장음표시 사용
81쪽
1 8 Lunere remi ordinis NEWTONIANAE. illa D E motu parallelo, et simul tanget terminos hi sunt te
sunt quarti ordinis et sic in infinitum. Terminos enim ejusdem ordinis recta D E motu parallelo lata simul tanget. Et sicut radix e tracta ex terminis primi ordinis, dat terminum seriei primum, Sic radix extracta ex terminis primi et secundi ordinis, dat terminos duos primos; radix extracta ex terminis primi , secundi et tertii ordinis dat terminos tres primos, et sic in infinitum. Unde si in sequatione desint termini ordinum aliquorum intermediorum , termini serici respectivi habebuntur extrahendo radicem ex terminis aequationis Ordinum superiorum. Desint, Verbi gratia , termini tertii, quarti, quinti et sexti ordinis, et radix extracta cx terminis primi et secundi ordinis , dabit primos sex seriei terminos. Haec observatio operationi aliquando compendium subministret: cxemplis vero in Sequentibus illustrabitur. Coroll. 6. Ex hac propositione invenire licet numerum radicum, quas aequatio fluxiones imvolvens habere potest, et quibus plures habere nequit. Nam termini maximi ejusdem ordinis dant valorcm ipsius o , clim x est infinite ma-
82쪽
Linea tertii ordinis NEWTONIANAE. magna vel infinite parva. Et per Coroll. y. Prop. I. numerus ValΟium ipsius y in omni Λbscissae x magnitudine idem semper est. Ergo aequationis, quae dato , cum x est infinite parva vel infinite magna, numeruS Iadicum , requalis est numero radicum quas aequatio Proposita habere potest, et quibus plures hahere nequit. Adeoque etiam innotescit numerus radicum aequationis hujusmodi γ --ax' - a, ubi indeterminatarum indeterminati sunt coem- Cientes ἱ nam ejusmodi aequatio transmutari potest in fluxionalem.
Aliquando accidit, quod ad inveniendum
Primum terminum seriei, prodeunt duae aequationes diversarum dimensionum: in illis casibus dimensio maxima semper dat numerum radicum aequationis propoSitae. Exemplum primum. AEquationis γ) - csy --ax F - xi Σααo e trahendae sint radiccs. Ut inveniatur indextermini primi seriei quaesitae, pone γ' c', eritque 3 Τ ei ac)', ac=- x '. Tcrminis hisce dicto modo dispositis in punetis angularibus Parallelogrammi, video exteriorum tres caSus accidere : Scilicet, sunt xy, x'; x , xy', Vel xy, xin ' termini reliquis exteriores. . Equentur
83쪽
6o Linea tertii ordinis NEWTONIANAE . indices, et erit I. ' ne 3, 2.' Π - o Ct3.' n - I; igitur si quaeritur series ex dignitatibus ascendentibus confecta, potest esse 3 Veloindex ipsius x in primo termino seriei. Μο-Veatur recta v xy motu parallelo, et ea primo perveniet ad terminum unicum secundi ordinis, secundo perVeniet ad angulum a , tertio ad b, c simul, quarto ad d . quinto ad ect ultimo ad terminum ordinis infimi Cum igitur desintest btermini ordinis tertii, quarti, quinti et sexti, invenientur primi sex seriei
primi et secundi Ordinis positis nihilo aequalibiis. Hoc vero Perdivisionem fit, nam si sit aequatio i γ a xy - xy o erit adeoque dividendo est
Hi sunt primi sex termini 'per divisionear
84쪽
Linea teli ordinis ΝΕIV ΤοNI AN 6t inventi : terminus septimus inVenietur esse ET L. Hic divisionem inchoavi a termino a
quoniam ponitur x admodum parva. In casu secundo erat pro γ itaque in aequatioue Substitue A M, vel quod idem est, ubi A cst quantitas determinanda st tim inveni cnda. Et orietur
Ai - α' Α- ax A - xi in o. Evanescat jam x et erit-- a' A - o , undε est-- o, vel A ' a: igitur terminus primus potest esse -- a vel - a : valor o spectat ad radicem jam inventam. Pone se aequalem terminis nondum inventis et erit γ a --ρ quem ipsius γ valorem in aequatione substituendo orietur aequati py - 3 -- 2-a' x-x eo inde terminatas x, p, inVolvens. Ad inveniendum terminum primum valoris radicis se, opo-rectanguli habebimus aequationes
seriem quaesitam non pertinent ut postea ex-- plicabitur ). Hujus vero radix - x est terminus seriei secundus. Pone igitur p-q - x , et
85쪽
Linere tertii ordinis NEWTONIANIE. ubi aequatio 2 a'q-4 ax' - Ο , dat g - - proXime, Vel G r-o a ' 8 a Hunc valorem pro q substituo, neglectis te minis q), - ut et iis in quibus r erit plusquam unius dimensionis, quos nulli usui futuros satis indicabit ipsa operatio, modo unum vel duos forte seriei terminos plures quaerere tantum est animus; et exurget T 1 teta'-2ax rem S x - proxime, atque 64 a
Hic notandum est quod primi tres termini prodeunt rejiciendo x'. et ex terminis reliquis
86쪽
Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. ε3Radix unica in serie eo citius convergente quo major est X. In tertio casu erat n unitas, pone ergo A x, et orieturA3x a Ax-aA x' - x' - o,
termini maximi A' xy - xy ejusdem ordinis positi aequales nihilo dant A I, ergo est x, primus terminus seriei. Pone et resultabit
87쪽
ε Linea tertii ordinis NEM TONIANIE. Exemplum secundia m. In hoc exemplo indices reperiuntur ope Cor. q. Prop. 2.
extrahenda sit radix γ in serie ubi indices ipsius x perpetuo magis descendunt. Fluat x uniso miter , et sit x I, atque aequatio eVadet
erit γ n Ax' ', atque proVeniet aequation A x -' --a A M- ---x - 2 a' - Ο. Temminus jam altissimae dignitatis in quo nec γnec γ reperitur est a' x, ubi index ipsius x est unitas : aequentur igitur indices terminorum
reliquorum unitati, eritque I .' n --2. I , unde n-- I; 2.' erit n-- I - I, Unde n- ,
quorum Valorum minimus - I, est index ipsius x in primo termino serici, et termini n A x' - , x Vel - A x , -- α' x positi aequales nihilo dant A αα unde est primus terminus
88쪽
Linea tertii ordinis 6s eratio securida. Pro terminis reliquis pone ρ, et erit
terminus unicus in cuO nec ρ neque se reperitur est a), ubi index ipsius x est o ; sit igiturn 2-o, et erit-- 2isit n- I - o, et exit n - - I, quorum numerorum minimus - 2 est index ipsius ae in secundo termino: et termini n Λ ορ' ε', - ain positi aequales nihilo, dant Λ - at x- - - - a) ; ergo terminus
Terminus unicus in quo Nec g ne Sue ν Iesς
89쪽
66 Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE.ritur, est - i , ubi index ipsius x est - I ;
minimus - 3 index quem quaerimus, et termini 11 A M= in , quorum indices inter se aequati dant verum ipsius ret valorem ' positi aequales nihilo dant i et inct
Methodus haec sigillatim inveniendi terminos est admodum generalis, at plerumque nimis Operosa. Est autem alia methodus hasce r dices extrahendi, quae conSistit in assumptione seriei universalis hujusmodi
90쪽
Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. 67 Et inde determinando exponentes Π, r, et coefficientes A, B, C, D, &c. Hujus methodi, longo tempore postquam D. Newtono innotuit, in Actis Eruditorum Losiae D. Dibritius, suo etiam nomine edidit exemplum imum aut alterum in casibus facilioribus, ubi tantum docuit coefficientium inventionem; at in indicum non in coemcientium inventione jacebat dissicultas. Ideoque D. Tolor invrop. 9. Methodi incrementorum , priusquam coessicientes determinat , formam seriei invenire aggreditur. Estque ut Sequitur.
Inveniatur per Prop. 2. vel ejus Coroll. index termini primi, vocetur is n, in aequa-
tione pro F, γ, γ, γ, &c. Scribe x', κ' , x ' , M Τ, &c. respectivE, adeo ut termini resultantes componantur omnes ex x et datis quantitatibus : sit r maximus communis divisor indicum terminorum sid resultantium, et sorma seriei erit haec F-A M--B M- --Cx' - Dx - &c. Erit vero r negativa aut assirmativa, prout quaeris seriem ex dignitatibus ipsius x descendentibus aut ascendentibus consectam.