Isaaci Newtoni Enumeratio linearum tertii ordinis; sequitur iIllustratio ejusdem tractatus auctore Jacobo Stirling

131쪽

Io8 Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. Exemplum primum. Sit F - x' A x-- B aequatio designans curvam habentem duo crura ad easdem plagas Protensa , cujus absciSSa A B-x, ordinata

BC F. A B vel secat curvam in duobus punctis D, fg. 7.) vel in nullis fg. 8. .

Sit jam F o, vel x' - - Ax--Γ- , et aequationis illius radices erunt A D et A E in figura 7 , at in figura 8 sunt imaginariae. Vides igitur quod, in casu primo, exiStente abscissa minore minima radice AD vel majore maxima A E, ordinata coriespondens erit ac firmativa : atque orclinata inter puncta D et ECrecta est negativa. Haec autem omnia Vera

sunt ex hypothesi quod terminus altissimus ac sit assima rivus. Igitur D, E sunt limites in quihus ordinata nec affirmatur neque negatur sed nulla est , hoc est in quibus quantitas A x-- B nec affirmatur neque negatur, sed nihil est. Et ordinatae punctis D, E pr

xime ct ad diversas eorum partes jacentes, Signa contraria semper habebunt. In casu Secundo, quando abscisSa minime secat curVam, ordinatae j omnes ejusdem sunt signi tendentes ad plagam crurum. Supponamus jam esse aliam curvam eandem Abscissam A B habentem : Ordinatam

132쪽

Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. IO9 Veri ' uete realis sit quum ordinata 3 est a firmativa , quaeque imaginaria sit quum I est negativa. Et in casu primo quando aequationis x . Ax--B - o radices sunt reales fg. 7. Ordinatae novae curvae per puncta D et E transeuntes semper tangent curvam et puncta Contactus erunt limites per quos ordinatae motu parallelo latae transeunt ipso temporis momento, quo evadunt possibiles ex impossibilibus , aut e contra. Atque ordinatae inter puncta D, E erectae reales aut imaginariae erunt prout negatur aut assirmatur terminus x ordinatae ad alia quaevis abscissae puncta erectae reales aut imaginariae erunt prout assirmatur aut negatur terminus ille x . In casu secundo ubi abscissa non secat cumvam, ordinatae omnes hujus novae curVae reales quidem erunt quando assirmatur x', sed omnes prorsus imaginariae quando negatur idem

terminus.

Sit F G ordinata maxima fg. 7. inter puncta D, E crecta, at in fg. 68. omnium

minima , et in illo casu crit γ o, Vel 2 x x --,A x o , unde x - - ἡ Λ Λ F: quem Valorem in aequatione pro x subStitue ,

quod Abscissa secat Vel non Secat curvam,

133쪽

' 11 o Linea tertii ordinis NEW'TONIANAE. . prout ordinata illa F G tendit ad contrarias vel easdem plagas cum cruribus; hoc est aequationis o radices Sunt poSSibiles quando assirmatur quantitas - B, et impossibiles quando negatur eadem. Exemplum SecuΠdiam. Sit aequatio F xy-- Axy--Bx--Cdesignans curvam habentem duo crura in plagas

oppositas protensa, cujus Abscissa AB - x, Ordinata B C-3. A B vel secat curvam in tribus punctis fg. 9. vel in unico M. Io. II. . Sit 3 - x Λ x'B xC-o , et hujus aequationis radices erunt AD, A E et A F. Igitur si radices omites sint reales ut in M. 9. existente AbsciSSa minore radice media A E et majore minima AD , vel majore maxima A F, Ordinatae valor respectivus eritam rinativus ; et ordinatae ad alia quaevis puncta

erecta erunt negatiVae. Negativae enim et as firmativae evadunt Ordinatae Semper per Vices.

Iam sit alia curva cujus ordinata possibilis fit, quando γ est assirmativa , impossibilis vero quando negativa; ct Ordinata illa nova subibit vices omnes possibilitatis, quas subit Imutationis Signorum in et --: scilicet tres Ordinatae ad puncta D, E, F erecta tangentCurVam, et Puncta contactus erunt limites in

134쪽

Itaneae tertii ordinis I II quibus γ incipit vel desinit esse. Et si Ordinatae amrmativae tendant ad eandem plagam cum Ordinata B C, intra limites D, E continebitur Cuma partem figurae constituens: jacebit vero altera pars figurae ad casdem partes puncti Fcum B C: et semper progredietur in infinitum ab F versus B, quoniam unicus illi tantum est limes. In casu altero, ubi Abscissa secat curvam in unico puncto M. Io. II. si xy terminus altissimus assirmatur, ordinatae omnes negativae aut assirmativae erunt prout jacent ad partes puncti D easdem vel contrarias iis ad quas jacet A. Et omnia quae de 'primo casu dicta sunt, ad hunc caSummutatis mutandis facile accommodantur. Methodus determinandi radices reales et imaginarias aquationis cubiciae. Pone I - Ο, et erit 3 x'-2Ax- B o cujus aequationis radices in fig. 9'et Ies; sc

licet Λ G, A L , at impossibiles in fig. II . Igitur si aequationis 3 x'-- 2 A x- -B - oradices sint impossibiles, id est, s per Exemp. Il

quantitas , aequationis xy x in I, x - - Cradices sint reales ut in fig. 9. io, aequationis κ= Λ x --B x - C radices omnes sunt

reales ubi Ordinatae G H, L L contraria haἀ

135쪽

IIa Lineae tertii ordinis NEWTONIANIE. bent signa, fg. 9. imaginariae quando eadem habendio.)Pone DD AA-3B, invenies

Et hisce valoribus semel inventis , facilε est invenire quae radices reales sunt, quae non. Exemplum tertium.

aequatio designans lineam habentem duo crura infinita ad easdem plagas protensa. Ponex'-B x Cx --Dx--E o ; hujus aequationis radices quatuor sunt M. I 2.). R A,

radices impossibiles, et in fig. II, 17. Omnes sunt impossibiles. Pone F - o, et erit a x 3 B α' a Cx D o, cujusp aequationis tres radices M. 12, 13, 34, IS Sunt RE, R G, R L : at in fig. I 6, 17 aequati illa unicam tantum habet radicem R E. In Primo casu sfg. I 2. si ordinatarum E F, G Η,

LL, duae sunt negativae, et tertia affirmativa, aequatio x'-Bx)-CM--Dx-E- Ο.habet quatuor radices possibiles. Si ordinatarum duae sint assirmativae et tertia negativa

136쪽

M. I 3.ὶ vel si omn' tres sint negativae D. 14

aequatio non habet nisi duas radices reales: si ordinatae omnes sint assirmalivae g. II. radices omnes erunt impossibiles. In secundo casu, quando aequationis

sit negativa big. I 6. radices duae erunt reales tantum: at si ordinata illa sit amrmativa fg. II. omnes radices erunt imaginariae. Hi sunt casus aequationis Biquadraticae. Unde inveniri potest canon generalis pro dignoscendis radicibus realibus et imaginariis aequationum biquadraticarum, ut in Exemplis primo et secundo fecimus pro arquationibus

quadraticis et .cubicis. Hoc Vero prolixum admodum requirit calculum. Suffciat quod novimus quomodo tractanda est aequatio partiacularis, ubi calculus non erit adeo laboriosus. Eadem methodus ad omnes aequationes extemditur. Si sit nova curva ordinatam habens realem quando hujus est assirmativa et imaginariam quando hujus curvae ordinata est negativa, Vices Omnes possibilitatis et impossibilitatis facillime innotescunt per ea quae diximus inexe lis duobus primis. Ex hisce exemplis satis apparet numerum radicum impossibilium semper esse parem. Itam

137쪽

114 Linea tertii ordinis NEWTONIANAE. Sequitur, quod si sit aequatio

quantitas negatiVa, aequatio illa ad minimum habebit duas radices imaginarias. Continuanda Vero est Series n' n-a n-3ὶ &c. donec nper continuam unitatis subductionem tandem exhauriatur. Et si desit terminus secundus B x ' , et C x' ' huic proximus sit assirmatia Vus, aequatio ad minimum habebit duas radices imaginariaS. Ex propositionibus hactenus traditis invenire licet genus, positionem. plagam et numerum crurum infinitorum : et ex hac propositione ejusque cxemplis invenies quae crura conjunguntur : adeoque invenies formam curvae. Et faciendo rectam gyrare circa punctiam aliquod idoneum, et Secare Parabolas quas in hac pro positione descripsimus , habebuntur omnes casus alicujus aequationis radicum possibiles; hoc est, Omnes formae curvarum quas a quatio generalis designat : et inde enumerantur Linoarum specieS, Si quidem Species curvarum non tam ab ipsarum intima natura, quam 1 forma pendere Volumus. Propositiones quae sequuntur continent consimiles aliquot curvarum rationalium proprietates ab aequationum natura immediate fluentes.

138쪽

Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. II F

Invenire numerum prenctorum qua determinant

lineam alicujus ordinis. Linea quaevis describi potest per tot puncta, quot sunt coefficientes in aequatione generalissima eam definiente et non plura; ut constat ex methodo D. Newtoni universali describendi curvas per data totidem puncta quot eas determinant : cujus specimen dedit in sectionibus conicis ad algebrae suae problemata FA,S7. Et hactenus annotatum est, quod existente n numero dimenSionum curVae, erit Π numerus coefiicientium in aequatione generalissima lineas omnes alicujus ordinis

definiente ; et proinde etiam erit 'in

numerus punctorum determinantium curvam cujus dimenSio eSr n. Itaque recta determinatur ex duobus punctis , sectio coni ex quinque; Linea tertii ordinis ex novem, Linea quarti ex quatuordecim et sic porro. CO E. I. Ex dato numero punctorum d terminantium dabitur dimensio curvae. Six enim m punctorum numerus, et erit

139쪽

116 Linea tertii ordinis NEWTONIANAE. tm -- unde et vicissim invenies

invenies n F. Coroll. a. Ex hac propositione invenies numerum punctorum quae determinant lineam aliquam particularem, si possibile sit; sunt enim quaedam lineae quas nullus punctorum numerus determinat. Exempla. I. Sit γ a x - Λ ' v c x- d aequatio generalissima ad Parabolam conicam : quum igitur quatuor tantum sunt coessicientes, Parabola determinatur ex quatuor punctis. Quatuor puncta non suffciunt ad determinandam

Hyperbolam aut Ellipsin, sed quinque nimia

sunt.

a. Item sectio coni cujus datur diameter, et angulus ordinatarum, determinatur ex triabus punctis, parabola ex duobus; duo non sussiciunt ad determinandam hyperbolam aut Ellipsin, sed tria nimia Sunt. 3. Hyperbola conica, data positione ejus Asymptoto, determinatur ex quatuor puncti S. q. Parabola conica, data positione ejus axe. determinatur ex tribus Punctis.

140쪽

Lineae tertii ordinis III s. Parabolae quinque divergentes Crurum, determinantur ex sex punctis; parabola Cartesii ex quinque ; parabola cubica ex qua

Ducaritur duae rectae paralleliae secantes cumam in tot punctis quot ipsa est dimensionum grecta quae ita secat has parallelas ut summa partium ex uno ejus latere consistentium et ad curvam terminatarum aequetur Summae partium ex asstero ejus latere consistentium ad mam itidem terminatarum, ita etiam Se casti omnes rectas hisce paralgelas.

Sit enim curvae alicujus abscissa AB x, ordinata B C ra aequationis .relationem inter x et F definientis terminus secundus sit a x--δ γ' : sume in recta AB, AF

et ordinatae parallelam 4E-tal; jungeo;

si ea sumatur pro abscissa, dico summam ordinatarum ex una ejus parte aequari Summae ordinatarum ex altera parte Nam sit --&c. -ci , aequatio exprimens relationem inter x, T. Pro

ducatur C B g. 18. secans F E in D et sit abscissa nova E D Ordinata nova