asymptoton rectam jacentia.