Isaaci Newtoni Enumeratio linearum tertii ordinis; sequitur iIllustratio ejusdem tractatus auctore Jacobo Stirling

91쪽

έ8 Linere tertii ontinis NEWTOMANAE. Exemplum tertium. ; AEquationis a xy - x' - o, quaeratur radix cum x est admodum magna. Inveni per. Prup. χι unitatem esse indicem ipsius oein primo termino seriei : pone igitur et aequatio evadet κ' -- α κ' - - se' - Ο. Horum indicum 2, 3, 3 maximus communis divisor i unitas, ergo serihi forma erit F-Ax--B CH --D Ex --δα sequitur operatio.

93쪽

o Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. Rasces ejusdem aequationis ci m x est vaLia ama. Invenietur forma seriei haec,

94쪽

3 a qa 3 αα Sed ut verum quod est confiteamur, haec methodus D. Tasor inveniendi formam seriei non est generalis. Imo impossibile cst universaliter determinare formam seriei ex data forma aequationis ', pendet enim forma seriei tam ex coefficientibus quam ex exponentibus indeterminatarum in aequatione. Sint enim duae aequationes

eaedem omnino quoad formam, in priore est

&c. in posteriore est

&e. Et juxta regulam

D. Tasor, utraque series habere debet eamdem formam, quam habet posterior. Fallit dicta regula quotiescunque coincidunt duo vel plures valores termini primi serici : hoc eSt, quando Ordinata prima tangit curvam Vel transit per punctum ejus duplex : vel quando E 4

95쪽

glaneae terati ordinis NEWroMANIE. ordinata ad distantiam infinitam transit petplura curvae puncta infinite propinqua ad se invicem. Inveni autem sequentem regulam pro invenienda forina serici quantum hactenus constitit nunquam fallere, sed illam esse ubique veram amrmare non audeo, propteredi quod in eam casu tantlim incidi, observando scilicet plurimas series diversas et ejus demon trationem poste stustri quaesivi. Methodus determinandi formam seriei. Inveniatur index primi termini, vocetur is n,' in aequatione Pror, γ, γ, &c. Scribe x', x' , x' ' &c. respective, adeo ut termini resultantes' Componantur ex x et datis quantitatibus : sit mmaximus communis divisor indicum termino-xum sic resultantium, ' numerus Valorum primi termini qui inter se aequantur, et I - - ,

atque forma seriei haec erit

tollacidit haec regula cum regula D. T lor quando p est unitas, hoc est, quando primus terminus non habet siures valores aequales .

96쪽

LDfere tertii ordinis NEWTOMANAE. 73 Exemplum quintum. Ex aequatione F Τ - - ain meto, extrahcnda sit radix γ in serie eo citilis con- Vergente quo major est x. Invenies ope rectanguli primum terminum esse x, quem scribe pro F et aequatio evadet xΤ - 2 xi -- x a3- o. Indices terminorum sunt 3 , 3 , 3, O, quorum maximus communis diviSor est 3 , et aequatio γλ - x γ' -- x' - o quae dat primum termi-nnm habet duas radices inter se aequales; igitur est Zu- , Dina, et - - 2- r, unde

nam pro exponente primi termini seriei descendentis qua exprimitur γ , invenietur o. Igitur substituendo A x' loco F. atque ponendo n-Ο , exponentes omnium terminorum sunt numeri sequentes L, L, 2, O, quorum maximus communis divisor est I : at coefficiens primi termini datur aequatione Ai in s a A 3 a A - αῖ αα o et tres valores aequales habet. Secundiim autem regulam praedictam prodiret e didie: - - - ἔ proposita tamen aequatio praebet lias

97쪽

forma seriei haec est

Estque operatio ut sequitur ,

vel 3 B - 4 B -- B - o, sed inde nihil

98쪽

quando pro B scribitur -- a', sed erit - - a', quando pro B scribitur - a'. Adeoque est radix

8 x' Wax Hic in determinatione coemcientium observandum est quod ex secunda aequatione 3 A' B - AB-- B-o terminus secundus B non reperiebatur. Idem semper notandum est quotiescumque terminus primus habet plures Valores inter se aequalas. Nam si termini primi omnes valores sunt inter se diversi, rerminus Secundus et reliqui omnes in infinitum habebunt nisi unicum valorem et per divisionem Semper prodibunt. At si terminus primus habet plureS Valores inter se aequales, tot diversos valores necessario habebit terminus secundus; qui itaque per divisionem inveniri nequit, sed radix erit aequationis tot dimensionum quot ipse habet valores. Unde in comparatione eoessicientium secundus terminus B ex aequa-

99쪽

G Lanein tertii ordinis NaWTONIANAE.tione secunda non semper invenitur: sed p nendo coemcientes terminorum homologorum aequales nihilo , membra omnia se mutuo Sem-Per destruent usque dum pervenietur ad teri minum in cujus coeffciente reperitur terminus secundus tot dimensionum quot ipse habet Ualores. Sed haec Omnia experientia multo melius quam verbis patebunt. Considerando curvarum tangentes, cum Vaturam , Variationem curvaturae, Variationem Variationis, &c. quae determinari solent fluxionum ope, determinari etiam posse ope te minorum Serici, ut innuit D. Newtonias ad Prop. Io. Lib. Principiorum ; Statim cognovi incrementa prima, secunda, tertia, &c. I lationem quandam habere ad seriei terminos respectivos, adeoque terminos illos determinari ex fluxionibus. Ideo quaerebam relationem illam et tandem inveni ut Sequitur.

. . . .

100쪽

Lineae terrii ordinis NEWTONIANAE. pyadeoque eSt

ae . .

Demonstratio. Fluat x uniformiter, et sit ejus fluxio

Et inde

Vel ponendo pro x, Z x