장음표시 사용
141쪽
I18 Linea tertii ordinis NEWTONIANAE.
a A, δὶ ν' &c. X - ν' dcc. Hosce Valores substitue in aequatione γ' - ax --δὶ γ' &c. - O, et videbis ν' ' evanescere, id est, aequationiSterminum secundum deesse : igitur valores ipSius ac erunt partim negativi et partim affirmativi , et summa affirmativorum aequabitur Summae negati Vorum : Vel, quod perinde est, aequentur summae Ordinatarum ex Abscissa ad Curvam in easdem parteS extenSarum. Q. E. D. Recta quae ita secat ordinatas appellatur . Curvae diameter. Coroll. I. Duc rectas duas parallelas secantes Lineam secundi ordinis in duobus punctis. recta quae has bisecat, hi secabit omnes illis parallelas. Adcoque aequati Ο Υ - α x D-c deS gnat omnes lineas secundi ordinis. Coroll. 2. Duc rectas duas quasVis Parallelas,
142쪽
Linea tertii ordinis MUTTONIANAE. II 'Secantes Lineam tertii ordinis in tribus punctis; recta quae ita secat has parallelas, ut summa duarum partium ex uno eius latere consistentium , et ad curvam terminatarum, aequetur Parti tertiae, ex altero ejus latere consi Stenti, et ad curvam terminatae, ita etiam secabit omnes rectas hisce parallelas.
Comm 3. Duc rectam D F M. I s.) secantem lineam secundi ordinis in duobus punctis B, E, ejusque duas Asymptotos in aliis duobus D, F; dico partes illius rectae inte Ceptas inter Asymptotos et earum crura sibi inVicem aequari. Duc diametrum C A bisecantem B E Omnesque rectas illi paralicias. Quia curva coincidit cum Asymptotis ad distantiam infinitam , coeunt in illo casu puncta B, D; E. F: adeoque diameter hisecat or-.dinatas in Asymptotis icrminatas in distantia infinita: unde per naturam rectae in omni distantia eas bisecabit, hoc est, ubique A D
Q. E. D. Coroz . Duc rectam F Η fg ro. secantem Lineam tertii ordinis in tribus punctis E, D, B; iit et tres ejus Asymptotos in
tribus aliis F , C dico FE, G H partes
duas hujus rectae inter Asymptotos et crura interceptas et ab Asymptotis ad curvam in
143쪽
Iro Linea tertii ordinis NEWTOMANAE.casdem plagas extensas aequari parti tertiae C D inter Asymptoton tertiam et ejus crus interceptae, et ab Asymptoto ad curvam in oppositas plagas extensae. Ducatur enim Diameter A B quae ita secat Ordinatas, ut sit BD BE BΗ; quoniam in distantia
infinita Asymptoti coincidunt cum suis cru
ribus, coeuntibus punctis F , E ; C. D; G, H;
Diameter A B ita etiam secabit ordinatas in Asymptotis terminatas in distantia infinita ut sit BC--BF-BG: at si hoc accidat in qualibet distantia , accidet in omni, ergo est universaliter B G BF G, sed B D- B E-B H; ergo demendo aequa
Eadem facilitate simile demonstratur de curvis superiorum ordinum. Soholion. Hanc propositionem demonstravi considerando cocmcicntem termini secundi esse summam omnium radicum sub signis propriis collectam. Coessiciens tertii termini est factum
sub singulis duabus radicibus, cociliciens quarti sub singulis tribus, quinti sub singulis quatuor, et sic in infinitum. Unde facillime sequitur Scries theorematum sequentium ad libitum contianuanda.
144쪽
Linere tertii ordinis NEWTONIANIE. I 2II. Ducantur quinque parallelae secantes lineam tertii vel superioris ordinis in tot punctis quot curva habet dimensiones : sectio conica Vel linea recta, quae ita secat has parallelas ,
Ut Summa rectangulorum sub partibus earum inter curvam et sectionem conicam verrectam interceptis, et , Curva ad sectionem coni vel rectam in easdem plagas extensis, aequetur Summae rectangulorum sub partibus earumdem Parallelarum ad alteras sectionis coni vel rectae plagas a curva extensis, et in curva termina tis , ita secabit omnes rectas hisce parallelas. a. Ducantur novem parallelae secantes curvam quarti vel superioris ordinis in tot punctis quot curva est dimensionum. Ducatur linea tertii vel inferioris ordinis secans has novem parallelas : et si componantur Parallelepipedasub singulis tribus partibus harum parallelarum inter curvam et lineam tertii vel ordinis i ferioris interceptis: atque in unaquaque ΠΟVem parallelarum, si parallelepipeda quae prodeunt amrmativa,aequalia deprehendantur iis quae proindeunt negativa ; idem accidet in omnibus rectis prioribus novem parallelis. Et sic porro Hae Lineae quae ita secant parallelas, tanquam curvarum diametri, ut ita dicam quodam modo considerari possunt.
145쪽
Iaa Linea tertii ordinis NEWTONIANIE.
Sit A E B D fig. 2I.) Linea secumdi ordinis, quam secet recta A B in duobus punctis A , B ; ut et recta D E in duobus aliis D, E, harum concursus sit C. Dico esse A C κ C Bad D C κ C E in ratione data ; modo detur rectarum A B, D E inclinatio ad se invicem. Supponamus enim Abscissam A C x, et rectarum D CC E quamlibet ambigue dc Signare ordinatam 3: atque Curva hujusmodi
aequatione sax- - δ)y-HC - dx O , designabitur , in qua quantitas determinata non reperietur, quoniam principium Abscissaecst in curva. Ut inveniatur A B, sit ν - o, et evanescent termini in quibus ea reperitiar, at que crit c x' -., dimo, unde in illo casu est x -- AB, ergo AB-AC---x BC:
cujus signum mutetur quoniam puncta A, B jacent ad partes puncti C contrarias, ct erit
esse factum sub omnIbus radicibus; hoc est D C κ CE c x' - dx, ct hoc rectangulum
146쪽
tem : at Servata rectarum A B , D E inci, natione ad invicem , non mutabitur quantitas
c, ergo neque dicta ratio facti A Cκ CB ad DCκ CE. Q. E. D.
Ex hac propositione tanquam totidem corollaria fluunt omnia, quae tradere Solent authorcs de sectionum conicarum diametris, verticibus , lateribus rectis et tranSVerbi S, ct ratione contentorum sub parallelarum Segmenti S.
Sit A FG fig. 22. Linea tertii ordinis, quum secet recta A D in tribus punctis A, B, D, ut et F G in tribus alliis F , G, H; harum concursus sit C. Dico esse A C κ B C κ D Cad F C κ G C κ H C in ratione data; modo
detur rectarum AD, FG ad se invicem inclinatio. Ponamus esse Abscissam C se x, et rec
tarum CF, CH, CG quamlibet ambigue
designare ordinatam 3: et curva hujusmodi aequatione designabitur -- a x h) γ' - - .c x'--d x--e γ -fxΤ h x; ubi quantitas. data . non .aeperietur Propter ea
147쪽
Ia4 Linea tertii ordinis NEWTONIANAE. quod initium Abscissae est in curva. Sit 3 - o, atque erit fxΤ - g x'- o,undε in illo casu
Sed per naturam aequationum CStFCκΗCκ GC-fx' - g x' h x; ideoque solidum prius est ad posterius ut unitas ad se at servata inclinatione rectarum A II, FG, dabitur quantitas f, ergo etiam dicta
Q. E. D. Hinc tam facile consequuntur ea quae tradidit D. Newtontis de Linearum tertii ordinis diametris, verticibus, lateribus rectis et tran Versis, ratione Contentarum sub parallelarum Segmentis, atque alia plurima ; ut eadem plenius ostendere necessarium haud duxerim.
148쪽
Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. ias Suffciat hic obiter annotare , quod hac methodo universali procedendo, scilicet argumentando naturis aequationum, patescunt non sollim sectionum coni proprietates, quas tanto labore adinvenerunt Veteres, et tot am-hagibus demonstratas dederunt, idque methodo quae ad alias curvas extendi sequit; sed et proprietates curvarum Omnium Ord,
Hisce praemissis , pergerem ad Enumerationem linearum tertii ordinis, sed ob rei analogiam enumerare licet eas secundi. Hae per Coroll. I. Prop. Io. reducuntur omnes adaequationem V ax'--δx--c; quae aequatio, ut statim apparebit, designat Hyperbolam, Ellipsin aut Parabolam, prout terminus a Massirmativus est, negativus Vel nullus.
Enumeratio Linearum secundi ordinis. PROP. XIII. T HE OR.
AEquatio y - ac bx--c designat Munam hasentem quatuor crura infinita ad duas Asymptotos rectas jacentia. Liquet fere haec propositio ex Exemplo primo Scholii Prop. 8. sed argumento magis distincto sic evincitur.
Augeatur x in infinitum M. et duo
149쪽
ia 6 Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. 'alores Ordinatae 3 hinc inde aequales etiam augebuntur in infinitum; quare figura habet duo crura infinita. Mutetur signum ipSius x , hoc cSt, Sumatur abScissa ad alteras partes , ct aequatio erit haec γ' - a x' - Λ x-- c, ubi patet quod augendo x in infinitum, etiam augcbi 'ir 3 in infinitum : nam terminus assirmativas a crit omnibus reliquis multo ma-jCr, modo x sit admodum magna : quare curva habet alia duo crura, ct omnino qua
Unde per Prop. 6. ordinata Asymptoti erit' x , a ' Igitur pro Asymptotis habet a V ahaec curVa duas rectas ex Abscissa hinc indε aequaliter jacentes. Nam Sume AD--- ,
in Abscissa; per initium Abscissae duc dordinatae parallelam, in qua sint Ad, A P, aequales st . , ad contrarias puncti A partes a. a sumptae; junge Dd, erunt illae duae Asymptoti. Id coque figura habet quatuor crura hyperbolica ad duas rectas jacentia. Q. E. D.
150쪽
Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. I 27 Coroll. I. Si majus Sit 4 ac, crura jacent
in angulis E D e , F D G; sin minus, jacent
in angulis hisce deinceps : ut constat ex Coroll. 2. Prop. 6. Coroll. 2. Haec figura per Coroll. I. Prop. 4. ejus Asymptotos non decussat, adeoque per Coroll. a. Prop. I. crura quae in codem angulo jacent, ductu continuo Semper conjun
Coroll. 3. Unde haec figura semper constat ex hyperbolis duabus inscriptis, in AsymptΟ-ton angulis oppositis jacentibus; et proinde unicam tantiim speciem constituit. Quae cSt species prima Linearum secundi ordinis. Coroll. q. Si terminus a Usit negatiVuS, Curva nequit excurrere in infinitum : ergo per Prop. 1. in se redit; et constat ex OValiunica, g. 24. . Quae est Species Secunda. Hoc Corollaritim facillimE colligitur ex primo Exemplo Scholii propositionis Octa viae..
Si d sit terminus a x', aquaifo y' ηbX C designat Auram habentem duo tantum crura in imparabolica in eandem plagiam excema. Patet enim quod augendo Abscissam x in infinitum fg. 2I. , simul augebuntur ordi-